Гусев / Методы научных исследований

циенты при различных факторах вычисляются по формулам

[7]:

S 2{bii } = Aii SY2

Рассчитанные по формулам коэффициенты bi , уравнений проверяют на статистическую значимость по критерию Стьюдента ti :

где S 2{bi }- дисперсия оценки коэффициента.

Если ti < t(таблα; f y ) , то гипотеза о значимости коэффициента

отвергается с уровнем значимости α и коэффициент приравнивается к нулю. Табличное значение критерия Стьюдента в технико-экономических задачах обычно определяется для уровня значимости равного 0,05 или 0,1.

Удаление статистически незначимого коэффициента из уравнения модели показывает, что фактор (сочетание факторов), при котором он находился, не влияет на поведение системы. Однако необходимо иметь в виду, что на степень влияния фактора на выходной параметр сказывается не только его действительная значимость, но и выбранные пределы варьирования. Если интервал изменения xi , не велик, то скорее

101

именно это является причиной нечувствительности исследуемой системы к данному фактору. Поэтому утверждение об отсутствии влияния фактора на параметр оптимизации относят только к рассматриваемой области исследования.

Незначимый коэффициент, исключается из уравнения без каких-либо последствий для других коэффициентов только в ортогональных планах. Если план не обладает этим свойством, то при исключении какого-либо коэффициента, необходимо пересчитывать значения оставшихся коэффициентов.

После исключения незначимых коэффициентов из уравнения (6.5) необходимо убедиться насколько правильно и точно оно описывает поведение целевой функции в базовых точках факторного пространства. Эта процедура называется проверкой адекватности уравнения регрессии и проводится путем сравнения дисперсии Sад2 характеризующей точность совпадения средних результатов опытов yu с предсказанными по уравнению результатами yn при одинаковых значениях аргументов и дисперсией воспроизводимости опытов Sy2 :

где l - число значимых коэффициентов в уравнении. Проверку однородности двух дисперсий осуществляют

сравнением критериев Фишера - расчетного Fp и табличного

Если условие (6.8) подтверждается, то гипотеза об адекватности уравнения регрессии принимается с уровнем значи-

102

мости α , который в свою очередь назначается исходя из условий решаемой задачи.

Если условие (6.8) не выполняется, то теория дисперсионного анализа не рекомендует использование полученной модели для анализа поведения объекта.

Однако следует помнить, что неадекватность уравнения регрессии оценивается чисто математическими приемами, и при решении технико-экономических задач полезно проанализировать полученный результат на предмет величины ошибки модели, ее поведения в факторном пространстве. Возможно несколько вариантов принятия решения.

Неадекватность уравнения может быть следствием не только (и не столько) большой его ошибки, но и завышенной точности эксперимента. При хорошей воспроизводимости процесса и высокоточных приборах, дисперсия опытов оказывается малой и формальная проверка адекватности по (6.8) практически никогда не выполняется. С другой стороны в технических задачах считается приемлемой погрешность порядка 10%, а в некоторых случаях и 20%. Поэтому, если дисперсия адекватности удовлетворяет исследователя, то можно рекомендовать прием увеличения дисперсии воспроизводимости до некоторой условной величины S y2у , обеспечивающей выполнение проверки (6.6.).

Этого же можно добиться и за счет снижения доверительной вероятности p = (1 −α) , если такое решение не противоречит условиям задачи (к стати сказать, выбор конкретного уровня доверительной вероятности при вычислении критерия Фишера остается операцией наименее поддающейся формализации и полностью возлагается на исследователя). Здесь может иметь место и обратная задача - определение такой величины доверительной вероятности, при которой модель процесса становится адекватной эксперименту.

103

Повышению точности модели может значительно способствовать и количество членов в уравнении (6.5.). Как показывает опыт, исключение коэффициентов, по условию не всегда целесообразно, так как несколько даже незначительных коэффициентов могут в сумме внести решающий вклад в снижение дисперсии адекватности. С этой же целью можно рекомендовать рассчитывать коэффициенты при всех эффектах взаимодействия. Конечно, это усложняет модель, но современная техника позволяет не только решить проблему вычислений, но и исследования поведения и оптимизации модели без значительных затрат времени.

Иногда для достижения адекватности бывает полезным преобразование выходного параметра y в иную функцию z = f ( y) и строить модель для нее. Чаще других для этих целей используется логарифмирование:

z = ln y

Модель процесса будет выглядеть как:

z= bo z + b1z x1 +... + biz xi

исоответственно переход к начальному уравнению:

y = exp z = exp(b1t +... + xi biz )

Кроме математических приемов, для устранения неадекватности модели, можно сформулировать и методические рекомендации. Во-первых - полезно пересмотреть интервал варьирования факторов X i ,. Как правило, уменьшение X i , ведет к большей сходимости модели. Во-вторых - попытаться применить другие планы для реализации эксперимента. Например, перейти от линейной или неполной квадратичной модели к квадратичной. Ниже рассматриваются принципы использования наиболее часто применяемых на практике планов и приводятся комментарии по их использованию в технических исследованиях. Более подробные сведения о

104

планах и их характеристиках можно найти в специальной литературе [10].

6.3 Характеристика планов многофакторных исследований

6.3.1 Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

План исследований, в котором реализуются все возможные (требуемые) сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Количество опытов N в этом плане составляет:

N = nk

где n - число уровней варьирования факторов; k - число факторов.

