Тема 3. Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной величины.

Для проверки нормальности распределения случайной величины можно использовать коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса.

Коэффициент ассиметрии As – показатель отклонения кривой распределения от симметричности.

Отрицательный коэффициент ассиметрии означает, что кривая распределения скошена влево от центра, положительный – вправо. При нормальном распределении As близок к нулю.

Коэффициент эксцесса Ex характеризует степень заостренности кривой распределения (отрицательный коэффициент свидетельствует о об более острой вершине, положительный – о более пологой).

Для нормального распределения эти коэффициенты должны быть близки нулю. Но, поскольку они являются выборочными, то на практике точное равенство нулю почти не встречается. Поэтому для проверки нормальности распределения рекомендуется использовать соответствующие таблицы (Приложение), в которых указаны критические точки для этих коэффициентов при различных уровнях значимости и объемах выборки. Если рассчитанное значение для ассиметрии и эксцесса модулю превосходят эти критические точки, гипотеза о нормальности распределения отвергается.

Пример. Проверить на нормальность распределения систолического артериального давления по выборке из 25 значений.

130	120	125	130	100	110	125	130	145	140	140	155	135
145	125	120	110	100	95	125	130	110	135	140	155

Н(0): распределение систолического давления соответствует нормальному распределению

Выполним вычисления

п =25

s=

As=

Ex=

α=0,05

As крит=

Exкрит=

Вывод:

Самостоятельная работа.

Задание 1. По данным из таблицы построить гистограмму распределения, провести эмпирическую кривую распределения, вычислить коэффициенты ассиметрии и эксцесса, проверить гипотезу о нормальности распределения.

Объем циркулирующей крови, мл/кг	45	36	37	38	41	42	26	31	35	40	43	36	37
	36	30	26	44	30	40	31	38	43	40	35	36	36

Задание 2. По данным из таблицы проверить нулевую гипотезу о нормальности распределения случайной величины

п =50

4,43

s=1,25

α=0,05

As=0,655

Ex=-0,901

Алгоритм подбора критериев при сравнении двух выборок

ТЕМА 4. t-критерий Стьюдента для анализа биомедицинских данных

Базовые вопросы к теме

1. Цели биостатистики, предмет биостатистики

2. Применение статистического анализа в медицинских исследованиях

3. Понятие случайной величины

4. Генеральная совокупность и выборка

5. Классификация признаков: количественные и качественные признаки

6. Правила построения гистограмм

7. Основные статистические характеристики случайных величин и их интерпретация

Информационно-дидактический блок

Параметрические критерии для проверки гипотезы о различии (или сходстве) между генеральными средними значениями

Наиболее распространенным параметрическим критерием оценки различий между сравниваемыми генеральными средними значениями является критерий Стьюдента, или t-критерий. Нулевая гипотеза заключается в равенстве генеральных средних или, другими словами, проверяется нулевая гипотеза о принадлежности двух сравниваемых выборок одной и той же генеральной совокупности.

Работа с преподавателем

СЛУЧАЙ 1. Выборки независимы.

Проверяемый t-критерий вычисляется по формуле

где m₁, m₂ — стандартные ошибки средних значений сравниваемых выборок.

t_крит находится по таблице для заданного α и числа степеней свободы

f =n₁ + n₂ – 2

Если │t_выч │< t_крит то Н(0)

Если │ t_выч│≥ t_крит то Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между генеральными средними значениями на соответствующем уровне значимости.

Работа с преподавателем.

Задача. В группе здоровых людей и больных гепатитом было определено содержание белка в сыворотке крови (Таблица 1). Определить, отличаются ли средние значения белка в двух генеральных совокупностях, если известно, что белок распределен по нормальному закону.

Таблица 1.

X1 (норма)	6,85	6,51	6,9	7,04	5
X2 (гепатит)	7,28	8,9	6,52	8,15	7,53	8,12

Решение:

Н(0):

Н(1):

Вычислим средние значения для двух выборок:

Для следующих вычислений составим таблицу

6,85			7,28
6,51			8,9
6,9			6,52
7,04			8,15
5			7,53
			8,12

Вычислим среднее квадратическое отклонение для выборок:

Найдем стандартные ошибки:

Рассчитаем t-критерий:

Определим число степеней свободы в двух группах: f = (n+n₂-2)=

Определим по таблице двусторонний критерий t_крит для α=0,05

t_крит=

Вывод:

Сведем результаты расчетов в таблицу и представим графически

группа	n	(г/л)	s (г/л)	t-выч	t-критич	р-уровень
норма
гепатит

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимы.

Для сравнения двух зависимых выборок или выборок с попарно связанными вариантами проверяют гипотезу о равенстве нулю среднего значения их попарных разностей. Такая задача возникает, когда имеются данные об изменении интересующего признака у каждого пациента. Например, если группа пациентов получала изучаемый метод лечения и у каждого пациента измерялось значение признака до и после лечения. В данном случае предстоит проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю изменений этого признака в результате получения терапии.

При подобных исследованиях все наблюдения можно представить в виде n-пар измерений (например, до и после)

Для каждой пары вычисляется разность

d_i, i=1, n

Для полученного ряда вычисляется среднее и среднеквадратичное отклонение , стандартную ошибку средней

Критерий Стъюдента определяется по формуле

t_крит находится по таблице для заданного α и числа степеней свободы f =n-1

Если │t_выч │< t_крит то Н(0)

Если │ t_выч│≥ t_крит то Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между средними значениями «до» и «после» на соответствующем уровне значимости.

