22

степеней свободы ( n − 2) . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как b ±t1−α;n−2 ×Sb , этот процесс был описан в § 2.3.3.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

табличным значением при n − 2 степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки

2.5. Проверка выполнения стандартных предположений об ошибках в линейной модели наблюдений графическим методом

Перед тем, как построить модель наблюдений (см. § 1.5), мы сделали четыре стандартных предположения о процессе порождения данных. Первое из этих предположений (в модели не все значения x1, х2, …, хn совпадают между собой) проверяется перед построением регрессионной модели. Остальные три можно проверить только тогда, когда уравнение регрессии уже составлено. Без соблюдения этих условий построенная модель теряет смысл.

Оцененная модель проверяется на отсутствие автокорреляционной зависимости остатков от номера наблюдения, на независимость случайных ошибок ε1, ε2,..., εn, математическое ожидание которых должно стремиться к нулю (Mεi=0), на постоянство или гомоскедастичность дисперсии

ошибок [ var(εi ) = δ 2 (εi ) = const ]. Анализ соблюдения перечисленных условий (дисперсионный анализ), проводят, используя графики стандартизированных остатков

где Sε2i - оценка дисперсии остатков

23

Графики позволяют выявлять типичные отклонения от стандартных предположений о модели наблюдений по характеру поведения остатков. При большом количестве наблюдений поведение

стандартизированных остатков имитирует поведение ошибок εi .

Наиболее часто используют графики зависимости стандартизированных остатков (как ординат) от

-оцененных значений у (по оси абсцисс);

-отдельных объясняющих переменных;

математическое ожидание ошибок отлично от нуля M (εi ) ¹ 0 , либо дисперсия ошибки var( εi )

Рисунок 2.5 2. Неоднородность дисперсии (гетероскедастичность), например, в форме той или иной

функциональной зависимости var( εi ) от величины yˆi . Если рассматриваемый график имеет вид, изображенный на рис. 2.4, то это скорее всего отражает рост дисперсий ошибок с ростом значений yˆi .

24

Рисунок 2.6

3. Неправильная спецификация модели в отношении множества объясняющих переменных, приводящих к нарушению условия M (εi ) = 0 (рис. 2.5).

Рисунок 2.7

График, зависимости ci от значений xij ( j =1,2,..., n) j-й объясняющей переменной помогает выявить нелинейную зависимость у от j-й объясняющей переменной в случае множественной регрессионной модели (рис. 2.6, 2.7).

25

Рисунок 2.8

Рисунок 2.9

График зависимости остатков от номера наблюдения полезен в случае, когда наблюдения производятся последовательно во времени (через равные интервалы времени). По такому графику можно обнаружить:

1. Изменение дисперсии ошибок Var (εi ) с течение времени.

Рисунок 2.10 2. Не включение в модель переменных, зависящих от времени и существенно влияющих на

объясняемую переменную.

26

Рисунок 2.11

3. Не выполнение условия независимости в совокупности случайных ошибок εi в форме их автокоррелированности (определенной функциональной зависимости). График остатков в случае положительной автокоррелированности приведен на рис. 2.10 и в случае отрицательной – на рис. 2.11.

Рисунок 2.12

Рисунок 2.13 В первом случае проявляется тенденция сохранения знака остатка при переходе к

следующему наблюдению (за положительным остатком скорее следует также положительный остаток, а за отрицательным – отрицательный). Во втором случае проявляется тенденция смены знака остатка при переходе к следующему наблюдению (за положительным остатком скорее следует отрицательный остаток, а за отрицательным – положительный).

Помимо графических существует довольно много процедур, предназначенных для проверки стандартных предположений о линейной модели наблюдений, использующих статистические критерии.