Гусев / Методы научных исследований

Что бы принять или отвергнуть гипотезу задаются уровнем значимости p (обычно одним из значений: 0,05;0,1;0,01). Уровню значимости соответствует некая доверительная вероятность β = (1 − p). По β , используя гипотезу о распреде-

лении оценки θ x , находятся доверительные границы θp и

2

θ1−p 2 , которые составляют критические значения гипотезы.

Значения θ x больше чем θ1−p 2 и меньше θp 2 образуют «кри-

тическую область». Если найденное при выборке значение θо попадает в интервал от θp 2 до θ1−p 2 , то гипотеза допускает

такое значение в качестве случайного и поэтому нет основания ее отвергать. Если же найденное значение θо попадает в критическую область, то по гипотезе оно является практически невозможным. Но так как оно появилось, то отвергается сама гипотеза.

3.6. Оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины

При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадет с истинным результатом наблюдений.

Если не известна дисперсия генеральной совокупности σx2 , то используют выборочную дисперсию Sx2 . Ошибка от замены тем меньше, чем больше объем выборки n . На практике эту погрешность не учитывают при n ≥ 50 .

При небольших объемах выборки для построения доверительного интервала математического ожидания используют распределение Стьюдента t :

51

Если дисперсия Sx2 и среднее x определены по одной и то же выборке, то число степеней свободы плотности вероятности f (t) распределения Стьюдента равно f = (n −1).

Распределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы, с которым определяется выборочная дисперсия Sx2 . При числе степеней свободы стремящемся к бесконечности f → ∞, выборочная дисперсия стремится к дисперсии генеральной совокупности Sx2 →σx2 и распределение Стьюдента сближается с нормальным.

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (t p2 ;t1−p2 ), определяется выражением:

P(t p2 ≤ t ≤ t1−p2 )=1− p = β .

Доверительные оценки для математического ожидания составляют:

mx ≤ x ± Snx t1−p .

3.7. Сравнение двух дисперсий

При сравнении двух дисперсий проверяется гипотеза: являются ли сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии?

Пусть имеются две выборки случайной величины x объёмами соответственно n1 и n2 :

Средние значения каждой выборки равны x1 и x2 . Выборочные дисперсии:

∑n1 (xi′ − x1 )2

52

Необходимо определить, являются ли выборочные дисперсии Sx21 и Sx22 значимо различными или же их можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией σx21 , а вторая с σx22 . Проверяется гипотеза о том, что различие между σx21 и σx22 случайное, и дисперсии равны между собой σx21 =σx22 . Такая гипотеза называется «нуль - гипотезой» - Н0.

Что бы отвергнуть эту гипотезу необходимо доказать значимость различия Sx21 и Sx22 при выбранном уровне значимости p . В качестве критерия значимости используется критерий Фишера - F :

ды, с которыми определяются выборочные дисперсии - f1 и

Fp2,(f 1; f 2) ≤ F ≤ F1−p2,(f 1; f 2)

или

S 2 S 2 ≤ F − ( ) ;

x1 x2 1 p, f 1; f 2

S2 S2 ≥1/ F − ( ) .

x1 x2 1 p, f 1; f 2

53

Если полученное дисперсионное отношение попадает в критическую область, то различие между дисперсиями надо считать значимым.

4. Метрологические проблемы анализа и моделирования в технических задачах

Математическое моделирование системы возможно, если значения выхода y будет измерено или хотя бы количественно упорядоченно.

Измерение - познавательный процесс, в котором на основе эксперимента получается информация о численном значении изучаемой величины. При этом сравнение одной величины Qi с другой однородной величиной εi приводит к результату:

γi = Qi εi .

Если свойства явления таковы, что к нему применимы понятия «больше или меньше», то такие свойства называются интенсивностями. Если большей интенсивности поставить в соответствие большее число, то установление таких правил ведет к количественному упорядочению. И соответственно оно переходит в измерение, если выполняется условие о равенстве промежутков между последовательными интенсивностями.

Система чисел или иных элементов, принятая для оценки измерения величин, называется шкалой. Шкалы делятся на: номинальные (классификационные), порядковые (ранговые) и количественные (метрические).

Простейшие - номинальные шкалы, допускают только взаимно-однозначные преобразования. Они позволяют разделить объекты на классы без указания их взаимного порядка. Например, классификация специальностей в ВУЗе - 2901, 2903, 2908. При этом название заменяется кодом.

54

Порядковые шкалы - упорядочивают объекты в определенной последовательности, однако без четкой единицы измерения. К ним можно отнести шкалы педагогических оценок, баллы, выставляемые за выступления в некоторых видах спортивных состязаний (гимнастика, фигурное катание) и т.д. Порядковые шкалы не дают возможность установить точные количественные соотношения между элементами, но числовые оценки по этим шкалам можно использовать для математического моделирования и даже для оптимизации объекта.

Количественные или метрические шкалы предполагают наличие эталонного единичного объекта, в качестве базы для сравнения явлений между собой и наиболее полно соответствуют процессу измерения.

Результаты измерения γi содержат погрешностиошибки измерения, которые возникают по различным причинам.

Ошибку измерения y можно представить как разность между истинным Yи и измеренным Yм значением величины:

y = Yи −Yм .

Ошибки измерения классифицируют на пять групп [1]:

1.Ошибки объекта исследования - изменением объекта во времени, его неоднородность в пространстве, влияние процесса измерения на состояние объекта.

2.Ошибки оператора, связанные с уровнем его квалификации и психофизиологическим состоянием (болезнь, усталость, реакция на раздражители).

