Гусев / Методы научных исследований

факторного пространства) должны соответствовать четким требованиям.

Рассмотрим это на примере двухфакторного эксперимента. В традиционной практике сначала исследуется зависимость выхода системы y от одного фактора x , при фиксированном значении другого:

y = f (x1 )....x2 − const. ; y = f (x2 )....x1 − const. .

Считается, что для построения кривой y = f (xi ) достаточно знать положение 5-ти точек на графике или провести 5 опытов в интервале значения фактора x . Таким образом, общее количество опытов N составит:

N = nk ,

где n – число уровней фактора, при которых проводятся опыты;

k – число факторов.

Для нашего примера N =52 = 25

Графически факторное пространство изобразится квадратом с началом координат в центре фигуры. Найдём уравнение приближённой регрессии для двух переменных в виде:

y = b0 x0 + b1x1 + b2 x2 ,

где x0 –фиктивная переменная равная 1.

91

Система уравнений для определения коэффициентов b0 , b1 и b2 в соответствии с (5.1):

Если изменение переменных назначено с равными шагами (интервалами) в пределах от x до x€ (см. таблицу 6.1.), то слагаемые:

Следовательно, с арифметических позиций для определения коэффициентов bi нет необходимости в проведении всех опытов. В пределе, достаточно осуществить эксперимент на границе области исследования: опыты №1, 5, 21, 25. (см. рис. 6.2). Тогда, с учётом значения переменных в кодовых координатах, коэффициенты уравнения регрессии определятся:

Таким образом, целенаправленный процесс выбора условий проведения опытов в факторном пространстве области исследования представляет собой планирование эксперимен-

та.

92

Конструирование планов экспериментов происходит на основе группы специальных критериев, представляющих собой формализованные требования, которыми должна обладать будущая модель процесса.

Одно из важнейших свойств плана- ортогональность. Ортогональность плана – обеспечение независимых друг от друга оценок коэффициентов. Это условие формально достигается при выполнении равенства:

N

∑(xu xk )i = 0

i =1 u<k

Наиболее важными критериями, при решении технических задач представляются характеристики, связанные с минимизацией дисперсии оценок коэффициентов модели.

Планы, минимизирующие обобщённую дисперсию, называются D -оптимальными (от англ.: determinant – определитель).

Минимальная средняя дисперсия оценок коэффициентов обеспечивается A – оптимальными планами (от англ.: average variance - средняя дисперсия).

Большое значение в построении моделей имеет точность предсказания выходного параметра. Для оптимизации планов экспериментов с этих позиций используют следующие критерии и свойства [6].

Рототабельность (от англ.: rototable - вращающийся) – свойство, позволяющее получать одинаковую дисперсию предсказываемых значений функции во всех равноудалённых от центра факторного пространства точках.

Униформность (от англ.: uniform – равномерный) – дисперсия оценки модели в некоторой области остается постоянной. Обычно это достигается повторением опытов в центре плана.

93

Если желательно обеспечить минимум средней дисперсии оценки выхода S 2 {y} модели, то выбирается Q – оптимальный план, а если минимум максимального значения дисперсии S 2 {y}, то G – оптимальный.

При выборе плана исследования могут оказаться важным такие свойства как композиционность и насыщенность (количество опытов).

Разработаны планы с минимально-возможным для оценок коэффициентов количеством опытов, равных или близких числу оцениваемых параметров в модели l – рототабельные планы.

Композиционность плана обеспечивает возможность использования точек плана первого этапа (для построения линейной или частично квадратичной модели) в плане второго этапа (для получения полной квадратичной модели процесса).

Построить план, удовлетворяющий одновременно всем или большинству критериев практически невозможно. Поэтому при выборке стратегии эксперимента предпочтение отдаётся одному из основных для конкретного исследования критерия. Надо отметить, что D – оптимальность является более полной численной характеристикой по сравнению с другими критериями. Поэтому при выборе плана, если нет дополнительных требований или при их неопределённости, можно ориентироваться именно на этот показатель.

6.2. Формализация построения статистической функциональной модели

Системный подход служит не только методологической основой стратегии исследования, но и позволяет формализо-

94

вать (упорядочить) процесс построения математических моделей, провести статистическую проверку и анализ уравнений регрессии.

Процесс формализации особенно важен на начальных этапах, при выборе целевых функций и влияющих факторов, выявление из множества переменных наиболее существенных. В литературе приводится много примеров систематизации и анализа априорной информации.

Обычно рекомендуют придерживаться следующего алгоритма: постановка задачи; выбор параметров оптимизации и входных факторов, выбор плана эксперимента.

Постановка задачи (в данном ограниченном понятии), содержит схематическое описание объекта как системы, формируется цель исследования. Если целей несколько, то полезно оценить их по степени важности (проранжировать).

В соответствии с целями исследования выбираются параметры оптимизации объекта (системы), которые, по сути, являются количественным выражением назначенных целей. И хотя, как правило, исследователь интуитивно обозначает для себя и цели и параметры, всё же бывает очень полезно представить эти сведения в табличной форме, например по таблице 6.2.

