1.4 Еще о связи коэффициентов наращения и дисконтирования

Если – неотрицательная переменная интенсивность процента за базовую единицу времени , начинающуюся в моментt, то при

(2.9)

- коэффициент наращения одной денежной единицы на интервале (t₁, t₂) при движении по нему слева направо, а

(2.10)

- коэффициент дисконтирования одной денежной единицы с момента t₂ на момент t₁ т.е. при движении по интервалу (t₁ , t₂) справа налево. Из курса математического анализа известно, что при

. (2.11)

Поэтому (14,12)-(14,13) при t₁<t₂ влекут за собой следующие равенства:

, (2.12)

. (2.13)

Если же t₁>t₂ коэффициент дисконтирования d(t₁, t₂) играет роль коэффициента наращения A(t₂, t₁) и в силу (15,13) и (15,14) совпадает с ним. Поэтому формулы (2.12)-(2.13) и (2.15)-(2.16) справедливы ,как при t₁<t₂, так и при t₁>t₂.

Заметим теперь, что поскольку в рассматриваемом случае

,

и всегда

,

то (15,12), (15,13) при любых t₁ и t₂ можно записать в виде

, . (2.17)

Отсюда также следует справедливость (2.15), (2.16).

Таким образом, коэффициенты наращения и дисконтирования взаимозаменяемы и с математической точки зрения можно было бы пользоваться только одним из них. Однако, в интересах наглядности принято пользоваться двумя коэффициентами.

1.5 Уравнивающее время для серии долговых платежей

Должник обязался погасить свой долг последовательными платежами величиной x₁, x₂, …, x_n в моменты соответственно t₁, t₂, …, t_n. Следовательно, речь идет одностороннем потоке платежей . Обозначим сумму всех недисконтированных платежей через, а весs-го платежа – через .

Должник предлагает кредитору погасить свою задолженность одним платежом суммы x в момент

(2.18)

который является взвешенным среднем арифметическим для моментов всех выплат. Поскольку в (2.18) не входит процентная ставка, то кредитор предлагает должнику произвести платеж x в момент T, определяемый из условия эквивалентности потоков платежей ипри известном:

. (2.19)

Поделив обе части этого уравнения на x, найдем из него T в виде

. (2.20)

Величина T называется уравнивающим временем для данного потока платежей при фиксированном .

Теорема 2.1 Если , то

, (2.21)

т.е. выгоднее для должника, аT – для кредитора.

Заметим, что так как не зависит от, томожно использовать как приближенную оценку дляT, погрешность которой зависит от .

§2. Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта

2.1 Вывод основного уравнения

Экономический анализ эффективности планируемых среднесрочных и особенно долгосрочных инвестиций является сложной задачей. Для выбора наилучших объектов и вариантов вложения средств во всем мире применяются несколько методик. Чаще всего они основаны на использовании следующих четырех показателей для сравнения вариантов инвестиций:

1. Чистая текущая стоимость

2. Внутренняя норма доходности

3. Период окупаемости

4. Индекс рентабельности

Первым показателем является рассмотренная в предыдущем параграфе чистая текущая стоимость проекта, совпадающая с NPV порождаемого проектом потока платежей. Действительно, отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора рассматриваемого варианта потока платежей при данном наборе значенийи эффективной годовой ставке. Среди вариантов с положительнымNPV π естественно выбрать тот, у кого NPV π больше. Однако этот лучший по NPV π вариант надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, что может оказаться более рентабельным и к тому же менее рискованным.

Для этой цели служит второй показатель – внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return = IRR)

, (2.22)

где является корнем уравнения

(2.23)

Это уравнение называется уравнением стоимости или уравнением доходности для проекта на момент 0.

Смысл уравнения (2.23) состоит в том, что приведенные на тот момент начала проекта значения потоков расходов и доходов совпадают, т.е. проект является бесприбыльным.

Определение Если уравнения существует единственный платежный кореньi₀, то его называют ставкой доходности проекта или внутренней нормой доходности (IRR) за базовую единицу времени.

Если , где- эффективная рыночная ставка процента, то соответствующий проект нужно отвергнуть, а если- соответствующий проект, в принципе, можно принять выбрав из всех вариантов проект с наибольшим значением. Таким образом, экономическая задача требует решения чисто математической задачи – отыскания корней уравнения (2.23).

Очевидно, что если поток π платежей задан, то

(2.24)

- недисконтированная сумма всех нетто-платежей за срок проекта. При этом из финансового смысла следует, что нужно отвергнуть все варианты с f(0)<0 и рассматривать лишь варианты, для которых

. (2.25)

Далее при очень больших значениях i имеем:

, (2.26)

Где С(0) – начальная инвестиция.

Теорема 2.2. Если все отрицательные платежи предшествуют всем положительным и наоборот, то определено.

Теорема 2.3 (обобщает предыдущую). Пусть и

(2.27)

- накопленная сумма всех нетто-платежей инвестора от момента 0 до момента t_m включительно.

Если и если после исключения нулевых значений последовательность (C₀, C₁, …, C_n) имеет ровно одну перемену знака, то уравнение доходности (2.23) имеет единственный положительный корень, т.е. определено.