Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гусев / с68-77.doc
Скачиваний:
31
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
303.1 Кб
Скачать

Рис. 6. Схема объекта по принципу "черного ящика"

В отличие от детерминированных математических моделей объекта, построенных на основе фундаментальных законов физики, механики, химии или других, статистические математические модели получают, описывая зависимости выходных параметров (свойств, откликов) объекта от изменения входных параметров (факторов) с помощью полиномов различной степени.

Статистической математической моделью объекта является функция или набор функций, описывающих зависимость величин выходных параметров (свойств, отклика) объекта (yv) от значений входных параметров (xj):

yv = v(x1, x2, x3, ..., xj, ..., xk) + (w1, w2, w3, ..., wz, ...) ,

где  - вклад в изменение свойств объекта случайных факторов.

Наиболее часто в качестве статистической модели объекта используют приближенные уравнения регрессии:

.

Известно, что любую функцию (в том числе  и f) можно разложить в ряд Тейлора и представить в виде конкретного полинома определенной степени (конечного отрезка ряда Тейлора) вида:

…,

где  и b - соответственно генеральные и выборочные коэффициенты ряда Тейлора.

По результатам эксперимента возможно определить вид полинома только с выборочными коэффициентами, которые характеризуют:

b0 - величину y при нулевом значении всех факторов (свободный член);

b1, b2, ..., bj, ..., bk - линейные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y;

b12, b13, ..., b1j, ...,b1k, b23, b34, ..., b2j, ..., b(k-1)j, ..b(k-1)k - парные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y (эффекты "взаимодей­ствия" двух соответствующих факторов);

b11, b22, ..., bjj, ..., bkk - квадратичные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y;

b123, b124, ..., b1uj, ..., b234, b235, ..., b2uj, ..., b(k-2)(k-1)k - тройные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y (эффекты "взаимодей­ствия" трех соответствующих факторов) и т.д.

Наиболее удобно планировать эксперимент математическими методами для кодированных значений факторов (xj), получаемых из натуральных значений (Xj) по следующим формулам:

; ; , где - натуральное значение фактора в центре (середине) выбранной (заданной) области изменения (варьирования) фактора, и - соответственно максимальное и минимальное значения фактора в выбранной области его изменения. В соответствии с этими формулами натуральному значению Xj = соответствует кодированное значение xj = 0; Xj = - кодированное значение xj = +1, а Xj = - значение xj = -1.

Переход от кодированных значений факторов к натуральным осуществляют по формуле

.

Выбор плана эксперимента для применения РАМПЭ в отличие от планирования экспериментов для проведения КРА определяется видом выбранного семейства функций (видом полинома).

После завершения эксперимента для проведения РАМПЭ выполняют следующие действия:

  1. Выбирают вид полинома (отрезок ряда Тейлора) для поиска уравнения регрессии.

  2. Для выбранного полинома с помощью МНК рассчитывают параметры функции (выборочные коэффициенты уравнения регрессии).

  3. Проверяют рассчитанные выборочные коэффициенты уравнения регрессии на значимость (равенство нулю).

  4. Корректируют вид исходной функции, исключая из нее незначимые коэффициенты и другие составляющие.

  5. Оценивают ошибки, допускаемые при описании истинной зависимости  с помощью найденного уравнения регрессии: проверяют адекватность уравнения регрессии с помощью распределения Фишера или рассчитывают вероятность описания зависимости  функцией f.

  6. Если точность найденного уравнения регрессии не удовлетворяет, то выбирают, планируют и реализуют другой план эксперимента для поиска уравнения регрессии в другом семействе полиномов (например, полиномов более высокого порядка).

Порядок проведения РАМПЭ в отличие от КРА имеет следующие особенности:

  1. Выбирается только один класс функций - полиномы.

  2. Используется только один метод приближения - МНК.

  3. После корректировки уравнения регрессии его коэффициенты не пересчитываются.

  4. Выполняется меньшее количество этапов РА.

Обычно поиск уравнения регрессии начинают в семействе самых простых полиномов: первого и второго порядка. По названиям степеней полиномов называют и планы эксперимента для применения РАМПЭ.

Прежде чем перейти к знакомству с методами математического планирования эксперимента для применения регрессионного анализа, необходимо отметить некоторые важные обстоятельства [8]:

1. С познавательной точки зрения полиноминальная статистическая модель объекта не представляет большого интереса. Зная оценки коэффициентов отрезков ряда Тейлора, нельзя определить истинную зависимость , а следовательно, невозможно получить информацию о механизме поведения исследуемого объекта.

  1. Полиноминальные модели справедливы только для условий, в которых проводился эксперимент.

3. Полиноминальные модели очень полезны с практической точки зрения, так как позволяют управлять поведением объекта и решать для него задачи оптимизации.

