Гусев / Методы научных исследований

Соответственно формула (7.8) приобретает традиционный вид:

p = λ l w2 ρ . d 2

7.2. Подобие и моделирование физических процессов

Из теории размерности логически следует, что процессы, протекающие при одинаковых значениях безразмерных комплексов, характеризующих суть явления, можно рассматривать как физически подобные.

Два явления считаются подобными, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе. [11] Это означает, что одно и тоже физическое явление мож-

но изучать в одном масштабе времени, а полученные результаты распространять на иные масштабы. Это используется в методике моделирования. Под моделированием понимается замена изучением этого же явления в модели иного (большего или меньшего масштаба).

Необходимым и достаточным условием подобия двух явлений является постоянство численных значений безразмерных комбинаций составленных из определяющих параметров, которые определяют собой все остальные величины. Размерные характеристики в натуре и на модели связаны между собой масштабами.

Если явление определяется n – параметрами, из которых k имеют независимые размерности, то для k величин с независимыми размерностями переходные масштабы могут быть произвольными, и они определяются условиями задачи или эксперимента. Для остальных размерных величин переходные масштабы определяются из формул размерности.

151

В технических задачах наиболее часто используются приемы механического и теплового подобия.

Механическое подобие предполагает выполнение трех основных составляющих:

-геометрического подобия;

-кинематического подобия;

-динамического подобия.

Геометрическое подобие требует постоянства масштаба Cl между всеми линейными размерами:

Cl = Lн Lм ,

где Lн и Lм – соответственно, линейные размеры натурального объекта и его модели.

Соответственно масштабы площадей Сs и объемов CV будут равны:

Кинематическое подобие подразумевает подобие траекторий, описываемых, сходственными точками модели и натуры. Кинематическое подобие определяется масштабами времени СТ , скоростей Сw , ускорением сходственных элементов Ca , а так же одинаковой ориентацией их векторов.

152

Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы F одинаковой природы, действующие на любую пару сходственных элементов, отличались бы только постоянными масштабами СF :

а = ТL2

Fн = СF = Сρ Сl4 СT−2 .

Fм

Условие динамического (и даже иногда геометрического) подобия в точной мере соблюсти практически невозможно. Поэтому, на практике стремятся установить условия подобия для частных случаев, либо искусственно создать условия, способствующие сохранению подобия. Например, при исследовании деформаций упругой конструкции (ферма, балка, оболочка) на её геометрической модели возникают физические сложности, вытекающие из природы усилий [11].

Для определения размеров модели задаётся некоторый характерный её размер В [м]. Если в рассматриваемом состоянии равновесия вес конструкции существенен, то удельный вес γ = ρg [кг/ м2с2 ] должен фигурировать в качестве определяющего параметра. Кроме силы веса на конструкцию действуют внешние силы P [кг* м/ с2 ]. Упругие свойства материала определяются модулем Юнга E [кг/ м3 ]и безразмерным коэффициентом Пуассона σ . Таким образом, состав определяющих параметров будет представлен следующим: σ , E , B , ρ , g , P . Из них можно составить три безразмерных

комплекса - σ , ρEgB , EBP 2 , которые должны быть одинако-

выми для натуральной фермы и её модели:

153

Если натуральный объект и его модель выполнены из одного материала то и значения ρ , Е и σ у них одинаковы. Соответственно имеем:

Положим, что модель меньше натурального сооружения в n раз. Тогда для соблюдения подобия необходимо выполнить условия:

Условие (7.10) о соотношении внешних воздействий выполнить не составляет сложности. Но требование (7.9) противоречит природе силы веса, так как в обычных условиях: g -const. Поэтому в реальности подобие таких систем в которых существенными параметрами являются ρ , g , B , E обеспечить невозможно.

Для моделирования таких объектов предлагается заменять силы тяжести с ускорением g на центробежную силу с соответствующим ускорением ац , которое можно устанавливать соответствующей и постоянной угловой скоростью вращения объекта. При малых размерах модели и большом радиусе вращения центробежные силы инерции можно считать плоскопараллельными и на модель будут действовать постоянные массовые силы, аналогичные силе тяжести.

Наиболее широкое применение метод моделирования нашел в задачах тепло- , аэро- и гидродинамики.

Тепловое подобие подразумевает подобие характеристик, определяющих условие теплообмена: температур, коэффици-

154

ентов интенсивности теплообмена, и т.п.

Например, уравнение, описывающее процессы теплопроводности между твердыми телами и жидкостями в модели и натуре запишутся следующим образом:

αк.Н (Тст.Н −Тж.Н ) = −λН ∂∂ТхН

НСТ

Где αк – коэффициент конвективной теплоотдачи от стенки к жидкости;

∂∂Тх – температура в направлении от стенки через бес-

конечно тонкий слой жидкости (∂x) ;

λ - коэффициент теплопроводности материала;

Tж и Tст – соответственно температуры жидкости и стенки.

Соотношение между величинами характеризующими, теплообмен в натуре и модели выразится их масштабами:

Используя принятые масштабы уравнение 7.12 для натурального объекта можно записать следующим образом:

Из соотношения уравнений (7.11) и (7.12) следует:

Сα = Сλ или в соотношении размерных величин:

Сl

155

Следовательно, условием подобия является постоянство безразмерного комплекса αl λ , который называется крите-

рием Био (Bi).

