Гусев / Методы научных исследований

чениями Z. Но надежность полученных значений y€ невелика и зависит удаление точки от границ факторного пространства. Чем дальше расположена точка, тем менее вероятные значения получаются. Однако решение экстрополяционной задачи в некоторых случаях имеют практический интерес или используются для нахождения области оптимума.

Для линейных моделей степень влияния каждого фактора на поведение системы можно оценить по величине соответствующего коэффициента в уравнении (6.11). Чем больше значение /bi/, тем сильнее его влияние на изменение y. В квадратичных моделях величина коэффициентов при линейных членах не является критерием значимости фактора и этот вопрос необходимо рассматривать с учетом значений и знаков коэффициентов при квадратичных членах и эффектах взаимодействия. Обычно эта задача решается проще всего решается графическим методом.

Выбор метода определения экстремума целевой функции зависит от степени уравнения (6.11).

Если область экстремума описывается линейным уравнением, то экстремальные значения целевой функции лежат на границе области, - в вершинах квадратах (при к=2), кубах (при к=3) или гиперкуба (при к>3). В соответствии со знаками у коэффициентов bi определяют минимальное y v или максимальное y€значение целевой функции, подставляя в уравнения граничные условия по входным факторам.

Если процесс описывается полиномом второй степени, то поиск экстремумов может осуществляться методом перебора. При этом вычисляются значения целевой функции при всех комбинациях входных факторов в принятых интервалах их изменения с некоторым шагом квантования хi . Этот прием достаточно трудоемок и реализуется на ЭВМ.

141

Ll * M m *T t ,

где, L, M, T – соответственно размерности длины, массы и времени.

Физические закономерности выражаются функциональными зависимостями между величинами, характеризующими физическое явление. Численное значение этих размерных величин зависят от системы единиц измерения.

Если имеется размерная величина y , которая является функцией u независимых аргументов – размерных величин – xi , то связь между ними выражается уравнением:

y = f (x1 ; x2 ; x3 ;...xk ;...xu )

(7.1)

Если k величин функции f имеют независимые размерности, а (u-k) – зависимые, то, принимая первые k величин за основные величины, через них можно выразить размерности остальных (u-k) величин:

венно в α1 , α2 ,… αk раз численные значения величин в новой системе будут равны:

В новой системе измерения соотношение (7.1) примет вид:

143

Положим:

нами y , x1, , x2 … xn , независимая от выбора системы единиц измерения, принимает вид соотношения между (n +1 − k ) величинами П1 , П2 … Пu−k , представляющими собой безразмерные комбинации из (n +1) размерных величин. Это является общим выводом теории размерностей и называется П - теоремой. [9].

Соответственно, если рассматриваемая безразмерная величина является функцией ряда размерных величин, то эта функция зависит только от безразмерных комбинаций, составленных из определенных размерных величин. И всякое физическое соотношение между размерными величинами можно представить как соотношение между безразмерными величинами.

Из (7.3) следует, что если число основных единиц измерения равно числу аргумента (т.е. n = k ), то функциональная зависимость может быть представлена только в виде:

144

y = cx1m1x2m2....xnmn ,

где c – безразмерная постоянная, определяемая из экспериментальных данных.

Всякую систему уравнений, описывающих поведение объекта, можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Среди определяющих параметров должны быть величины с размерностями, через которые могут быть выражены размерности всех остальных зависимых параметров. Некоторые из определяющих параметров могут быть физическими размерными постоянными.

Например, статическое состояние газа выражается следующими определяющими параметрами:

- температурой Tt , [C]; - плотностью ρ , [M L3 ]; - давлением P , [M T 2 L].

Предположим, что состояние газа определяется температурой, плотностью и одной физической постоянной, например коэффициентом теплоемкости cν = [L2T −2C−1 ]. Размерность давления можно выразить через независимые размер-

ности Tt , ρ и cv : P =f(Tt ; ρ ; cv )

Тогда безразмерный комплекс K , образованный этими параметрами будет иметь вид:

Таким образом, уравнение Клайперона можно рассматривать как следствие единственной гипотезы о том, что давление, плотность, температура и теплоемкость, независимо от значений других характеристик, связанны между собой

145

соотношением, имеющим физической смысл.

Теория размерности может применяться для определения безразмерных комплексов (критериев), когда математическое описание явления ещё отсутствует.

Например, из опыта известно, что теплоотдача между твердой поверхностью и жидкостью зависит от восьми раз-

Имеется четыре основных единицы измерения: длина L , масса M , время T и температура C .

