Гусев / Методы научных исследований

вится возможным замена исследуемой системы МО на нетождественную ей систему ММ , аналогичную ей только по исследуемым характеристикам. Новая система ММ является моделью системы МО . Модель характеризуется как мысленно представляемая или материально реализуемая система, которая, отражая или воспроизводя объект исследования, способна дать новую информацию об этом объекте.

Различают концептуальные, аналоговые (логические) и кибернетические (функциональные) модели [2]:

-концептуальные модели строятся с помощью аппарата математической логики, на основе наблюдения за объектом в процессе его функционирования.

-аналоговые системы применяют, если явления, происходящие в разных системах, формально описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. В этом случае можно говорить о том, что одна система является моделью – аналогом другой системы.

Всовременной науке резко возросла роль функциональных моделей, имитирующих только поведение оригинала. Сложная материальная система рассматривается как единство трёх объективных начал: вещества, структуры и функциональных связей со средой.

Обобщённым абстрактным образом функциональной модели является «чёрный ящик» (рис.1.1).

Случайные факторы

Рис. 1.1. Схема функциональной модели типа «черный ящик»

21

«Чёрный ящик» – система, внутреннее устройство которой не известно наблюдателю, но он может исследовать входы X i и выходы yi этой системы. Соответственно функциональная модель «чёрного ящика» должна соответствовать изучаемой системе по входам и выходам. Такой подход позволяет отвлечься от сложных явлений, происходящих в системе M О и значительно ускорить решение практических задач.

При проведении исследований, важно определить к какому классу относится данная система: детерминированная (причинная) или стохастическая (вероятностная).

Развитие детерминированной системы полностью обусловлено определенными причинами и не подвержено случайностями. Изменение одного фактора X i на некоторую ве-

где ε( yi ) случайная величина.

К стохастическим системам относятся большинство технических и технологических задач, протекающих в реальных условиях. Это является следствием, прежде всего, непрерывно меняющейся обстановки, воздействием на процессы множества факторов, влияние которых устранить практически не возможно.

Известный теоретик науки Ф. Франк обращает внимание на существование двух различных стохастических систем [3]. В первом типе систем наличиствуют причинные связи, а неопределенность в результате (выходе системы) обусловлены разбросом начальных условий, от которых начинается функционирование системы. Примером такого типа систем явля-

22

ется стрельба по мишени. С одной стороны процесс движения материальной частицы (пули) при выстреле описывается законами ньютоновской механики и можно точно вычислить место попадания пули в мишень, зная начальные условия: импульс, массу пули, расстояние до мишени. С другой стороны практическая реализация выстрелов из одного и того же оружий при одних и тех же условиях показывает наличие разброса точек попадания пуль в мишень, что как раз и обуславливается невозможностью обеспечения одинаковости всех начальных условий в реальности, по сравнению с теоретической моделью. Однако если последовательно уменьшать разброс начальных условий относительно базовых, то и разброс неточностей в попадании пули в центр мишени должен уменьшаться и стремится к нулю, то есть система может перейти из стохастической в детерминированную. Таким образом, такой тип стохастических систем характеризуется возможностью влияния на конечный результат путем изменения начальных условий.

В других системах этого не происходит в силу независимости (непредсказуемости) результата от начальных условий. В таких случаях можно говорить только о статистических показателях, стремящихся к какому-либо значению при многократном воспроизведении процесса. Так, например, при бросании монеты выпадание «решки» или «орла» не зависит от разброса начальных условий и изменение начального разброса (дисперсии) никак не влияет на результат в конкретном единичном подбрасывании. Но при этом проявляется закономерность стремления общего количества выпавших сторон монеты к равному соотношению с ростом числа подбрасываний.

Существует целый класс систем, которые, не смотря на случайный характер величины отклика, можно рассматривать как статистически устойчивые и прогнозировать их поведе-

23

ние с определенной надежностью (вероятностью). Степень доверия к поведению стохастических систем определяется законами теории вероятности.

