Гусев / Методы научных исследований

Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка.

Для приведенных в таблице 5.2 результатов составим уравнение регрессии на основе полинома второго порядка:

иуравнение приближенной регрессии имеет вид:

λ= 0,56 − 0,23ρ + 0,27ρ2 .

Результаты регрессионного анализа приведены в таблице 5.4.

Коэффициент теплопроводности

1,60

1,50

1,40

1,30

1,20

1,10

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

Плотность

Рис.5.2. Апраксимация экспериментальных значений коэффициента теплопроводности парабалистической моделью

81

Таблица 5.4

Таким образом, и параболистическая модель не является адекватной эксперименту:

Рассмотрим возможность описания экспериментов показательной функцией:

λ = b0b1ρ .

Выполним стандартные преобразования принятой моде-

ли:

Решение данной системы по результатам испытаний приводит к уравнению:

λ = 0,26 * 2,06ρ

Результаты расчетов по этому уравнению приведены в таблице 5.5.

82

83

Полученные экспериментальные результаты можно представит в виде дробно-степенной функции:

λ = b0 ρs .

После преобразований, аналогичных показательной функции получаем:

ln λ = ln b0 + s ln ρ

Соответственно система уравнений имеет вид:

Откуда получаем:

i=1

После вычислений значений коэффициентов имеем:

84

Рис. 5.4. Апраксимация экспериментальных значений коэффициента теплопроводности дробно-степенной моделью

Таким образом, ни одна из принятых моделей не в состоянии адекватно описать распределение экспериментальных данных. Однако если сравнить экспериментальные значения с теоретическими, то «ошибки» в линейной и особенно дробно-степенной модели составляют не более (1-6)%, что вполне удовлетворяет большинство технических задач. Такая ситуация встречается довольно часто, вызывая естественное раздражение экспериментатора и желание что-либо «подправить» в регрессионном анализе.

В принципе такая поправка возможна за счет увеличения дисперсии воспроизводительности, что уменьшит расчетное значение критерия Фишера или путем увеличения табличного значения критерия Фишера.

85

Увеличение дисперсии воспроизводительности достигается использованием более грубых измерительных приборов или методик. Поэтому не всегда может быть оправдано стремление к более тонкому эксперименту.

Величина табличного критерия Фишера, при прочих равных условиях, зависит от доверительной вероятности. Увеличивая доверительную вероятность (или снижая уровень значимости), можно найти такое ее значение, которое удовлетворит условию адекватности (5.3). Так, для нашего примера, повысив доверительную вероятность с 95% до 99%, получаем табличное значение критерия Фишера F(табл0,99;5;21) = 4,05 , что меньше расчетного для дробно степенной модели. И соответственно, для вновь назначенных условий уравнение (5.5) пригодно для использования и с позиций статистической проверки.

Надо отметить и еще один прием достижения адекватности модели эксперименту: разбиение области изменения аргумента на отдельные интервалы и составление уравнения регрессии для каждого из них. При этом, как правило, удается достигнуть удовлетворительного описания области исследования даже простой моделью.

Так если разделить интервал изменения плотности на

F(табл0,99;3;15) = 5,4 .

86

Еще одна разновидность этого приема заключается в простом сужении интервала исследования. Действительно, если обратиться к показательной модели, то нетрудно заметить, что основной вклад в дисперсию адекватности вносит значение целевой функции при значении аргумента ρ = 2,4кг/ м3 . Ограничив интервал изменения аргумента верхним значением равным 2,2кг/ м3 , то получаем расчетный критерий Фишера меньше табличного:

Однако эти приемы нельзя признать продуктивными, так как они ограничивают саму идею моделирования системы одной.

6.Методы планирования экспериментов

6.1.Общие положения

Если независимых переменных X i в системе больше двух, то задача получения уравнения приближённой регрессии значительно усложняется. Это обуславливается необходимостью выполнения большого количества экспериментов и трудностью анализа полученной информации.