Безразмерные комплексы K представляются в виде произведений степеней основных размерных величин:

где s, t, u, n, m, y, x, z - неизвестные показатели системы. Замена величин, входящих в (7.4) их размерностями при-

водит к выражению:

[K] = Ls [LT −1 ]t [ML−3 ]u [ML−1T −1 ]n [MLT −1C −1 ]т [L2T −2C −1 ]x [LT −2 ]y

[MT −3C −1 ]z = L(s+t−3u−n+m+2x+y) T (−t−n−3m−2x−2 y−3z) M (u+n+m+z) C(−m−x−z)

Условием безразмерности комплекса K является равенство нулю суммы показателей степеней при каждой основной размерности.

146

В связи с тем, что показателей степени 8, а уравнений в системе (7.4а) четыре, то для остальных (8-4) степеней (например, x, y, z, n ) значения могут быть назначены произвольно. Тогда из (7.4а) имеем:

s = 3u −t + n − m − 2x − y

t= −n −3m − 2x − 2y −3z = x − n − 2y

u= −n + (x + z) − z = x − n

m= −(x + z)

идалее (7.4) перепишется:

К = l( x+y+z−n) υ( x−n−2 y) ρ( x−n) μn λ−(x+z) (gβ T) y Cνxα z

С учетом свободы выбора x, y, z,n получаются следующие критерия подобия:

1. z =1; y = x = n = 0 Критерий Нуссельта Nu :

Gr = (gβ T )l 3 μ2 ρ2 .

При других значениях x, y, z, n получаются лишь различные комбинации полученных критериев.

Другой иллюстрацией возможности теории размерности может служить изучение движения воды в трубах. Применение теории размерности О. Рейнольдсом в конце 19 века по-

147

зволила согласовать и объединить многие эмпирические законы найденные для различных условий движения.

Рис. 7.1.

Движение несжимаемой жидкости по трубе рассматривается при установившемся режиме со средней скоростью w [LT −1 ]. Параметры трубы круглого сечения однозначно определяются её диаметром d [L], длиной l [L] и высотой выступов h [L]. Физические свойства жидкости, влияющие на движение, определяются плотностью ρ [ML−3 ] и динамической вязкостью

μ[MT −1 L−1 ].

Вобщем виде взаимосвязь между этими параметрами имеет вид:

f (l, d, h, ρ, w, μ, p) = 0

Всего имеются 7 размерных величин (к=7) из которых 3 (d, ρ,w) имеют независимую размерность (к=3). Следовательно, число безразмерных комплексов составит: 7-3=4.

K = (lu ,d t ,hF , ρk , wp , μs , pl )

[K ]= [L]u [L]t [L]F [ML−3 ]k [LT −1 ]p [MT −1L−1 ]s [MT −2 L−1 ]l =

Lu+t+F −3k + p−s−l M k +s+lT − p−s−2l .

Условие безразмерности комплекса К : u +t + F −3k + p − s −l = 0

148

Для решения системы уравнений (7.5) воспользуемся приёмом определения безразмерного комплекса через каждый зависимый размерный элемент E( p, μ,h,l) :

Для давления p :

- для динамической вязкости (πμ ):

d t ρk wp μ = πμ

[L]t [ML−3 ]k [LT −1 ]p [MT −1L−1 ]= Lt −3k + p −1M k +1T − p −1 = [πμ ] t −3k + p −1 = 0

k +1 = 0 p +1 = 0

отсюда имеем: t = −1; k = −1; p = −1 и соответственно получаем критерий Рейнольдса Re:

d −1ρ−1w−1μ = πμ ; Re = dwρ μ ; - для длины l ;

dt ρk wpl =πl

[L]t [ML−3 ]k [LT −1 ]p [L]= Lt −3k + p+1M kT − p = [πl ]

149

t −3k + p +1 = 0 k = 0

p = 0

соответственно получаем: t = −1 и πl = d −1l = l d - калибр

трубопровода;

- для размеров выступов h :

dt ρk wph =πh

[L]t [ML−3 ]k [LT −1 ]p [L]= Lt −3k + p +1M kT − p = [πh ] t −3k + p +1 = 0

k = 0 p = 0

соответственно получаем: t = −1 и πl = d −1h = h d - шеро-

ховатость материала трубопровода;

Таким, образом, функцию f от семи параметров можно заменить функцией f1 от четырех:

f1(l d ; h d ;Re; Eu)= 0

или производя запись в безразмерных параметрах:

турбулентного режима течения получено выражение:

150