5.3.2.2.1. Планы первого порядка

Планы первого порядка позволяют находить линейные уравнения регрессии (I) и нелинейные уравнения (II) с членами, учитывающими эффекты "взаимодействия" факторов:

; (I)

=

=

+ b123 x1x2x3 + b124x1x2x4+ ...+ b(k-2) (k-1) k x k-2 x k-1 x k . (II)

Для удобства программирования расчетов вводят в состав уравнения регрессии фиктивную переменную х0 = +1 во всех опытах эксперимента:

;

Для РАМПЭ наибольшее распространение получили двухуровневые (mj = m =2) ортогональные D-оптимальные планы первого порядка типа 2(c-a). При таких планах все факторы в кодированном виде могут иметь только два значения (xj = +1 и xj = -1). Тип плана обозначает формулу для расчета числа его опытов без их повторения (N): N = m(c-a) = 2(c-a), где c > a, c  k и а равно 0,1, 2, 3, ...

При а = 0 такой план типа 2(c-a) является планом ПФЭ, а при а > 0 - планом ДФЭ.

Планы, отвечающие условиям ортогональности, позволяют любой коэффициент уравнения регрессии рассчитывать по одной формуле:

,

где i - номер опыта в плане эксперимента; bd - коэффициент, учитывающий эффект факторов, значения которых приведены в столбце xd плана эксперимента; yi - свойства объекта, измеренные при проведении соответствующего опыта; N - число опытов в эксперименте.

D-оптимальные планы обеспечивают минимальную и одинаковую ошибку в оценке всех коэффициентов уравнения регрессии (), определяемую по формуле

,

где - дисперсия воспроизводимости, характеризующая случайные ошибки всего эксперимента.

Условием ортогональности плана эксперимента является выполнение условия

= 0 при u  j и u,j равных 0, 1, 2, ..., k.

Для D- оптимальных планов должны выполняться следующие условия:

при j равном 1, 2, ..., k;

= N при j равном 0, 1, 2, ..., k.

Выбор плана эксперимента начинается с расчета необходимого числа опытов (Nнеобх.) или его задания (Nзад.). При этом должны выполняться соотношения

N  Nнеобх. ; Nнеобх.  k + 1 ; Nнеобх.  L + 1; Nзад.  N,

где L - общее число коэффициентов в выбранном семействе полиномов.

При расчете Nнеобх. задаются видом полинома (типом и числом коэффициентов уравнения регрессии L), а при задании числа опытов определяют вид семейства полиномов, в котором возможно найти уравнение регрессии для данного числа опытов в эксперименте:

kmax = Nзад. - 1; Lmax = Nзад. -1.

Рассмотрим возникающие задачи выбора линейного плана на примере.

Допустим, что мы решили исследовать влияние на свойство y четырех факторов xj (k = 4) и описать их зависимость уравнением регрессии в виде следующего нелинейного полинома (L = 11):

+ b14 x1x4 + b23x2x3 + b24x2x4 + b34x3x4.

Тогда совместное выполнение соотношений даст:

Nнеобх.  k + 1  4+1  5; Nнеобх.  L + 1  11+1  12; Nнеобх.  12.

Очевидно, что соотношению N  Nнеобх отвечают планы типа 2(с-а) при условии, что (с-a)  4 и соответственно N  16. Из совокупности планов с N  16 выберем план ПФЭ типа 24 как наиболее экономный по числу опытов (N = 16) и позволяющий получить наиболее точные оценки коэффициентов уравнения регрессии. При ПФЭ все выборочные коэффициенты уравнения регрессии являются достаточно точными, "несмешанными" оценками соответствующих генеральных коэффициентов: bd  d.

Для построения ортогонального и D-оптимального плана ПФЭ типа 24 воспользуемся одним из распространенных приемов, заключающемся в следующем:

  1. Делается заготовка плана в виде таблицы (плана-матрицы эксперимента), в которой предусматривается не менее N строк и (L+2) столбца.

  2. В первый столбец таблицы заносят номера строк, соответствующие номерам опытов. Во второй столбец - кодированные значения фиктивного фактора х0 = + 1. В третий столбец - кодированные значения первого фактора в виде последовательного чередования друг за другом значений (+1) и (-1). В последующем, четвертом столбце, выбранная комбинация чередований в предыдущем столбце знаков (+1) и (-1) удваивается, например: после двух знаков (+1) следуют два знака (-1). По аналогичному принципу удвоения комбинации чередования знаков предыдущего столбца заполняются и последующие столбцы для всех оставшихся факторов.

  3. Столбцы для оценки эффектов "взаимодействия" факторов заполняются путем перемножения знаков для соответствующих факторов в соответствующих строках таблицы.

  4. Правильность составления плана проверяется по выполнению условия его D- оптимальности .

Построенный по этому приему план приведен в табл. 16.

Таблица 16

Соседние файлы в папке Гусев