Если эксперименты проводятся по плану ПФЭ только на двух уровнях варьирования значений аргументов, то такой план называется полным факторным экспериментом типа 2k , если на трех уровнях, то ПФЭ типа 3k и т.п. Наибольшее распространение получили планы ПФЭ типа 2k , т.к. позволяют получить линейные и неполные квадратичные модели с минимальными затратами ресурсов.

Принцип построения плана ПФЭ иллюстрирует матрица плана для трех входных факторов приведенная в таблице 6.6, где верхний уровень варьирования обозначается как «+ 1» (или чаще просто «1»), нижний «-1» (или просто «-»).

Собственно план проведения опытов составляют графы 2, 3, 4 с информацией о значениях аргументов (xi )j в каждом опыте в кодовой системе координат:

где xi - значение i -го аргумента в кодовой системе;

105

X i , X i , X i0 значение i -го аргумента в натуральной системе, соответственно на верхнем, нижнем, и основном уровнях варьирования.

Таблица 6.6

План ПФЭ типа 23

Для первого фактора его значения чередуются на принятых уровнях от опыта к опыту. И далее для каждого последующего фактора интенсивность чередования уменьшается удваиванием по отношению к предыдущему столбцу. Графа 5 вводится для удобства расчетов и называется фиктивной переменной x0 , в графе 7 приводятся обработанные значения целевой функции Y .

Кроме табличной формы, матрицу плана ПФЭ 2к иногда (с целью сокращения записи) представляют в условном виде (графа 6): - верхний уровень факторов x1, x2 ,...xi , обозначают буквами а, b, с,...f, нижний уровень не обозначается и опыт, в котором все факторы равны (-1) записывают как (1). Тогда план 23 в условном виде запишется следующим образом: (аbс, bс, ас, с, аb, b, а, (1)). Аналогично можно записать любой другой план типа 2k .

План типа 23 геометрически можно интерпретировать в виде куба, восемь вершин которого представляют восемь экспериментальных точек, а плоскости сторон - границы об-

106

ласти исследования (рис. 6.2). При k >3 областью эксперимента является гиперкуб с опытами в его вершинах.

Рис. 6.2. Область исследования в ПФЭ типа 23

Полный факторный эксперимент типа 2k обладает свойствами ортогональности и рототабельности. Вычисление коэффициентов в уравнении регрессии ведется по формуле:

или соответственно для коэффициентов:

Для вычисления коэффициентов при эффектах взаимодействия ( xik , xks , xis , xiks ) вводят дополнительные столбцы в таблицу 6.6, получая расширенную матрицу плана (таблица

6.7).

107

Таблица 6.7.

Расширенная матрица плана ПФЭ 23

Значение «аргумента» в столбце получается перемножением соответствующих столбцов матрицы плана.

Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента - ti , Дисперсию оценок коэффициентов S 2 {bi }= Sbi2 одинаковую для всех коэффициентов определяют по дисперсии воспроизводимости S y2 :

где m - число параллельных опытов (реализованных при постоянном значении аргументов – входных факторов);

y j - среднее значение выходного параметра в серии из m повторений в j -м опыте.

Число степеней свободы критерия Стьюдента равно: f y = N (m −1)

Критическое значение коэффициентов в уравнении регрессии

bкр.i :

bкр.i = t(f y ;α )* Sbi

108

Коэффициент считается значимым, если его значение по

Так как план ПФЭ 2k обладает свойством ортогональности, то незначимые коэффициенты можно приравнивать к нулю без пересчета оставшихся коэффициентов.

Адекватность исправленной «модели» процесса (после удаления из уравнения незначимых коэффициентов) прове-

ряется из сравнения двух дисперсий – адекватности Sад2 и

где l - число значимых коэффициентов в «исправленном» уравнении регрессии;

y€j - значение выходного параметра вычисленного по «исправленному» уравнению в каждом опыте.

Пример. Необходимо выявить зависимость плотности строительного материала, созданного на основе каустического магнезита (вяжущее вещество) и древесных отходов в виде опилок. Получение материала заключается в смешении различных количественных соотношений твердых составляющих и затворении полученной смеси определенным количеством водного раствора хлористого магния. Полученный материал по плотности занимает промежуточное положение между чистой древесиной (плотность сосны примерно 500 кг/м3 ) и искусственным камнем (плотность бетона около

2500 кг/м3 ).

109

Формализация исследований

Целевая функция - плотность композиционного материала ρ - масса в единице объема материала (см. табл.1).

Факторы, влияющие на плотность: - соотношение между массовыми частями составных компонентов материала: вяжущего и древесного заполнителя, вяжущего и затворителя (раствора хлористого магния), плотность водного раствора хлористого магния (см. табл.2).

Методика определения плотности заключается в изготовлении образцов материала в виде прямоугольного паралеллепипеда стандартного размера, измерения и вычисления его истинного объема V , определения массы образца путем взвешивания на весах и расчета плотности по формуле:

ρ = 1000V m , [кг/см3 ]

гдет- массаобразца, кг; V - объемобразца, м3.

Прямые измерения проводились следующими приборами: штангенциркуль(погрешность- 0,1мм), весы(погрешность– 1 г.)

110