Гусев / Методы научных исследований

матического ожидания оригинала X Н.k определится интервалом:

Выход за границы интервала связан с вероятностью (1 − h) . При исследовании моделей реальных систем признание

вносит неопределенность в принятие решения по ее конкретной величине, но и может повлиять на выводы, связанные с

системе будут превышать достоверные на величину погрешности в оценке математического ожидания этой же величины на модели:

Поэтому наиболее сложным и неопределенным вопросом при моделировании стохастических систем является обоснование предельной погрешности, которую можно допустить в конечном результате. Одним из способов такого

171

обоснования может являться требование о предельной погрешности при некотором заданном значении вероятности подобия.

Обозначив требуемую вероятность подобия через h* , а предельную погрешность подобия для некоррелированных индикаторов подобия предлагается соотношение [15]:

Равенство (7.36) решается относительно необходимого числа моделей p методом подбора.

Учитывая вероятность снижения надежности моделирования вследствие случайности значений коэффициентов вариации ω(X М.i ), рекомендуется принимать для расчетов заведомо завышенное значение вероятности подобия

h = h* + Λh ,

где Λh - некоторая абсолютная погрешность в оценке значения h* , которая не будет превышена с вероятностью α .

Допускаемая относительная погрешность λh определя-

ется из отношения:

λh = Λh*h .

Относительная погрешность системы (общая) λh находится как результирующая относительных погрешностей отдельных индикаторов подобия λhi . Например для m =2:

вать, причем достаточно произвольно, лишь бы удовлетво-

172

рить необходимое условие. Абсолютная погрешность j − го индикатора определится по выражению:

Λhj = λh hj ,

а, затем по Ф(δ j )- распределению находится значение ошибки δН. j при нижней оценки надежности hН. j = hМ. j (1 − λhj ). Таким образом можно получить два значения δ j : одно соответствует h j , а другое δН. j - значению hН. j . И приемлемая относительная погрешность величины δ j составит:

Предельная относительная погрешность для коэффициента вариации ω(X i ) определяется с учетом числа моделей p :

Предельные относительные погрешности для генеральных среднего μ и среднеквадратичного отклонения σ связа-

генерального среднего оцениваются через распределение Стьюдента t(n−1,α ) при доверительной вероятности α :

λμ ≤ ω(Xn )t(n−1,α ) ,

173

а генерального среднеквадратичного отклонения через рас-

пределение Пирсона - χ(21−α,n−1) :

Принимая соответствующие значения λμ и λσ (в пределах ограниченных (7.39)), подбором находится объем выборки, достаточный для обеспечения заданной надежности моделирования.

В целом, обеспечение условий моделирования стохастических систем может быть сведено к следующим положе-

ниям [15].

1. Определяется необходимое количество моделей p , обеспечивающих заданную надежность моделирования h при доверительной вероятности α . Определяется расчетная надежность моделирования (погрешность подобия вероятности) h* .

2. Вычисляется относительная погрешность моделирования:

λh = h*h−* h

2.Если критериев подобия больше двух I ≥ 2 , то полученное значение λh распределяется между ними на

основе соотношения (7.37):

Распределение погрешностей λhi ,..., λhk рекомендуется проводить пропорционально дисперсиям критериев

S2 (&I&&i ),.....,S2 (&I&&k ).

174

3. Для каждого критерия проводится анализ на определение количества образцов необходимых для вычисления средних и среднеквадратичных ошибок параметра X j .

3.1. Анализ начинается с критерия, у которого наибольшее значение λhj . С помощью распределения Лапласа Ф абсолютные ошибки в моделирования для модели δМ и натурального объекта δН :

Надежность моделирования натуры hНj определяется по формуле:

hНj = (1 − λhj )hMj

3.2. Вычисляется относительная ошибка (погрешность) абсолютного отклонения λδj :

3.3. Определяется предельная относительная погрешность коэффициента вариации физической величины (подлежащей изучению на статистические характеристики) в модели ω(X ) по формуле (7.38):

3.4. Находится относительная погрешность генерального среднего λμj :

λμj = bλω(Xj) ,

175

и генерального среднеквадратичного отклонения λσj :

λσj = λω(Xj )(1 − λμj )− λμj

где b - коэффициент, подбираемый опытным путем из соображения равенства числа образцов, необходимых для оценки генерального среднего μ и генерального среднеквадратичного отклонения σ . Рекомендуемые значения b = (0,05 − 0,1).

3.5. Исходя из предположения о нормальном распределении параметров в выборке объема n , последовательно находится количество образцов для оценки генерального среднего nμ и генерального среднеквадратичного nσ :

Пример. Методику оценки точности моделирования технической системы рассмотрим на примере исследования деформации пространственной строительной конструкции при воздействии сосредоточенных нагрузок P .

Условие подобия при воздействии на конструкцию сосредоточенными усилиями выражается одним безразмерным комплексом (индикатором подобия):

где E - модуль упругости материла, Па;

L - характерный линейный размер.

Интервальная оценка для напряжений σ и перемещений u в натуральном объекте по соответствующим характеристикам модели определится в соответствие с (7.34):

176

Среднее арифметическое значение модуля упругости EМ определено экспериментально, результаты приведены в таблице.

Коэффициент вариации модуля упругости для натурального образца находится по формуле:

ω(EH )= [1 + λω(E.М )]ω(ЕМ )

Относительная погрешность коэффициента вариации модели λω(E.M ) определится через соответствующие статистические оценки при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы f = (5 −1) :

Возможная погрешность в оценке коэффициента вариации модуля упругости натурального объекта составит:

177

делении E и L по формуле:

=Ф−1 h S =1,96 * 0,093 = 0,182

2

Таким образом, с надежностью 95% можно предположить, что погрешность в оценке напряжений не превышает (+16,4%) и (-22,2%), а для перемещений соответственно

(+8%) и (-10,5%).

Задача определения числа моделей при моделировании математического ожидания натурального объекта решается исходя из назначаемых величин погрешности моделирования и требуемого уровня доверительной вероятности подобия

h .

Примем уровень вероятности подобия h = 0,95 , а предельную погрешность результатов оценки напряжений для натурального объекта σ.H не более ±10% . Так как в принятой системе имеется только один индикатор подобия (7.35),

178

следовательно αkj =1, и по (*) найдется \погрешность оценки напряжений для модели:

Среднеквадратичное отклонение индикатора модели составит:

S(I )= [ω2 (P)+ω2 (E)+ 4ω2 (L)]0,5 = [0 + 0,0342 + 4 * 0,022 ]0,5 = 0,052

Таким образом, уже при p =2, расчетная надежность моделирования превышает заданное значение: h* = 0,986 > 0,95 .

Объем выборки для определения коэффициента вариации модуля упругости в модели ω2 (X i )= ω2 (EM ), определяется по изложенному выше алгоритму.

Относительная погрешность моделирования:

Абсолютные ошибки в моделирования для модели δМ и натурального объекта δН :

179

Надежность моделирования натуры hНj :

Принимая b = 0,05 , находится относительная погрешность генерального среднего λμj :

λμj = bλω(Eм) = 0,05* 0,7748 = 0,0387

и генерального среднеквадратичного отклонения λσj :

λσj = λω(Xj )(1 −λμj )−λμj = 0,7748(1 −0,0387)−0,0387 = 0,706

Далее находится количество образцов для оценки генерального среднего nμ и генерального среднеквадратичного nσ :

nμ = 5

180