Работа с преподавателем. В группе из 6 больных гипертонией изучалось влияние лекарственного препарата, снижающего артериальное давление. В результате опыта получилось 2 вариационных ряда систолического давления: первый – до приема препарата, второй – после приема:

Таблица 1.

До приема	250	240	210	190	185	170
После приема	210	195	165	170	155	175

Определить, изменяется ли в генеральной совокупности систолическое артериальное давление после приема препарата и насколько статистически значимы полученные результаты, если известно,что данные имеют нормальное распределение?

Для наглядности представим данные в следующей таблице:

Таблица 2.

xki (до приема)	хoi (после приема)	di (разница давлений)
Ср. знач.=	Ср. знач.=	Ср. знач.=

Н(0):

Н(1):

Для разностей давлений:

Определим t_выч:

Определим по таблице Стьюдента t_крит для α=0,05 и числа степеней свободы f=n-1=

t_крит= (двусторонний критерий).

Вывод:

Сведем результаты расчетов в таблицу

группа	n	(мм.рт.ст.)	(мм.рт.ст.)	sd (мм.рт.ст.)	t-выч.	t-критич.	р-уровень
до приема
после приема

Самостоятельная работа к ТЕМЕ 4:

Для данных, имеющих нормальное распределение, проверить гипотезу о равенстве двух генеральных средних. Обосновать выбор критерия. Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы. Сделать выводы на уровне значимости =0,05. Представить данные в графическом виде.

Вариант 1. Скорость десневой экссудатации у детей (мл/сутки).

Норма	0,73	0,75	0,8	0,82	0,81	0,86	0,85	0,79	0,82	0,78
Гингивит	1,32	1,8	1,7	1,4	1,5	1,49	1,52

Вариант 2. Калий мочи (г/сутки).

Норма	2,1	2	1,9	1,8	2,2	2,2	2	1,8	2,1
легочная недостаточность	0,8	2	0,9	0,8	0,7	0,7	1	0,9	2,1

Вариант 3. Содержание адренокортикотропного гормона (мл.ед).

Норма	32,1	33,0	28,2	29,5	35,7	31,8	37,5	26,4
Беремен ность	98,6	120,3	73,6	96,1	104,3	113,1	100,3	68,1	71,1

Вариант 4. Свободный гепарин крови.

Норма	5,7	5,9	6,3	6,6	5,0	3,7	4,0	4,5	5,7	5,6
Стоматит	13,9	13,5	12,0	10,3	13,0	15,7	14,7

Вариант 5. Связанный холестерин крови (мг%).

Норма	58,9	53,1	64,1	59,3	69,0	62,0	53,3	61,1	58,3
Себоррея	105,3	83,7	122,2	110,6	101,1	96,8	114,5	113,0

Вариант 6. Скорость нестимулированного слюноотделения у детей (мл/мин).

до операции	0,19	0,2	0,13	0,22	0,15	0,17
после уранопластики	0,21	0,23	0,15	0,26	0,15	0,18	sd =0,014

Вариант 7. Норадреналин мочи (мкг/сутки) при грудной жабе.

до лечения	36,9	38,2	36,1	33,5	34,8	37	35,1	40	38,5	38,3
после лечения	40,5	43,8	56,7	49,8	50,4	45,4	39,9	38,7	40,3	51,6	sd =7,45

Вариант 8. Микрошероховатость поверхности эмали после воздействия кислотой (Со ОЭДФ).

до воздействия	0,15	0,128	0,135	0,14	0,125	0,131
после воздействия	0,192	0,175	0,165	0,15	0,11	0,125	sd =0,03

Вариант 9. Микрошероховатость поверхности эмали после воздействия ортофосфорной кислотой.

до воздействия	0,155	0,15	0,125	0,18	0,17	0,16	0,143
после воздействия	0,808	0,803	0,584	0,19	0,87	0,15	0,745	sd =0,31

Вариант 10. Содержание трийодтиронина (мг/мл) при тиреотоксикозе.

до лечения	4,35	5,01	6,03	4,35	5,4	5,12	2,02	2,65	4,56	5,25
после лечения	2,25	4,4	3,15	2,35	1,35	3,4	2,31	1,72	3,75	4,21	sd=1,31

Вариант 11. Вес юношей и девушек, кг

юноши	65	70	75	68	92	88	76	73	77	102	85	s=11,30
девушки	58	70	75	88	92	81	76	66	77	90	85	s=10,58

Вариант 12. Пульс юношей и девушек, уд\мин

юноши	66	72	77	80	58	75	82	78	71	62	78	s =7,74
девушки	62	66	72	72	75	75	75	76	76	76	78	s =4,86

Вариант 13. Влияние диеты на вес, кг

до диеты	85	100	70	52	82	77	75	88	83	70
после диеты	80	69	68	77	82	66	75	69	78	74	sd =14,7

Вариант 14. Влияние пробежки на пульс, уд\мин

до пробежки	78	76	82	66	62	60	75	78	72	68
после пробежки	78	78	88	80	82	90	75	85	88	90	sd = 10,3

Вариант 15. Влияние операции на объем циркулирующей плазмы , мл\кг

до операции	43	36	37	36	30	26	44	30	40	31
после операции	43	33	44	34	40	31	26	33	36	37	sd = 8