Гусев / Методы научных исследований

Четвертый центральный момент μ4 участвует в вычислении коэффициента эксцесса распределения случайной величины γ2 (рис. 2.4.):

γ2 = μ4 σx4 −3 .

Рис. 2.4. Плотность распределения случайной величины x с различными коэффициентами эксцесса

и одинаковыми μ1 и μ2

Кроме моментов функции распределения характеризуются отдельными значениями - квантилями. Квантилем xp распределения случайной величины x с функцией распределения F(x) называется такое значение случайной величины x , для которой выполняется условие:

P(x < xp )= p .

Например, квантиль x0,5 называется медианой и рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам (рис. 2.5).

31

2. Неслучайную величину можно вынести за знак математического ожидания:

M(cx)= cM (x).

3.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин:

M (x1 + x2 + x3 +.... + xi )= M (x1 )+ M (x2 )+ M (x3 )+... + M (xi ).

4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин:

M(x1 * x2 * x3 *....* xi )= M (x1 )* M (x2 )* M (x3 )*...* M (xi ).

1.Дисперсия неслучайной величины с равна 0:

σc2 = D(c)= 0 .

2.Неслучайную величинус можно выносить за знак дисперсии; возведя ее в квадрат:

D(cx)= c2 D(x)= c2σx2 .

3.Дисперсия случайной величины x равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания

σx2 = D(x)= M (x2 )− mx2 .

4.Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

2.3. Виды распределения случайной величины

Распределение случайной величины в некотором интервале возможных значений может быть произвольным. В практическом использовании теории вероятности применяются только наиболее изученные законы распределения. К ним относятся: равномерное, биноминальное (Бернулли), нормальное, экспоненциальное.

33

2.3.1. Равномерное распределение

Равномерным, называется распределение, для которого плотность вероятности постоянна в определенном интервале значений случайной величины и равна нулю вне этого интер-

вала (рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Графики плотности вероятности а) и функции б) равномерного распределения

Математическое ожидание случайной величины x , равномерно распределенной в интервале ( a,b ) равно:

34

Медиана случайной величины х будет равна математическому ожиданию:

x0,5 = mx = a +2 b

2.3.2. Биноминальное распределение (Бернулли)

Если осуществление некоторого события происходит с постоянной вероятностью p и эта вероятность не зависит от результата предыдущих испытаний, то вероятность наступления m событий при n испытаниях (m и n - целые числа) вычисляется по формуле, предложенной швейцарским математиком Я. Бернулли:

Pn (m) = n(n −1)......(n − m +1) pm (1− p)n−m m!

35

и такое распределение называется биноминальным или Бернулли.

Наиболее распространенным примером биноминального распределения является бросание монеты. В этом случае p = 0,5 . Естественно, что биноминальное распределение относится к дискретным величинам.

2.3.3. Нормальное распределение случайных величин

Случайная величина x называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет

где mx и σx2 - математическое ожидание и дисперсия случайной величины x .

Функция распределения:

В природе множество событий происходит случайно, вследствие воздействия на них большого числа относительно «равновеликих» независимых возмущений. У таких явлений закон распределения близок к нормальному. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

36

Нормальное распределение для нормированной случайной величины называется стандартным. Его функция распределения имеет вид:

математического ожидания mx , то функцию Лапласа можно использовать для исключения грубой ошибки (результат измерений, содержащий заведомый промах и, как следствие, необъективно оценивающий физический эффект) в опытах.

Допуская, что результаты измерений содержат случайные ошибки, величина которых подчиняется нормальному закону, проверяют условие попадания результата опыта в заранее назначенный интервал. Величину интервала удобно привязывать к стандартному отклонению σ .

Абсолютное отклонение x результата измерения (случайная величина) x от математического ожидания mx составляет ошибку измерения: x = x − mx .

Требуется найти вероятность того, что абсолютные отклонения случайной величины не превысит некоторого заданного числа ε :

P( x ≤ ε)= P(mx −ε ≤ x ≤ mx +ε).

Для нормированной случайной величины mx = 0 :

P( x0 ≤ ε)= P(−ε ≤ x ≤ +ε)= Ф(+ε)−Ф(−ε)= 2Ф(ε)

38

Для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами mx и σ x :

Таким образом, вероятность появления отклонения больше чем утроенный стандарт (среднеквадратичное отклонение) составляет всего 0,27% , что считается практически невозможным и позволяет сделать вывод о наличии в результате измерения грубой ошибки.

Основные характеристики нормального распределения mx иσ x определяются из функции распределения. График плотности нормального распределения имеет экстремум в точке mx и две точки перегиба x1 = mx −σ x и x2 = mx +σ x со

значением функции 1σ 2π e .

Изменение математического ожидания приводит к сдвигу кривой вдоль оси x , а с возрастанием дисперсии максимальная ордината нормальной кривой убывает и сам график становится более пологим (рис. 2.8.).

Рис. 2.8. Изменение графика функции плотности нормального распределения при изменении ее численных характеристик а) mx ; б) σ x

39

Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю. Если искусственно ввести в функ-

(рис. 2.9).

Асимметрия вытягивает (удлиняет) одну из половин кривой (относительно mx ) по оси x .

Эксцесс изменяет «крутость» кривой распределения по отношению к стандартной. При γ2 >0 подъем вершины увеличивается, и наоборот если γ2 <0, то кривая имеет более плоскую и низкую вершину.

асимметрии а) и эксцесса б) при одинаковых mx и σ x

Коэффициенты асимметрии и эксцесса можно использовать для сравнения близости реального распределения к нормальному.

2.3.4. Распределение χ2 (хи - квадрат)

Если имеется n результатов независимых испытаний над случайной нормальной величиной x с математическим ожи-

40