1.2 Модель непрерывного потока платежей

В коммерческой практике часто встречается случай, когда у некоторой фирмы наряду с большими и редкими (например, раз в месяц) платежами происходят частые (например, ежедневные), но сравнительно небольшие денежные расходы и поступления. Если баланс денежных поступлений посчитывается также часто, то эти сравнительно небольшие и частые платежи можно при теоретическом финансовом анализе описать с помощью модели непрерывного потока платежей. При умеренном значении эффективной ставки это приведет к небольшой методической погрешности в подсчете,а расчеты станут более прозрачными и простыми. При этом надо учесть, что гораздо больше погрешности в прогнозедля рассматриваемого проекта вносят обычно ошибки в оценке величины будущих платежей и самой эффективной ставкиi. Поэтому следующим шагом является переход от рассматриваемой в этой главе детерминистской модели к более сложной, но зато и более гибкой вероятностно-статистической модели, которую мы здесь рассматривать не будем.

Примем, что базовой единицей является год и что на интервале [0,T] расходы производятся непрерывно с интенсивностью p-(t) ден.ед. в год, t є [0, T]. Для простоты записи примем, что обе интенсивности являются непрерывными функциями времени, хотя все дальнейшие результаты легко распространяются на случай кусочно-непрерывных интенсивностей с разрывами первого рода.

Суммируя платежи с учетом их знаков с позиции инвестора, получим

(ден.ед. в год) ()

- непрерывная интенсивность нетто-потока платежей в момент t є [0, T]. Поэтому величина платежа в малом интервале (t, t+Δt) приблизительно составит

(ден.ед.)

При этом p(t)<0 соответствует расходу p(t)>0 – поступлению, а p(t)=0 – отсутствию как расходов, так и поступлений в окрестности момента t.

Из курса математического анализа следует, что при сделанных предположениях сумма M(t) всех платежей на интервале (0, t), t < T, равна

, (2.5)

А на интервале , составляет

Если , то на интервале (t, t+Δt) суммарный платеж составляет M(t+Δt)-M(t), и если Δt мало, а p(t) непрерывна на этом интервале, то

ден.ед.

Поэтому дисконтирование на момент 0 значение платежа на (t, t+Δt) приблизительно равно v(t)p(t)Δt , а после суммирования по всему интервалу (0, T) и перехода к пределу при Δt→0 получим дисконтированное значение всего непрерывного потока нетто-платежей

. (2.6)

Таким образом, модель непрерывного потока платежей позволяет анализировать те этапы инвестиционного проекта, когда не было значительных вложений или поступлений. Она пригодна также для кратко- и среднесрочного анализа других видов коммерческой деятельности с двусторонними частыми и небольшими платежами. При этом на базовую единицу времени – особенно в условиях инфляции – можно принять не год, а более короткий интервал – сутки, неделю или месяц. Конечно, тогда значения всех параметров следует пересчитать на вновь выбранную базовую единицу времени.

1.3 Модель непрерывно-дискретного потока платежей

Для средне- и долгосрочных проектов движение потока наличности часто носит смешанный характер – наряду с отдельными крупными платежами существуют интервалы, на которых платежи можно считать непрерывными. Для описания такого дискретно-непрерывного потока на периоде [0, T] проекта необходимо задать

а) последовательность , моментов и последовательность, сумм платежей в эти моменты,

б) указать подынтервалы внутри [0, T], на которых интенсивность p(t) непрерывных платежей отлична от 0. Тогда в силу формул (2.1) и (2.6) чистая приведенная на момент 0 стоимость смешанного дискретно-непрерывного потока платежей составит

(2.7)

Аналогичным образом, чистое наращенное значение этого потока на любой момент t є [0, T] составит

(2.8)