Критерии подобия выражают соотношения между различными физическими эффектами, характеризующими данное явление. Например, критерий Bi можно рассматривать как отношение термического сопротивления стенки ( λl ) к сопротивлению теплоотдачи (1α).

Теория подобия основывается на ряде положений, выполнение которых обеспечивает условия моделирования явления.

1. У подобных явлений критерии подобия равны. Обычно критерии подобия получают из дифференциаль-

ных уравнений, описывающих явление.

Выделяют определяемые и определяющие критерии. За определяющие принимаются критерии, отражающие влияние конкретных факторов на физический процесс и содержащие в своем составе известные величины.

Определяемые (не определяющие) критерии содержат в своем составе искомые величины.

2.Связь между определяемыми и определяющими критериями может быть представлена в виде некоторой функции.

По результатам экспериментов на модели можно определить вид функции и распространить их на все подобные явления. Естественно, что полученная зависимость будет справедлива в тех диапазонах значений определяющих критериев,

вкоторых проводились опыты на модели.

3.Необходимые и достаточные условия подобия физических явлений состоят в подобии условий однозначности и ра-

156

венстве одноименных определяющих критериев.

При моделировании стохастических систем подобие соблюдается при условии совпадения плотностей вероятностей сходственных параметров, представленных в виде относительных характеристик. При этом дисперсии и математические ожидания всех параметров (с учетом масштабов) должны быть одинаковыми.

При исследовании сложных систем их подобие обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся общими для всех подсистем. В практике моделирования таких систем часто реализуется приближенное подобие, допускающие некоторые упрощения и соблюдающие равенства только основных критериев подобия. В [12] приводится определение метода приближенного моделирования как “смешанного теоретически-экспериментального метода, состоящего в установлении требований, предъявляемых теорией для получения полного подобия в модели, и в выявлении путем экспериментального сравнения модели с образцом, какие из требований могут не выполнятся без заметного искажения подобия”. Метод приближенного подобия в исследовании технических систем имеет то преимущество, что он осуществим, и фактически, всегда является единственно реализуемым на практике.

Методика приближенного моделирования конкретного физического объекта может быть признана корректной, только если установлена величина возможной ошибки от замены полного подобия приближенным.

Проиллюстрируем возможности метода приближенного моделирования физических процессов на примере исследования вентиляции в помещении с теплоизбытками в теплый период года, разработанного в ЛИСИ [13].

Вентиляционные процессы, связанные с переносом массы вещества и тепловой энергии, протекают в условиях есте-

157

ственной и вынужденной конвекции, сложного лучистого теплообмена, в значительных по объему помещениях. Поэтому метод приближенного моделирования проявляется в этом классе систем наиболее полно.

Пример.

В натуральных условиях объектом моделирования является (рис. 7.2) помещение с источником тепла интенсивностью QП (70% тепла передается конвекцией), степенью черноты материала поверхности εП . Температура наружного воздуха в теплый период составляет tН , внутреннего воздуха в рабочей зоне помещения (в пределах объема на высоте 2 м от пола) tВ , на внутренних поверхностях наружных ограждений tВП . Температура на поверхности источника тепла составляет tП.Н .

Исследуемый процесс представляет собой естественную вентиляцию (аэрацию) данного помещения: приток воздуха в помещение осуществляется через проемы в ограждающих конструкциях площадью Fпр , удаление воздуха производится

через фрамуги в аэрационном фонаре площадью движении через помещение наружный воздух воспринимает (ассимилирует) тепловыделения и к моменту выхода из помещения имеет температуру

Задача сводится к выявлению распределения полей температур по объему помещения и влияния на это распределение количества вентиляционного воздуха, проходящего через помещение в единицу времени – воздухообмена Vo .

Анализ процесса формирования полей температур и скоростей движения воздуха в рабочей зоне помещения при аэрации (вид системы вентиляции, в котором поступление и удаление воздуха из помещения осуществляется под действием естественных эффектов – гравитационных сил) показы-

158

вает, что он зависит от многих факторов: высоты и геометрической формы помещения; габаритов источника тепла, величины общих тепловыделений и соотношения между их конвективной и лучистой составляющими; площадей, размещения и аэродинамических характеристик приточных и вытяжных аэрационных проемов; теплотехнических свойств ограждающих конструкций и т. д.

Рис.7.2. Схема объекта

Система уравнений, описывающих большинство из указанных факторов, включает следующие зависимости.

1.Уравнения теплообмена поверхностей источников тепла и теплового баланса помещения:

-конвективного:

159

i=1

где αк.m - коэффициент конвективного теплообмена при определяющей температуре tm ; В данном случае определяется

через критерий Нуссельта Nu =αкl λ . Численное значение

критерия Nu вычисляется через критерий Релея Ra по эмпирическим формулам типа:

Nu = c′Ramn ,

gl3c ρ ( )

где Ra = β p tП.Н −tВ - критерий Релея;

λν

β - коэффициент объемного расширения; l - определяющий линейный размер;

cp - удельная теплоемкость среды;

ρ- плотность воздуха;

λ- коэффициент теплопроводности воздуха;

ν- кинематический коэффициент вязкости;

n- показатель степени в критериальном уравнении;

εП - степень черноты поверхности;

С0 - коэффициент излучения абсолютно черного тела; TП.Н и TВ.П - температуры соответственно нагретых и

внутренних поверхностей;

ϕ- угловой коэффициент излучения;

Кi - коэффициент теплопередачи i -го ограждения;

Fi - поверхность i -го ограждения;

160