Таблица 6.2

Характеристика параметров оптимизации

Выбор влияющих факторов остаётся самым ответственным, и в то же время, слабо поддающимся формализации

95

этапом. С одной стороны, необходимо включить в план эксперимента все наиболее значимые аргументы, с другой, желательно стремиться к сокращению числа входных факторов, так как большое их количество усложняет и саму модель и её анализ, увеличивает количество опытов. Наиболее радикальные рекомендации по этому этапу сводятся к упованию на талант и опыт экспериментатора. В реальности, выбор входных факторов обычно основан на анализе априорной информации о физике процесса или поведении системы. Иногда для уточнения или сохранения числа факторов проводят предварительные опыты. И недостаток, и избыток несистематической информации об объекте исследования затрудняют компоновку блока управляющих факторов. Для начала необходимо составить список всех выявленных факторов, влияющих на процесс (по форме аналогичной таблице 6.2.) и затем из них выбрать те, которые включаются в модель системы.

Остальные факторы должны быть зафиксированы на определённом и неизменном уровне.

Выбор плана производится по критериям оптимальности, с учётом реальных временно-ресурсных возможностей и стратегии исследования: желаемые сроки, ограничения на число опытов, стоимость и затраты времени на реализацию опыта, возможность их повторения в неизменных условиях,

96

стремление к оптимизации процесса или к описанию области исследования и т.п. X i

После выбора плана и входных факторов рекомендуется провести процедуру кодирования значений факторов по (6.1) и составить таблицу 6.4.

Для удобства организации процесса планирования и расчетов, перед проведением исследований, рекомендуется составить рабочую матрицу, состоящую из плана экспериментов с фиксированным значением входных факторов (их полезно представить в кодовых и в натуральных координатах) в каждом опыте, порядкового номера реализации опыта в каждой серии повторений (проведение параллельных опытов или их дублирование) и значения выхода системы в соответствующем опыте (см. таблицу 6.5).

При проведении исследований, важное методическое значение имеет порядок реализации каждого опыта плана, ибо соответствующий выбор этого порядка может помочь избавиться от возможной систематической ошибки. Наиболее распространенный и надежный прием для этого основывается на внесении элемента случайности в порядковые номера - рандомизация опытов. Рандомизацию можно провести, например, простым извлечением номеров опытов из урны.

Для оценки воспроизводимости процесса и статистической проверки коэффициентов и уравнения регрессии проводят несколько серий опытов по одному плану с учётом рандомизации порядка реализации опыта в каждой серии. Коли-

97

чество серий и опытов, подлежащих дублированию определится планом, техническими возможностями по воспроизведению условий опыта, приборной ошибкой, задачами эксперимента и т.п.

Таблица 6.5

Рабочая матрица исследования по двух уровневому плану с двумя входными фаторами

на, или только некоторые по выбору, оценку дисперсии воспроизводимости S 2 {Y } (или S y2 ) проводят по соответствующим критериям.

При одинаковом числе параллельных опытов по всему плану однородность дисперсии проверяется по критерию Кохрена (или Кочрена) Gp :

Gp = nSi2

∑Si2

i=1

где Si2 - дисперсия воспроизводимости i-го опыта.

где Yi - среднее значение выходного параметра в i-ом опыте по п- повторениям. (см. графу 10, таблица 6.5.).

98

Si2 - максимальная из рассчитанных дисперсий по всем опытам;

Расчетное значение критерия Кохрена Gp сравнивается с табличным GТ : со степенями свободы: fn = n число независимых оценок дисперсии воспроизводимости; fi = N −1 - число степеней свободы оценки дисперсии воспроизводимости в каждой точке факторного пространства и уровнем значимости α . (доверительной вероятностью p = (1 −α) ).

то гипотеза об однородности дисперсии не отвергается. Если нет, то можно либо изменить уровень значимости (если это допустимо по мнению исследователя), либо найти способ снизить максимальную дисперсию S y2 , либо (иногда это имеет смысл) снизить точность измерения выхода.

При подтверждении гипотезы об однородности дисперсии (6.3) в дальнейших расчётах можно использовать среднюю дисперсию опытов SY2 с числом степени свободы f = N (n −1):

В некоторых планах изначально не предусматривается дублирование всех опытов, а устанавливается повторение n - раз только некоторых из них - N0 . Тогда дисперсия воспроизводимости определится по формуле (6.4), но число степеней свободы уменьшится

На следующем шаге вычисляют коэффициенты bi в уравнении приближённой регрессии (6.1). Если количество

99

факторов K , то в общем виде уравнение можно представить следующим образом:

где i, j, e - индексы коэффициентов.

Для построения линейных и неполных квадратичных моделей обычно выбираются ортогональные планы и коэффициенты уравнения (6.3.) регрессии вычисляются по простым соотношениям:

где u - индекс номера опыта. N - число опытов в плане.

Построение квадратичных моделей может проводиться по различным планам [7-10]. Для некоторых из них формулы вычисления коэффициентов имеют вид:

S{bii }= (T1 +T5 )1 SY

N

bij = T6 ∑Yu xiu x ju ;

В некоторых случаях полезно использовать несимметричные планы типа M1 * M 2 * M3 *…* Mi , в которых коэффи-

100