Гусев / Методы научных исследований

Vo - объемное количество воздуха, поступающего удаляемого из помещения в единицу времени (воздухообмен);

tух и tпр - температуры воздуха соответственно удаляемого (уходящего) из помещения и поступающего (приточного) в него.

2. Уравнения расходов воздуха и потерь давления p

ваэрационных проемах:

-объемный расход:

где ωo - скорость воздуха в проеме;

Fo - площадь аэрационного проема; μ - коэффициент расхода проема;

ξ - коэффициент местного сопротивления проема.

3. Закономерности развития осесимметричных конвективных (при соотношении сторон источников тепла в плане не более 1:3) и плоских приточных (при соотношении сторон приточных отверстий более 1:10) струй на основных участках.

Для конвективных потоков в направлении координаты развития струи Z :

161

7.30)

где Qизб - теплоизбытки в помещении; Ho - размер аэрационных проемов;

«пр» и «выт» - параметры, относящиеся соответственно

кприточным и вытяжным аэрационным проемам.

Вусловиях установившихся тепловых и аэродинамиче-

ских процессов и несжимаемой среды имеем:

∂∂τt = ∂∂ωτ = ∂∂ρτ = 0

В этом случае анализ уравнений (7.19-7.30) методом теории подобия позволяет получить критерии, определяющие процесс аэрации:

- критерий Релея Ra

Ram ≡ (Gr Pr)m = β glλ3cvρ ρ m (tпн −tв)

-критерий Архимеда Ar

Arв = (β)в ωgl2 (tпн −tв )

-критерий Рейнольдса Re Re в = (ωv)lв

-критерий Эйлера Eu

Euв = (ρ)вpω2

- критерий Нуссельта Nu

Анализ полученных выражений показывает, что выполнить подобие всех условий однозначности и равенство всех

163

определяющих критериев в натуре и модели, в данном случае физически невозможно.

Например, согласно требованиям теории полного подобия необходимо соблюсти равенство критериев Релея в натуральном объекте и в модели - [Ram ]Н = [Ram ]М :

Отсюда определим масштабы подобия Сi для всех однородных физических величин:

где Ctt - масштаб разности температур (tпн −tв ) .

Если допустить, что при одинаковой рабочей среде в модели и натуре, имеет место равенство коэффициентов тем-

матической вязкости νН =νМ , а так же ускорений и теплоемкостей воздуха (Сg = Cc =1), то из ( 7.31) следует:

Ctt = 1Сl3 или (tпн −tв)М = (tпн −tв)Н Сl3

А это значит, что если принять линейный масштаб модели хотя бы равным Сl = 5 , то для того чтобы обеспечить условие подобия в модели следует увеличить, разность температур поверхности источника тепла и окружающего воздуха (tnн - tв) в 125 раз по сравнению с натурой, что технически невыполнимо.

То же самое можно сказать и относительно скоростей воздуха в модели. При том же линейном масштабе они должны быть больше, чем в объекте исследований, в 5 раз.

Для выхода из создавшейся ситуации в теории моделирования вводится понятие автомодельности.

164

В области автомодельности физические процессы остаются себе подобными независимо от численных значений критериев подобия (например, критерии Re и Ra при развитых турбулентных течениях), которые при этом должны быть не меньше некоторых предельных величин, называемых критическими.

Так, например, если в натуре режимы естественных и вынужденных течений турбулентные ([Ram ]Н ≥ [Ram ]Кр ;

[ReВ ]Н ≥ [ReВ ]Кр ), то в модели их подобие обеспечивается условием:

[Ram ]М ≥ [Ram ]Кр

[ReВ]М ≥ [ReВ]Кр .

Это дает возможность ввести понятие о масштабах этих критериев:

Но тогда нарушается подобие полей температур на поверхностях источников и стоков тепла (подобие граничного условия первого рода). Эти поверхности, а также прилегающие к ним пограничные слои среды приходится исключить из области, в которой реализуется подобие. При этом моделирование переходит в неполное, или приближенное. Оно корректно только для решения задач, относящихся к параметрам среды (воздуха) на удалении от указанных поверхностей.

Приведенные примеры показывают, что метод моделирования физических процессов не является универсальным, годящимся для решения любых задач. Его применение должно обосновываться и сопровождаться глубоким анализом

165

возможности выполнения условий подобия. В то же время, для многих технических задач методики моделирования разработаны достаточно полно и перешли уже в разряд стандартных приемов исследования.

