§2 Индекс неравенства в распределении семейных доходов

2.1 Кривая Лоренца

В предыдущем параграфе мы рассмотрели индекс инфляции. Индексные системы широко применяются в экономическом и финансовом анализе наряду со статистическими моделями. Индексные числа суммируют массу информации о ценах различных товаров и услуг или об их количестве. Индексные числа играют ту же роль, что и среднее значение, и обладают теми же преимуществами и недостатками: они дают полезную итоговую оценку всей имеющейся совокупности данных, на за счет утраты многих деталей.

Специальное индексное число случит измерения неравенства доходов.

В качестве примера рассмотрим взятые нами из [12] официальные данные о суммарных еженедельных семейных доходах Великобритании за 1992 г., содержащиеся в таблице 19,1. Выборка объемом 7418 семей произведена по специальной программе, причем все доходы семьи, включая пенсии, учитываются до уплаты налогов. Величины доходов разделены на 8 интервалов, границы которых приводятся в столбце 2. В столбце 3 приводятся значения a_j середины интервала j, а в столбце 4 – число f_j семей в группе (интервале) j, j=1,2, …, 8.

Табл. 3.1

Даже беглый взгляд на исходные данные, содержащиеся в столбцах 2 и 4 этой таблицы, говорит о существенном неравенстве в распределении доходов. Например, самые бедные 12% семей получают менее 80 фунтов стерлингов в неделю, а самые богатые 6% - по крайней мере в 10 раз больше. Это – важная информация о неравенстве доходов, но она основана только на сравнении двух крайних групп распределения доходов. Построим теперь кривую Лоренца, которая дает наглядное графическое представление о всем распределении доходов.

Этой цели служат столбцы 5 – 9 табл. 3.1. Обозначим общее число семей через f., где

.

В столбце 5 проводится относительное число f_j/f семей в группе j, а в столбце 6 – накопленное относительное число

(3.14)

Семей в группах с 1 по j включительно.

В столбце 7 приводятся a_jj_j – приближенная оценка общего дохода семей из группы j в фунтах стерлингов, а в столбце 8 – доля в общем доходе семей из группыj. Наконец, в столбце 9 приводится накопленная доля

(3.15)

в общем доходе семей из групп с 1 по j включительно, j=1, 2, …, 8.

Определение. Если m – общее число групп, то кривая Лоренца приходит через опорные точки.

(3.16)

На рисунке 198,1 приводится гладкая кривая Лоренца для рассмотренного выше примера. Например, первая опорная точка (0,122; 0,015) означает, что 12% семей имеют около 20% общего дохода. Предпоследняя опорная точка (0,938;0,817) означает, что наиболее богатые 6% семей имеют более 18% общего дохода.

Кривая Лоренца в общем случае обладает следующими очевидными свойствами:

1. Так 0% семей имеют 0% общего дохода, а 100% семей общего дохода, то кривая Лоренца соединяет начало координат – нулевую опорную точку (0,0) – с m-й опорной точкой (1,1) – вершиной квадрата со стороной 1, опирающегося из оси координат.

2. Поскольку группы семей упорядочены от более бедных к более богатым, то Лоренца лежит ниже биссектрисы первого координатного угла. Сама биссектриса представляет собой случай полного равенства семейных доходов. Заметим, что в рассмотренном примере степень неравенства среди беднейших семей больше, чем среди богатых.

3. Поскольку с ростом x соответствующие семейные группы содержат все более богатые семьи, то накопленная доля y дохода возрастает все быстрее. Поэтому кривая Лоренца выпукла вниз.

Рис. 3.4 Рис.3.5