3.Инструментальные ошибки, связанные с погрешностью измерительных приборов.

4.Методические ошибки - связанные с неправильными или упрощенными представлениями о закономерностях процесса, со степенью разработки методики проведения измерительных операций.

55

5.Ошибки, возникающие от влияния внешней среды на объект.

Совокупность ошибок составляет погрешность измерения h , которую можно условно разделить на две части: систематическую h(yi ) и случайную ξ(yi ).

Систематическая погрешность - определяется ошибками, величина которых во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же приборов, одинакова или изменяется по некоторому детерминированному (т.е. одной и той же причине вызывающее одно и тоже след-

измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же приборов, изменяется, причем вероятность появления ошибки ξ(yi ) меньше некоторой величины ξ(ya ) подчиняется соответствующему закону распределения:

F(ξ)= P(ξ ≤ ξa ).

Ошибка ξ(yi ) отражает объективный закон действительности и связана с воздействием на измеряемый параметр всех неучтенных факторов. Часто принимается гипотеза о том, что случайные ошибки независимых измерений подчиняются нормальному закону распределения.

Иногда различают и грубые ошибки, являющиеся следствием нарушения условий измерения. Они, как правило, исключаются из рассмотрения (см.п.2.3.3.)

Оценка истинного значения измеряемой величины всегда связана с определением ошибки измерения. Даже если измеряемая величина A не является случайной, то наличие в измеренном показателе случайной составляющей переводит ее

56

в категорию случайных величин. Поэтому для оценки значения A применимы все положения из математической статистики.

Любая физическая величина A имеет свое истинное значение a , хотя оно и неизвестное наблюдателю. На числовой оси a занимает определенное место. Если измеряемое значение величины A составит величину xa с некоторой погрешностью δx , то измерение можно считать удовлетворительным, если истинное значение a покрывается интервалом

(xa −δx ; xa +δx ).

Однако надо иметь ввиду, что местоположение измеряемой величины x на числовой оси тоже носит случайный характер и подчиняется соответствующему закону распределения. Следовательно, утверждение о покрытии измеряемым интервалом истинного значения a также носит случайный характер, вероятность которого соответствует доверительной вероятности β . Таким образом, ситуация с измерением может рассматриваться, как типичная задача проверки статистических гипотез.

Обычно принимается (если нет веских оснований для противоположного суждения), что ошибки измерения подчиняются нормальному распределению и вероятность β покрытия точки истинного значения a случайным x - интервалом (xa −δx ; xa +δx ) равна площади под кривой плотности распределения между точками границ интервала

Вероятность того, что случайный интервал полностью окажется либо правее, либо левее значения a составляет по β2 . Вероятность β - это вероятность ошибки первого рода при формулировании нуль-гипотезы: точка a находится вне x - интервала. Поэтому в соответствии с правилом проверки статистических гипотез, задается доверительная вероятность, с которой готовы принять гипотезу о накрытии неизвестного

57

значения измеряемой величины некоторым доверительным интервалом. Серединой доверительного интервала служит измеренное значение xa , а его ширина зависит от выбранной вероятности ошибки первого рода (или, что эквивалентно - от доверительной вероятности).

Ширина доверительного интервала вычисляется по распределению плотности вероятности. Уже отмечалось, что ошибки измерений распределяются, как правило, по нормальному закону. Но использование в данном случае распределения Гаусса не представляется возможным, та как неизвестно среднеквадратичное отклонение σ . Поэтому, для ограниченного числа измерений n используют распределение Стьюдента - t с плотностью:

-∞≤ t ≤+∞

Распределение Стьюдента определяется только объемом выборки (числом измерений) n . Ширина доверительного ин-

таблице 4.1. Вероятность β попадания истинного значения a в заданный доверительный интервал:

P([x −t(1−p )n * Sx ]≤ a ≤ [x −t(1−p)n * Sx ]) =1− p .

58

При решении практических задач в качестве доверительной вероятности обычно используют значения 0,90; 0,95 или 0,99. Выбор конкретного значения β зависит от решаемой задачи и получаемого решения.

Обычно стремятся получить доверительный интервал возможно более узким. Но если доверительная вероятность и погрешность каждого измерения заданы, то, как видно из соотношения (4.1.), на величину δx можно повлиять только числом измерений - n , так как ширина доверительного интервала пропорциональна корню квадратному из n .

В таблице 4.2. приведены размеры доверительного интервала x (в долях от σ x - среднеквадратичного отклонения) в зависимости от числа измерений при отмеченных выше доверительных вероятностях.

59

Методика обработки результатов измерений предлагает формализованные процедуры, позволяющие оценить точность и достоверность полученных экспериментальных данных, и состоит в следующем [1]:

-определение приборных ошибок;

-выделение промахов (или грубых ошибок)

-определение ошибок прямых измерений;

-определение ошибок косвенных измерений;

-выделение доверительного интервала измеряемой величины;

-определение суммарной ошибки измерения;

В прямых (непосредственных) измерениях величина приборной ошибки δx определяется разрешающей способностью измерительного прибора и характеризуется классом точности i :

i = δx 100 ,

xmax

где xmax - предельное значение величины x которое можно измерить прибором.

Зная класс точности можно определить приборную ошибку:

δx = i * xmax /100 .

Класс точности прибора устанавливается по технической характеристике (паспорту). При отсутствии данных величина приборной ошибки не рассчитывается, а принимается равной половине цены деления шкалы.

Ошибки косвенных измерений δR величины R = f (x, y, z...), в случае, когда результаты прямых измерений независимы, вычисляются по формуле (4.2):

60