7.3. Особенности моделирования стохастических систем

Опыт применения метода моделирования в сложных технических системах показывает, что результаты, полученные на модели, не всегда согласуются с поведением натуральной системы. Наряду со сложностью обеспечения самого процесса моделирования, одной из основных причин такого положения является рассмотрение работы натурального объекта и модели (чаще последней) как детерминированных систем. Даже допуская, что натуральная система является стохастической, применение метода подобия в «классической» интерпретации неизбежно накладывает ограничения на получение статистической информации на модели в силу ее единичности (как объекта исследования), а пересчет результатов с модели на натуру представляет детерминированный процесс.

Отличие в подходах к моделированию стохастических и детерминированных систем заключается в признании того факта, что и в модели и в натуре первых результаты представляют собой математические ожидания и имеют некую дисперсию с соответствующим законом распределения.

Принципы подобия в статистическом смысле требуют выполнение следующих условий [14]:

- константы подобия должны формироваться как отношения средних арифметических значений соответствующих величин для модели и натуры (оригинала);

166

- должна соблюдаться тождественность плотностей распределения безразмерных величин, характеризующих свойства модели и натуры.

Масштаб подобия в стохастических натуральном и модельном объектах, характеризующиxся случайными величи-

Подобие в поведении систем будет соблюдаться при подобии математических ожиданий (начальных моментов). Этот вид подобия называется статистическим подобием первого порядка [15].

Условия подобия более высоких порядков выражаются через подобие центральных моментов. Для обеспечения подобия в статистическом смысле необходимо, что бы каждая константа удовлетворяла условию:

где hi - показатели степеней, сумма которых должна быть равна порядку центрального момента, при котором обеспечивается статистическое подобие.

При моделировании сложных систем соблюдение всех условий статистического подобия весьма затруднительно. Поэтому, на практике ограничиваются подобием первого порядка, при котором требуется знать математические ожидания тех свойств модели и оригинала, которые определяют их поведения.

167

Из теории размерности следует следующее соотноше-

ние:

где K - критерий подобия; j - номер критерия;

a - показатели степени, устанавливаемые на основе анализа размерностей;

l- число величин, определяющих явление.

Вусловиях, когда моделируется стохастическая система, в конкретном эксперименте вероятность выполнения условия (7.32) равна нулю, так как вместо математического ожидания может появиться любое случайное значение соответствующей величины. Поэтому можно лишь предположить, что для соотношения (7.32) будет выполняться усло-

индикаторов подобия I j ) и называется вероятностью подобия при погрешности подобия . Вероятность подобия по (7.33) определяет подобие поведения одной наугад взятой модели и одного взятого наугад натурального образца.

При моделировании какой-либо системы обычно ограничиваются одним образцом модели, и определить функцию плотности распределения вероятности на этом образце не представляется возможным. Поэтому вычисление вероятности подобия проводят на основе числовых характеристик плотности распределения случайных величин.

168

Для некоррелированных индикаторов подобия можно записать:

Числовые характеристики плотности распределения в этом случае представляют собой следующее:

- для математического ожидания:

I j = 1

- для дисперсии

Вычисление вероятности подобия при некоррелированных индикаторах в предположении о логарифмическом нормальном распределении плотности вероятности f (I ) можно провести по следующему выражению:

P(I j − Ivj < ,.. j =1,2,..,m)= hj = Ф* lg(1 +σuj)− lg I0 −Ф* lg(1 −σuj)− lg I0 lg I0 = −1,1513σuj2

Среднеквадратичное отклонение находится из решения уравнения:

Значение функции Ф* = Ф + 0,5 определяется по стандартным таблицам, например [4].

169

В детерминированных системах переход от измеренных на модели величин к тем же величинам натурального объекта выполняется однозначно с помощью констант (масштабов) подобия. В стохастических системах, при сохранении подобия первого порядка, переход от измеренной величины модели к соответствующей величине натуры не правомерен, так как условие:

предполагает многозначность значений индикатора подобия в интервале (1 − ;1 + ).

Определение возможного интервала (X Нmax − X Нmin ) значений какой-либо величины X Н.k для натурального образца при условии, что значение этой же величины X М.k измерено на модели и известен интервал возможных значений множителя преобразования (масштаба) CX .r при заданной вероятно-

При этом максимальное и минимальное значение множителя перехода представляют отношения:

X max Ckrmax = Xkmin

k

Если принять экспериментально найденное (осредненное по некоторому количеству параллельных опытов) значение величины в модели X&&&М.k в качестве математического

170