Гусев / Методы научных исследований

Расчет коэффициентов производится по формулам

(6.10):

Уравнение регрессии примет вид линейной модели: y =1,1− 0,107x1 + 0,13x2 + 0,102x3

Вычисленные по полученному уравнению значения целевой функции представлены в таблице 2.

Дисперсия адекватности определится из выражения

(6.12):

121

мости α = 0,05 и степенях свободы fад = 4 и f y = 4 * (2 −1) = 4 равно FТ (0,05;4;4) = 4,2 . Следовательно, полученное уравнение адекватно эксперименту.

Интересно отметить, что линейное уравнение, полученное по дробной реплике, имеет меньшую дисперсию адекватности, чем линейное уравнение, полученное на основе ПФЭ.

6.4 Планы второго порядка

В большинстве случаев, многофакторную систему не удаётся адекватно охарактеризовать линейной или неполной квадратичной моделями. Для описания сложных объектов или области исследования с “широкими” границами более подходящими оказываются планы второго порядка, позволяющие вычислить все коэффициенты в уравнении типа (6.5) при сохранении всех основных преимуществ метода планирования эксперимента. Особенности составления планов второго порядка обусловлены необходимостью вычисления коэффициентов bii при квадратичных взаимодействиях факто-

ров xi xi . А учитывая, что в двухуровневых планах значение фактора устанавливается ±1, то любой столбец в матрицах плана, соответствующий квадрату фактора будет состоять из значений равных +1 и оценкой всех коэффициентов при квадратичных эффектах будут смешаны между собой и со свободным членом - b0 . Поэтому планы второго порядка не-

122

возможно реализовать на двух уровнях значений входных факторов. И структуры планов разрабатываются исходя из необходимости получения несмешанных оценок коэффициентов bii . Подробную характеристику этих планов можно найти в [9,10]. Здесь рассматриваются наиболее часто употребляемые планы в силу их хороших числовых характеристик ( D−,G−, E − оптимальности) удобности применения на практике, особенно перехода к ним от простых планов и использования имеющейся информации.

6.4.1. Трехуровневый полный факторный эксперимент

Информацию для расчетов коэффициентов при квадратичных планах уравнения (6.5) дают планы с варьированием значений факторов как минимум на 3-х уровнях. Если это условие выполняется для всех аргументов, то такие планы называются полными и обозначаются как ПФЭ nk количество опытов N составит N = nk .

Наиболее распространены планы с 3-х уровневым варьированием - ПФЭ 3k . Их матрицы для 2-х и 3-х факторов приведены в таблицах 6.12. и 6.13.

Таблица 6.12

Матрица планов ПФЭ 3k для k =2

123

Таблица 6.13

Основным недостатком этих планов является большое число опытов при k > 2 .

6.4.2. План Бокса Bk

Существенно сократить число опытов в планах второго порядка позволяют композиционные планы, предложенные Дж. Боксом и К. Уилсоном [9] и носящие имя первого автора.

Эти планы получаются из планов ПФЭ k = 2k путем добавления специальных опытов, соответствующих определенным точкам факторного пространства. Общее число опытов в таких планах определяется уравнением:

N = nя + n0 + nα ,

где nя – число опытов в “ядре” плана, за который принимается ПФЭ или ДФЭ;

n0 – число опытов в центре плана;

nα – число опытов в специальных (звёздных) точках плана.

124

План Бокса состоит из ПФЭ 2k и опытов, последовательно реализуемых для каждого фактора на верхнем и нижнем уровнях при условии, что остальные фиксируются в центре плана. Матрица плана B3 для трех входных факторов представлена в таблице 6.14. Число опытов в планах Бокса составляет: N = 2k + 2k ;

Расчет коэффициентов уравнения регрессии, получаемых по плану Бокса производится по формулам (6.6). Значение

125

Пример. Экспериментальные исследования воздухораспределителя с поворотными профильными пластинами.

Воздушная струя, поступающая в помещение из приточного устройства (насадка) должна автоматически изменять свою траекторию в зависимости от скорости v0 на выходе. Траектория струи изменяется за счет увеличения угла α вектора скорости по отношению к начальному, горизонтальному положению. Для обеспечения автоматизации этого процесса предложено одну из половин поворотной пластины относительно ее оси выполнить плоской, а другую профильной, с отрицательной кривизной. Подъемная сила, возникающая при обтекании профильной части, создает момент, поворачивающий пластину вокруг оси. При некотором угле поворота α поворачивающий момент уравновешивается моментом от силы тяжести пластины, направленным в противоположную от первого момента сторону и пропорциональным углу поворота α .

Угол поворота пластины зависит от соотношения размеров профильной и плоской половин, скорости потока и шага установки пластин. Использование аналитических зависимостей осложнено отсутствием значений аэродинамических коэффициентов Cx и Cy для углов атаки больше 14 град. Поэтому характеристики профильных пластин определены экспериментальным методом.

Исследования проводились на аэродинамическом стенде, состоящем из вентилятора, камеры статического давления, системы воздуховодов и насадка с профильными поворотными пластинами, установленными в плоскости истечения струи с регулярным шагом t . Скорость воздуха измерялась термоанемометром системы ВНИИГС с точностью до 0,1 м/с. Угол отклонения пластины определялся по транспортиру с точностью ± 1 град. (см. рис. 1).

126

пластины. Шаг установки пластин t в сечении насадка принят по отношению к общей ширине пластины (в направлении движения воздуха), равной 80мм. Конструкция шарнирного соединения пластин с корпусом насадка (см. рис. 2) представляет собой рейку, установленную в отверстии на ребро, что позволяет пластине отклоняться на углы до 85 градусов практически без трения.

Рис. 2. Конструкция шарнирного соединения поворотной пластины с корпусом насадка: 1 - корпус насадка;

2- поворотная пластина; 3 - отверстие.

Вкачестве плана эксперимента принят план Бокса B3 .

Матрица плана и результаты исследования приведены в таблице 2.

Таблица 2

Матрица плана Бокса В3 и результаты экспериментальных исследований характеристик

профильных пластин

128

Каждый опыт воспроизводился два раза, по результатам которых вычислялось среднее значение угла отклонения α .

Проверка однородности дисперсий произведена по критерию Кохрена –G .

S 2

G = N max

∑Si2

1

где Smax2 - максимальная дисперсия в серии опытов; Si2 - дисперсия каждого опыта в плане;

N - число опытов в плане.

где y j.u - значение выхода в каждом опыте.

В соответствии с табл. 2 имеем:

G = 521 = 0,24

Дисперсии однородны при условии:

129

G < GТАБЛ α ,

( f 1: f 2; )

где GТАБЛ α - табличные значения критерия Кохрена при

( f 1: f 2; )

уровне значимости α и степеней свободы f1 = m −1 = 2 −1 = 1

и f1 = N =14 .

Для α = 0,05 табличное значение критерия Кохрена равно 0,47, что меньше расчетного. Следовательно, дисперсии однородны, и для оценки дисперсии воспроизводимости

S y2 принимается средняя дисперсия:

Результаты расчета коэффициентов уравнения регрессии bi по формулам (6.6), и проверка их значимости приведены в табл.3. Табличное значение критерия Стьюдента

t(табл14;0,05) = 2,15

Таблица 4.3

Расчетные значения коэффициентов регрессии в уравнении характеристик профильных пластин

130