1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Факультет математики и информатики
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»
Н.В. КОЛАЧЕВА
С.Ш. ПАЛФЕРОВА
ЭКОНОМЕТРИКА КУРС ЛЕКЦИЙ
Тольятти
ТГУ
2010
Оглавление
Оглавление.......................................................................................................................................................................... |
1 |
1. Виды эконометрических моделей. Введение в регрессионный анализ.................................................................... |
3 |
1.1. Предмет и задачи эконометрики............................................................................................................................ |
3 |
1.2. Характеристики случайных величин..................................................................................................................... |
4 |
1.3. Типы эконометрических моделей.......................................................................................................................... |
8 |
1.3.1. Модели временных рядов................................................................................................................................ |
8 |
1.3.2. Регрессионные модели с одним уравнением................................................................................................. |
8 |
1.3.3. Системы одновременных уравнений.............................................................................................................. |
9 |
1.4. Типы данных при эконометрическом моделировании...................................................................................... |
10 |
1.4.1. Пространственные данные............................................................................................................................ |
10 |
1.4.2. Временные ряды............................................................................................................................................. |
10 |
|
2 |
1.5. Основные положения регрессионного анализа.................................................................................................. |
10 |
2. Парная линейная регрессия......................................................................................................................................... |
12 |
2.1. Метод наименьших квадратов.............................................................................................................................. |
12 |
2.2. Использование оцененной модели для прогноза............................................................................................... |
14 |
2.3. Интервальная оценка функции регрессии и ее параметров.............................................................................. |
15 |
2.3.1. Доверительный интервал для среднего значения у полученного по функции регрессии M(x) ............ |
15 |
2.3.2. Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной................................. |
16 |
2.3.3. Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели......................................................... |
17 |
2.4. Оценка значимости уравнения регрессии (адекватности имеющимся статистическим данным)................ |
18 |
2.4.1. Основная идея дисперсионного анализа...................................................................................................... |
18 |
2.4.2. Процедура проверки значимости линейной связи между переменными................................................. |
20 |
2.4.3. Оценка статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии и корреляции......... |
21 |
2.5. Проверка выполнения стандартных предположений об ошибках в линейной модели наблюдений |
|
графическим методом.................................................................................................................................................. |
22 |
3. Нелинейные регрессионные модели.......................................................................................................................... |
27 |
3.1. Нелинейные модели с двумя переменными, приводимые к линейной форме................................................ |
27 |
3.1.1. Степенная форма эконометрической модели.............................................................................................. |
27 |
3.1.2. Приведение степенной модели к линейной форме модели, оценка параметров модели и ее качества 28 |
|
3.1.3. Понятие предельной склонности и эластичности функции....................................................................... |
28 |
3.1.4. Другие виды эконометрических моделей, приводимые к линейной форме............................................. |
30 |
3.2. Итерационные методы подбора нелинейных моделей...................................................................................... |
32 |
3.3. Нелинейные модели множественной регрессии................................................................................................ |
32 |
3.4. Проверка статистических гипотез о значениях отдельных коэффициентов................................................... |
34 |
4. Множественная линейная регрессия и корреляция.................................................................................................. |
36 |
4.1. Отбор факторов для модели множественной регрессии................................................................................... |
36 |
4.1.1. Экономические процессы, описываемые с помощью уравнений множественной регрессии ............... |
36 |
4.1.2. Анализ факторов, включаемых в модель множественной регрессии ...................................................... |
37 |
4.1.3. Методы построения уравнения множественной регрессии ...................................................................... |
39 |
4.2. Оценивание параметров множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов ............... |
40 |
4.2.1. Метод наименьших квадратов....................................................................................................................... |
40 |
4.2.2. Применение метода наименьших квадратов для стандартизированного уравнения множественной |
|
линейной регрессии.................................................................................................................................................. |
41 |
4.2.2. Частные коэффициенты эластичности......................................................................................................... |
41 |
4.3. Проверка значимости уравнения множественной линейной регрессии.......................................................... |
42 |
