Гусев / Методы научных исследований

а относительная приборная ошибка по формуле (4.3):

(x1 , x2 , x3 ,...xi ,...xn ,) появляются результаты явно не вписывающиеся в общий ряд. Причин может быть много, в том числе, и нарушение условий опыта, ошибка эксперимента и т.п. В этом случае возникает необходимость в оценке «выскакивающего» результата по объективному критерию, так как неоправданное отбрасывание непонравившихся экспериментатору результатов ведет к ошибочным оценкам погрешности конечного результата.

Появление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений: проверка гипотезы о том, что все элементы выборки (x1 , x2 , x3 ,...xi ,...xn ,) принадлежат одной генеральной совокупности.

Если число измерений не велико ( n <25) значение среднеквадратичного отклонения неизвестно. В этом случае, для оценки вероятности (1 − β) случайного (неоправданного) появления « выскакивающего » значения xβ в серии из n измерений используют распределение:

со степенью свободы f=n-2.

В таблице 4.3. приведены значения параметра распределения V табл. для уровней значимости (1− β) от 0,01 до 0,1 с числом повторений опытов n от 3 до 25. Величина xβ исключается из выборки как грубое измерение (на уровне значимости (1 − β)), если рассчитанное значение V окажется больше табличного.

61

Наименьшее значение уровня значимости, при котором нецелесообразно оставлять результат измерений составляет 0,01. Поэтому все результаты, вероятность появления которых меньше 1% всегда можно считать грубой ошибкой. Соответственно результаты, вероятность появления которых составляет 0,1 и более рекомендуется оставлять всегда.

Если число измерений в серии велико, то допустимо выявлять грубую ошибку по распределению Гаусса, принимая среднеквадратичное отклонение σ x равное выборочному значению Sx .

Как правило, оценка доверительных интервалов x измеряемой величины (и ее истинного значения a ) выполняется в предположении о нормальном законе распределения ошибок измерения и при n <25 используется распределение Стьюдента:

x = tβ,n Snx .

Итак, при любых измерениях присутствуют две ошибки: приборная δx и случайная x (с соответствующей доверительной вероятностью).

62

ется проводить по формуле:

δx = ( x)2 +δx 2 .

В соответствии с этим, минимально-возможная погрешность измерения равна приборной ошибке. Тогда, при неизменных приборах уменьшение погрешности можно добиться только путем уменьшения случайной ошибки, что достигается за счет дисперсии Sx2 и числа измерений n .

Если для данной методики измерения дисперсия Sx2 минимальна, то повлиять на значение δx можно только увеличением n . Отсюда возникает вопрос о предельно-разумных значениях числа измерений. В среднем можно считать, что предельное значение δx в технических задачах не превышает 10%. Тогда условие, при котором можно пренебрегать случайной ошибкой выглядит следующим образом:

Пример. Необходимо определить погрешность в вычислении объема V образца строительного материала (тяжелого бетона) в форме куба с размером ребра 100 мм. Измерения производятся штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм.

Приборную ошибку δl штангенциркуля примем равной половине цены деления, а именно 0,05 мм.

Приборная погрешность δV при вычислении объема куба V по размеру одной их сторон является косвенной ошибкой и определится по формуле (4.2) :

63

Или относительная приборная ошибка составит:

δV = δVV 100% = 10000003000 100% = 0,15% .

Если предположить, что при определении объема используется размер каждой стороны, то формула примет вид:

V = A * B * H ,

Тогда приборная косвенная ошибка составит:

Методика экспериментального определения объема образца материала состоит в следующем.

Объем куба определяется как результат вычисления по формуле:

V = A * B * H ,

где - соответственно осредненные размеры ребер куба. Условно назовем их - длина, ширина, высота, мм.

Средняя длина ребра куба определяется по результатам измерения всех параллельных ребер и в середине каждой стороны:

ab,bc,cd, da,ef , fg, gk, ke,lt,tp, ps, sl - размер середины плоскости стороны куба.

