- •Глава 1. Финансовые ренты
- •§1. Классификация рент
- •§2 . Финансовый анализ базовых рент пренумерандо и постнумерандо
- •2.1.Коэффициенты дисконтирования и наращения рент
- •2.2. Свойства коэффициентов дисконтирования и наращения рент
- •§3. Oтсроченные m-кратные ренты и непрерывные ренты
- •3.1. Отсроченные ренты
- •3.2. M-кратные ренты
- •3.3 Непрерывные ренты
- •Глава 2. Сравнительный финансовый анализ инвестиционных и других коммерческих проектов
- •§1. Модели потока платежей 1.1 Модель дискретного потока платежей
- •1.2 Модель непрерывного потока платежей
- •1.3 Модель непрерывно-дискретного потока платежей
- •1.4 Еще о связи коэффициентов наращения и дисконтирования
- •1.5 Уравнивающее время для серии долговых платежей
- •§2. Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта
- •2.1 Вывод основного уравнения
- •§ 3. Срок окупаемости капиталовложений и индекс рентабельности инвестиционного проекта
- •3.1 Срок окупаемости капиталовложений
- •§4. Индекс рентабельности
- •Некоторые общие замечания о методике выбора инвестиционного проекта
- •Глава 3. Индексы инфляции и неравенства в распределении семейных доходов
- •§1. Учет и инфляции
- •Индекс и темпы роста инфляции
- •Индексация ставки процента
- •Учет инфляции в инвестиционных проектах
- •§2 Индекс неравенства в распределении семейных доходов
- •2.1 Кривая Лоренца
- •2.2 Коэффициент Джини
§2 . Финансовый анализ базовых рент пренумерандо и постнумерандо
2.1.Коэффициенты дисконтирования и наращения рент
Примем период τ ренты за базовую единицу времени, тогда ее срок составит n этих единиц, где n – любое целое число, n≥1. Пусть каждый член ренты равен Y ден. Ед., а ставка сложного процента за базовую единицу времени равна i (эффективная ставка). Для краткости ренту пренумерандо обозначим через , а ренту постнумерандо – через. Для удобства применим моментначала договора ренты за 0. Чтобы избежать в математической модели выплат на границе интервалов, разобьем интервал [0,n) – срок действия договора – на n прилегающих, но непересекающихся интервалов длины 1:
[0, 1), [1, 2),…, [n-1,n).
Левый конец каждого из этих интервалов включен в него, а правый – нет. Для наглядности выберем также некоторое малое положительное число и представим себе, что в интервале [k-1, k) выплата постнумерандо происходит в момент k - ℇ, k=1, 2, …, n-1. Такой подход позволяет избежать путаницы при подсчете общего числа выплат до момента k (рис.1.1).
Рис. 1.1
Например, пусть период ренты равен одному месяцу, выплата постнумерандо происходит в первый, а пренумерандо – в последний рабочий день месяца. Тогда в математической модели можно принять, что
.
Как правило, в действительности мы не будем пользоваться этой конкретизацией, а будем считать, что выплаты постнумерандо непосредственно предшествуют, а выплаты пренумерандо сразу следуют за числом (датой) k – границей между смежными периодами ренты. Формально это означает, что ℇ пренебрежимо мало.
Заключив построение модели выплат, перейдем к чисто финансовому анализу. В главе 2 мы установили, что стоимость каждой денежной суммы зависит от момента ее получения, так что при суммировании разновременных денежных сумм нужно сначала привести их к одному интересующему нас моменту времени.
Пусть (t) – суммарная стоимость всех выплат ренты , приведенная к моментуt, а (t) – аналогичная величина для ренты ,. Выведем теперь формулы для суммарной стоимости этих рент в момент 0 начала договора о ренте (современная или текущая стоимость, или PV ренты) и в момент n конца договора о ренте (наращенная стоимость или AV ренты). Эти величины нужны для правильного определения цены продажи или покупки ренты. Введем обозначения:
,
, .
Приводя все выплаты к моменту 0, получим с помощью формул для суммы членов геометрической прогрессии совершенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо (рис.12,1):
, (1.1)
. (1.2)
Знаменателем прогрессии здесь служит введенный ранее коэффициент дисконтирования
.
Перейдя теперь от стоимости рент в момент 0 к их стоимости в момент n, получим наращенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо:
, (1.3)
. (1.4)
Для стоимости рент с единичными выплатами Y=1 ден. ед. в международной финансовой практике широко применяются специальные обозначения. Так, современные стоимости в момент 0 таких рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно
(1.5)
Отсюда следуют простые соотношения
(1.6)
Наращенные стоимости в момент n рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно
(1.7)
Отсюда следует, что
(1.8)
Величины иназывают коэффициентами дисконтирования, аи– коэффициентами наращения ренты. Отметим, что если величинаi эффективной процентной ставки фиксирована, то то в нижнем индексе пишут вместо.
Удобство введенных величин состоит в том, что для получения стоимости ренты с выплатой Y достаточно соответствующую стоимость ренты с единичной выплатой (1.6), (1.8) легко выразить через любую из них, каждая из них является простой функцией от n и i , их легко вычислить с помощью калькулятора. Они обладают рядом интересных свойств, часть из которых будет рассмотрена ниже.
Заметим, что обозначения величин для (1.5)-(1.8) и для ряда других введены еще в конце XlX в. Международным союзом актуариев – страховых и финансовых математиков – и повсеместно применяются в финансовых расчетах до настоящего времени.