4.3.1. Коэффициенты множественной корреляции и детерминации ................................................................. |
42 |
4.3.2. Частные и общий коэффициенты корреляции............................................................................................. |
44 |
4.3.3. Проверка значимости уравнения линейной множественной регрессии с помощью критериев Фишера |
|
и Стьюдента.............................................................................................................................................................. |
46 |
4.4. Метод взвешенных наименьших квадратов (обобщенный МНК).................................................................... |
49 |
4.5. Фиктивные переменные........................................................................................................................................ |
50 |
4.5.1. Необходимость использования фиктивных переменных........................................................................... |
50 |
4.5.2. Модели, содержащие только качественные объясняющие переменные.................................................. |
51 |
4.5.2. Модели, в которых объясняющие переменные носят как количественный, так и качественный |
|
характер..................................................................................................................................................................... |
51 |
5. Временные ряды........................................................................................................................................................... |
54 |
5.1. Составляющие временных рядов......................................................................................................................... |
54 |
5.1.1. Группы факторов, влияющие на формирование временного ряда............................................................ |
54 |
5.1.2. Стационарные и нестационарные временные ряды.................................................................................... |
56 |
5.1.3. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов.................................................................... |
56 |
5.2. Коэффициент автокорреляции. Автокорреляционная функция....................................................................... |
57 |
5.3. Моделирование тенденции временного ряда..................................................................................................... |
58 |
5.3. Моделирование сезонных колебаний.................................................................................................................. |
59 |
5.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона................................................................................. |
60 |
6. Системы эконометрических уравнений..................................................................................................................... |
62 |
6.1. Классификация систем регрессионных уравнений............................................................................................ |
62 |
6.2. Оценка параметров систем одновременных уравнений.................................................................................... |
64 |
6.3. Проблема идентификации структурных моделей.............................................................................................. |
66 |
6.4. Методы оценки параметров структурной модели.............................................................................................. |
68 |
Библиографический список............................................................................................................................................. |
69 |
3
]
КУРС ЛЕКЦИЙ
1. Виды эконометрических моделей. Введение в регрессионный анализ 1.1. Предмет и задачи эконометрики
Эконометрика – это совокупность методов анализа количественных связей между экономическими факторами и показателями на основании реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики.
Анализируя характер имеющихся статистических данных, методами эконометрики исследователь должен сделать определенные заключения о возможной форме подходящей теоретической экономической модели. Статистические данные указывают на то, в каком направлении нужно искать теоретические модели. Построение окончательной модели производится с учетом представлений экономической теории и с учетом информации, содержащейся в эмпирических данных.
Обобщенный вид эконометрической модели:
y = f (x1 , x2 ,..., xn ) +ε , |
(1.1) |
где у – наблюдаемое значение зависимой переменной, (объясняемая |
переменная); |
x1, x2,…, x n – объясняющие переменные;
f(x1, x2,…, x n ) – объясненная часть, зависящая от значений объясняющих переменных;
ε – случайная составляющая.
Рассмотрим связь между годовым располагаемым доходом х и годовыми расходами на личное потребление у (в 1999 году, в условных единицах) 20 домашних хозяйств (табл. 1.1).
Известный психолог Кейнс отметил как фундаментальный закон психологии склонность людей (как правило и в среднем), увеличивать расходы на личное потребление по мере возрастания их доходов, но не в той степени, в какой возрастает доход, то есть
y=f(x),
где обе переменные измерены в одних единицах и функция f(x) должна быть возрастающей, скорость изменения этой функции должна быть меньше 1.
i |
x |
y |
1 |
2508 |
2406 |
2 |
2572 |
2464 |
|
|
Таблица1.1 |
i |
x |
y |
11 |
2435 |
2311 |
12 |
2354 |
2278 |
3 |
2408 |
2336 |
4 |
2522 |
2281 |
5 |
2700 |
2641 |
6 |
2531 |
2385 |
7 |
2390 |
2297 |
8 |
2595 |
2416 |
9 |
2524 |
2460 |
10 |
2685 |
2549 |
4
13 |
2404 |
2240 |
14 |
2381 |
2183 |
15 |
2581 |
2408 |
16 |
2529 |
2379 |
17 |
2562 |
2378 |
18 |
2624 |
2554 |
19 |
2407 |
2232 |
20 |
2448 |
2356 |
Для того, чтобы установить форму функциональной связи строят диаграмму рассеяния или
поле корреляции (рис. 1.1). |
|
Простейшей моделью связи является линейная модель (модель наблюдений) |
|
y = α + βx + ε, |
(1.2) |
где β - некоторая постоянная величина, 0 < β <1, характеризующая в данном круге домашних хозяйств их склонность к потреблению, связанную с традиционными привычками; α - постоянное потребление;
ε = y - (a + βx) - это отклонение реально наблюдаемых расходов на потребление уi от значения у = a + βx, предсказываемого гипотетической линейной моделью связи для i-го домашнего хозяйства.
Рисунок 1.1 В связи с наличием случайной составляющей ε точки не лежат на одной прямой, а образуют
облако рассеяния.
Предложив для описания имеющихся статистических данных модель, учитывающую указанное отклонение от теоретической модели, мы должны оценить с их помощью величину параметров α и β. Затем, используя соответствующие критерии, вынести на основании этих данных суждение о пригодности выбранной модели.
