Глава 1. Финансовые ренты

Финансовая рента — ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени. Финансовая рента (далее — рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

член ренты — величина каждого отдельного платежа;

период ренты — временной интервал между двумя платежами;

срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

процентная ставка — ставка, используемая для расчёта наращения или дисконтирования платежей (в начале, в середине, или в конце года) и др.

На практике используются различные виды финансовых рент. Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (p раз) ренты называются p-срочными. Эти ренты называются дискретными. Ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные называются — непрерывные ренты. В зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в году, несколько раз в году (m раз) и непрерывным начислением. С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи — члены ренты равны между собой) и переменные. Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные ренты). По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные — постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т. д.), и преднамеренно, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Наращённая сумма - это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращённая сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

§1. Классификация рент

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из последовательности, т.е. потока платежей, возможно, разных знаков. Примером могут служить погашение займа, арендная плата. Инвестиция в производство или ценные бумаги и т.д.

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент времени , а заканчивается в момент , а выплата суммыпроходит в момент,k=0, 1, …, n, причем

При теоретическом анализе обычно полагают . В следующей главе мы рассмотрим самые общие потоки платежей, а в этой – самые простые, широко распространенные, давно и хорошо изученные.

Определение. Если все выплаты одного знака и проходят через одинаковые интервалы времени, то такая последовательность платежей называетсяфинансовой рентой или аннуитетом (annuity) независимо от назначения этих выплат. Для удобства анализа рент все выплаты будем считать положительными.

Ренты часто встречаются на практике. Их примером являются квартирная плата, взносы по погашению потребительского кредита, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или ценным бумагам и т.д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные (anno – год на латинском языке) выплаты, оттуда и пошло их название «аннуитет». Позднее оно стало включать и все последовательности платежей одног*-о знака через любые одинаковые промежутки времени.

Перечислим теперь основные параметры и проведем классификацию рент. Прежде всего необходимо выбрать базовую единицу времени и задать постоянную эффективную ставку i сложного процента. По которой производятся все расчеты по ренте, указать способ начисления процента и другие технические подробности.

Затем необходимо задать -член ренты. Если все выплаты одной величины, т.е. , то рента называетсяпостоянной , в противном случае – переменной. Члены переменной ренты могут изменяться по заранее заданному правилу. Мы ограничимся рассмотрением постоянных рент.

Далее необходимо задать τ – период ренты или период выплат, т.е. календарную длину постоянного интервала между двумя последовательными выплатами. Задавая еще число n выплат, мы получаем nτ – календарный срок ренты. При теоретическом анализе часто принимают τ за базовую единицу времени, так что , а числоn выплат совпадает со сроком ренты.

Выплата ренты может производиться один раз или l раз за год, начисление процентов – один раз или m раз за год. Это – дискретные (l, m)- кратные ренты , причем мы рассмотрим только случай l=m. Когда выплаты и начисление процентов производятся очень часто (например, еженедельно), их проще анализировать как непрерывные и называть непрерывная рента.

Если выплата производится в конце каждого периода, то рента называется постнумерандо или обычной (ordinary annuity), а если в начале периода, то пренумерандо или авансированный (annuity due).

Иногда выплаты могут производиться в середине каждого периода, примером чего может служить ежемесячная выплата пенсии в определенный для каждого пенсионера день. Характеристики этого случая будут заключены между соответствующими характеристиками рент пренумерандо и постнумерандо.

С точки зрения срока ренты делятся на безусловные (annuity certain), когда заранее оговариваются дата первой и последней выплаты, и условные (contingent annuity), когда дата первой и/или последней выплат зависит от того, произойдет или не произойдет некоторое событие. Примером условной ренты может служить пенсия (life annuity), выплата которой начинается после достижения гражданином определенного возраста и прекращается после смерти пенсионера. Анализ условных рент – один из фундаментальных разделов страховой математики, результаты которой в основу расчетов страховых тарифов. Без этого невозможна законная деятельность страховых фирм и пенсионных фондов. Поскольку расчеты условных рент связаны с вероятностями определенных событий и требуют знания хотя бы элементов теории вероятности и математической статистики, то мы не будем их рассматривать и ограничимся лишь безусловными рентами. Однако изучение безусловных рент важно само по себе и, кроме того, служит хорошим введением в изучение условных рент.

Если n = ∞, то соответствующая рента называется бессрочной, или вечной (perpetuity). Хотя такая рента на первый взгляд может показаться нам странной, но случай n = ∞ имеет не только теоретический интерес. Примером здесь могут служить «консоли» - бессрочные облигации британского казначейства, выпущенные еще в XIX в. Выплаты по ним производятся два раза в год обычно под 2,5 % годовых, а сама облигация может быть выкуплена в любое время по желанию владельца. Облигации рассматриваются в теории ценных бумаг, которой посвящено много книг и статей.

Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то рента называется простой, в противном случае – общей. Мы будем рассматривать только простые постоянные безусловные ренты и если это не вызывает сомнений, называть их кратко «рента». Тип выплат постнумерандо или пренумерандо будут указываться дополнительно.