Известно, что одну и туже зависимость можно представить в виде различных функций и принимая за основу какуюлибо из них, соответственно получится и своё уравнение регрессии, оценивающее исходную зависимость, с некоторой погрешностью δx . Конечно, при выборе вида функции к ней заранее можно предъявить требования, обеспечивающие те или иные свойства. Например, компактность записи или общепринятый вид зависимости, непрерывность, и т.п. Однако если нет специальных ограничений, то функцию уравнения приближённой регрессии удобно представить в виде многочлена. Причём ошибка, с которой многочлен будет приближаться к исходной кривой функции, может быть сколь угод-

87

но малой. Всё зависит от вида многочлена и его степени. Эта теорема об аппроксимации (приближении) была доказана К. Вейерштрассом [4] и послужила основой для использования многочленов в качестве математической модели практически любых технологических процессов.

Идея использования многочленов как исходной модели регрессии оказалась плодотворной и в плане стратегии проведения экспериментов, так как позволила сократить число опытов до минимально-необходимого количества для определения коэффициентов в уравнении, формализовать условия проведения опытов и оценки результатов.

Конечно, полиномиальные модели (как впрочем, и большинство математических моделей) не объясняют механизма явления, они только описывают внешнее поведение системы (объекта) и их использование предназначено, как правило, для достижения локальных целей, связанных с поиском способов обеспечения наиболее эффективного функционирования системы.

Итак, если вид функции Y = f (x1, x2 ,...i ,...xn ,) заранее не известен, то можно рассматривать не саму функцию, а её разложение в степенной ряд:

На практике всегда ограничиваются конечным числом членов разложения, аппроксимируя неизвестную функцию полиномом некоторой степени.

Для его практического использования (с целью получения сведений об исследуемом объекте) необходимо знать численные значения коэффициентов b0 ...bnn .

Нахождение значения коэффициентов уравнения (6.1) минимальным количеством опытов, оценка точности аппроксимации полученного уравнения неизвестной функции и анализ объекта исследования с целью выявления экстремальных

88

значений исследуемой величины являются задачами, решаемыми в теории планирования экспериментов [7-9].

Так как для большинства технико-экономических задач именно функционирование (поведение) объекта составляет главное содержание предмета исследования, то логично в качестве модели системы выбрать именно функциональный ее вариант.

Как было сказано ранее, формальным символом функциональной модели системы является «чёрный ящик» (см.

рис. 6.1.).

Случайные факторы

U1 U2 U3

Рис. 6.1. Изображение функциональной модели в виде «чёрного ящика»

Величина Y или (y) – называется выходным параметром или целевой функцией. Она, как правило, должна определяться количественно.

n – входные факторы. Пределы изменения входных факторов в исследованиях определяют факторное пространство. К входным факторам применяются следующие требования:

-независимость факторов. То есть каждый фактор можно менять в некоторых пределах независимо от значения остальных факторов;

-факторы должны быть измеряемыми, и результаты измерений должны иметь численное выражение;

89

- совместимость факторов - любое сочетание всех факторов должно быть физически реализуемо и не приводить к абсурду.

В силу высказанных выше соображений (см. рис. 6.1.) отклик объекта при воздействии на него определённой комбинации входных факторов есть случайная величина. Поэтому вместо случайной величины используют её статистическую оценку – математическое ожидание. Соответственно, для характеристики модели применимы все положения дисперсионного и регрессионного анализа.

Каждый управляемый фактор (входной) изменяется в пределах от минимального Х до максимального X уровней, величина которых диктуется решаемой задачей. Совокупность значений факторов образует факторное пространство исследования соответствующее числу и размерности переменных.

При планировании экспериментов принято приводить факторное пространство к размеру равному единице путём центрирования и масштабирования. При центрировании начало координат Х0i переносят в центр факторного пространства:

где X Н - значение фактора в натуральном измерении на соответствующем уровне;

X = 0,5( Хн − X$н)- полуинтервал варьирования фактора.

Идея планирования экспериментов вытекает из положения регрессивного анализа, из которого следует, что для вычисления L неизвестных коэффициентов bi в уравнении регрессии достаточно провести L опытов [5]. Однако значение факторов в этих опытах (их принадлежность к координатам

90