1.2. Характеристики случайных величин
Если в рассмотренном в предыдущем параграфе примере |
обозначить x1, х2, …, х n |
последовательно располагаемые доходы домашних хозяйств; y1, y2, |
..., y n - расходы домашних |
хозяйств на потребление, мы сможем говорить о наблюдаемых значениях двух этих переменных. Всего мы имеем здесь n = 20 наблюдаемых пар значений переменных х и у: (x1; y1), (x2; y2), …, (xn; yn).
5
Наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности x1, х2, …, хn и y1, y2, ..., yn являются средние значения этих дискретных величин.
|
|
1 |
n |
1 |
n |
|
|
|
x = |
åxi , y = |
å yi . |
(1.3) |
|
||
|
|
n i=1 |
n i=1 |
|
|
||
В |
рассматриваемом |
|
примере |
|
x = |
2508 + 2572 +... + 2448 |
= 2508 , |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
y = 2406 + 2572 +... + 2356 = 2377 ,7 . 20
Математическое ожидание дискретных случайных величин это сумма произведений всех значений дискретной величины на их вероятности, оно приближенно равно их средним значениям.
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
M (X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn |
= åxi |
pi , |
M (X ) = y1 p1 + y2 p2 + ... + yi pn = å yi pi . |
||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
(1.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выборочные дисперсии (вариации) характеризуют степень разброса значений x 1 , х 2 , …х n |
|||||||||||||
(y 1 , y 2 , ...y n ) вокруг своего среднего значения |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|||||||
var( x) = |
1 |
n (x |
|
− x ) |
2 |
, |
|
var( y) = 1 |
n ( y |
|
− y)2 . |
(1.5) |
|
|
n |
åi=1 |
i |
|
|
|
|
|
n |
åi=1 |
i |
|
|
Стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение) более удобно для характеристики рассеяния дискретной случайной величины, так как измеряется в тех же единицах, что и сама величина.
S (x) = |
|
|
, S ( y) = |
|
|
. |
(1.6) |
var( |
x) |
var( |
y) |
||||
Удобным графическим средством анализа |
данных, является |
диаграмма рассеяния |
(поле |
||||
корреляции), на которой в прямоугольной системе координат располагаются точки (xi, yi), i =1, 2, …, n. Для того, чтобы по форме облака рассеяния делать выводы о характере зависимости между величинами при построении диаграммы желательно выбирать масштабы и интервалы изменения переменных таким образом, чтобы окно диаграммы имело вид квадрата, и чтобы на диаграмме имелись точки, достаточно близко расположенные к каждой из четырех границ этого квадрата.
Степень выраженности линейной связи между произвольными переменными х и у, принимающими значения xi, yi, i = 1, 2, …, n оценивается посредством выборочного коэффициента корреляции
rxy |
= cov( x, y) |
= |
xy |
- x × y , |
(1.7) |
|
S (x)S( y) |
|
Sx S y |
|
|
cov(x, y) = |
1 å(xi - x)( yi - y) = xy - x × y . |
(1.8) |
|
n |
|
n i=1
Величина cov(x,y) называется выборочной ковариацией (выборочным корреляционным моментом). Характеризует степень зависимости двух случайных величин и степень их рассеяния.
6
Для расчета r xy можно использовать формулу
|
|
|
|
n |
|
|
æ |
|
n |
öæ |
n |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nå xi yi - ç |
å xi ÷ç |
å yi |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
rxy = |
|
|
|
i=1 |
|
|
è |
i=1 |
øè |
i=1 |
|
ø |
|
|
|
. |
(1.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
æ |
n |
ö |
2 |
|
n |
|
æ |
n |
ö |
2 |
||||||
|
|
2 |
- |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
nå xi |
ç |
å xi ÷ |
|
|
|
nå yi |
- ç |
å yi ÷ |
|
|
|
|
|||||
|
|
i=1 |
|
|
è |
i=1 |
ø |
|
|
|
i=1 |
|
è |
i=1 |
ø |
|
|
|
|
Здесь r xy находится с использованием непосредственных данных и на его значении не скажутся округления данных, связанные с расчетом средних значений.
Свойства выборочного коэффициента корреляции r xy (при достаточно большом объеме выборки n).
1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы (– 1 ≤ r xy
≤ 1). Чем ближе rxy к единице, тем теснее связь (рис. 1.2).
Рисунок 1.2
2. При r xy = ±1, все наблюдаемые значения лежат на одной прямой. Корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость ( Рис. 1.3, 1.4).
Рисунок 1.3
7
Рисунок 1.4
З. При r xy = 0 линейная связь отсутствует (рис. 1.5, 1.6, 1.7)
Рисунок 1.5
Рисунок 1.6