Кроме того, практически все технические системы относятся к стохастическим уже в силу того, что значения входов и выходов определяется измерением. А процесс измерения несет в себе элементы неопределенности и порой единственным способом оценить эту неопределенность является применение методов теории вероятности и математической статистики.

Некоторые положения теории вероятности и математической статистики рассмотрены в следующих главах.

2.Характеристики случайных величин

2.1.Основные понятия

Под случайным событием понимается факт, который в результате испытания может произойти или не произойти [4,5]. Мерой объективной возможности осуществления случайного события А является вероятность P{A}. Пределы изменения вероятности от нуля (невероятное события) до единицы (достоверное событие): (0 ≤ P{A}≤1).

Если в серии из N испытаний некоторое ожидаемое событие происходит n раз, а m раз не происходит, то отношение n(m + n) рассматривается как вероятность появления благоприятного (ожидаемого) события:

P{n}= n +n m ,

соответственно вероятность противоположного события составит :

P{m}= n +mm .

24

-вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю;

-вероятность наступления хотя бы одного из нескольких несовместных событий А1, A2 ,..., Aj равна сумме вероятностей этих событий:

P{A1 + A2 +..... + Aj }= P{A1}+ P{A2 }+..... + P{Aj }; -вероятность произведения нескольких независимых со-

бытий равна произведению вероятностей этих событий:

P{A1 * A2 *.....* Aj }= P{A1}* P{A2 }*.....* P{Aj }.

Если вероятность появления события A меняется от того, происходит другое событие B или нет, то считается, что событие A зависит от события B .

Для взаимозависимых событий вероятность произведения их совместного появления равна произведению вероятности одного из них на, так называемую, условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие наступило:

P(AB)= P(A)* P(B A),

где P(B A) - условная вероятность события B , т.е. веро-

ятность его появления, определенная при условии, что произошло зависимое событие A .

И наоборот, если сначала происходит событие B , влияющее на вероятность появления события A , то:

P(BA)= P(B)* P(A B).

Сумма вероятностей всех возможных n значений случайной величины A равна единице:

n

∑Pi (A) =1.

i=1

Суммарная вероятность распределяется определенным образом между отдельными значениями величины. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующими веро-

ятностями, называется законом распределения.

26

Дискретную случайную величину x можно задать веро-

Распределение непрерывной случайной величины нельзя задавать при помощи вероятности отдельных значений. Число значений так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равно нулю. Поэтому для непрерывной случайной величины изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заранее намеченную совокупность чисел.

Если yi случайная величина, а ya - произвольное действительное число, то вероятность события yi < ya является функцией от ya :

P(yi < ya )= F(ya )

иназывается функцией распределения случайной величины.

Ввиде функции распределения можно задавать распределения как непрерывной, так и дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины всегда имеет вид разрывной ступенчатой функции (рис. 2.1.).

Рис. 2.1. Функции распределения дискретной (а) и непрерывной (б) случайной величины

27

28

Соответственно, вероятность случайного события во всей области изменения x (− ∞ < x < +∞), достоверна:

+∞

P(−∞ < x < +∞) = ∫ f (x)dx = 1.

−∞

Во многих случаях вместо законов распределения достаточно знать основные числовые характеристики, или параметры распределения.

Числовые характеристики случайных величин, выражающие основные особенности называются моментами. Различают начальные mк и центральные μi моменты.

Начальные момент к -го порядка определяется по выражениям:

-для дискретной случайной величины (индекс д):

n

mkд = ∑xik pi , к=1,2....;

i=1

-для непрерывной случайной величины (индекс н):

+∞

mkн = −∞∑xik f (x)dx.

Соответственно центральные моменты к-го порядка вычисляются по формулам:

n

μkд = ∑(xi − mx )k pi ; i=1

+∞

μkн = ∑(x − mx )k f (x)dx ,

−∞

где mx - начальный момент первого порядка. Начальный момент первого порядка (к=1) называется

математическим ожиданием случайной величины m1 :

n

m1д = M д(x) = ∑xi pi ;

i =1

29