64

Линейные размеры вычисляются как среднеарифметические, по результатам прямых измерений:

Каждая сторона измеряется шесть раз. Результаты измерения приведены в таблицах 1-3. Для каждой серии опытов определяется критерий V (4.4)

Таблица 1

Результаты измерения длин ребер

65

Один из результатов прямого измерения ребра a (опыт №1) можно рассматривать как «грубую» ошибку с доверительной вероятностью 0,95. Средне значение длины ребра «а» без учета исключенного результата составляет 100,06 мм.

Для определения «однородности» результатов измерений вычисляется критерий Vmax для наибольшего отклонения

результата измерения от среднего в каждом опыте (таблица

2).

66

Соответственно суммарные ошибки в определении линейного размера для доверительной вероятности 0,95 составят:

Тогда ошибка в определении объема образца составит:

δV == ( dVdA )2δA2 + ( dVdB )2δB2 + ( dHdV )2δH 2 =

= (BH )2δA2 + (AH )2δB2 + (BA)2δH 2 =

=(100,04 *100,03)2 (0,17)2 + (99,88*100,03)2 (0,12)2 + (99,88*100,04)2 (0,1)2 =

=2308мм3

Относительная ошибка почти в три раза больше полученной по формуле (4.5):

Таким образом, для увеличения точности результатов следует, прежде всего, уменьшить случайную ошибку. Кроме того, из приведенного примера следует, что нет смысла увеличивать точность измерительных приборов.

5.Статистический анализ параметров системы

5.1.Дисперсионный анализ

При экспериментальных исследованиях средние значения наблюдаемых величин меняются в связи с изменением основных факторов (определяющих условия опыта) и случайных факторов. Исследование влияния факторов на изменчивость средних, является задачей дисперсионного анализа,

67

автором которого является английский математик Р. Фишер

[4].

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменение изучаемой величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Значимость влияния данного фактора оценивается по значимости соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок проводится по критерию Фишера - F . Если рассчитанное значение F окажется меньше табличного, то нет оснований считать значимым влияние рассматриваемого фактора на поведение выходов системы - y .

Основные этапы дисперсионного анализа проследим на примере однофакторного исследования [4].

Рассмотрим действие единичного фактора X , который принимает k различных значений. На каждом уровне производится n наблюдений, результаты которых имеют вид (табл. 5.1.).

Дисперсионный анализ проводится в следующей последовательности:

1. Определяются итоговые суммы по столбцам:

68

2. Вычисляетcя сумма квадратов всех результатов:

S12 = ∑ ∑Yij2 ; j i

и средняя сумма квадратов по столбцам:

3. Определяется средняя сумма квадратов:

2

S32 = 1 ∑k Ai .

kn i=1

4. Находится разность:

SA2 = S22 − S32 .

5. Вычисляется общая сумма квадратов S02 :

S02 = S12 − S32 .

6. Находят остаточную сумму квадратов, для оценки ошибки эксперимента S 2 :

S 2 = S12 − S22 .

7. Определяется дисперсия каждого фактора Sx2 :

Sx2 = k 1−1 SA2 .

8. Определяют выборочную дисперсию Sy2 :

9. Проверяется значимость фактора: влияние X значимо, если выполняется условие:

f1 = k −1; f2 = k(n −1).

Рассмотрим выполнение дисперсионного анализа на примере определения влияния на коэффициент теплопроводности материала его плотности. При испытаниях получены следующие результаты (таблица 5.2). Необходимо определить является ли различие в коэффициентах теплопроводности трех материалов значимым или это различие носит случайный характер.

69

F(1−p; f1; f2 ) = F(0,95;2;12) = 3,9 ≤ F

Следовательно, влияние плотности на коэффициент теплопроводности нельзя признать случайным.

5.2. Корреляционный и регрессивный анализ

Между случайными величинами существует стохастическая связь, когда изменение одной величины X вызывает изменение другой Y . Оценкой силы стохастической связи яв-

ляется коэффициент корреляции r.

70