8.КРИВЫЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
8.1.Улитка Паскаля
Уравнение улитки Паскаля в декартовых координатах
(x2 + y2 −ax)2 = b2 (x2 + y2 ) ,
в полярных координатах ρ = acosϕ+b . Параметрические уравнения улитки Паскаля
x = a cost (cost +b), |
|
|
≤ t < 2π. |
y =sin t (sin t +b), 0 |
Из уравнения кривой нетрудно увидеть, что улитка Паскаля получается при увеличении или уменьшении радиус-вектора каждой точки окружности на постоянный отрезок b. В зависимости от соотношения между a и b улитка Паскаля приобретает различный вид, как это показано на рисунках.
8.2. Кардиоида
Уравнение кардиоиды в декартовых координатах
(x2 + y2 )(x2 + y2 − 2ax) − a2 y2 = 0,
в полярных координатах ρ = a(1+ cosϕ), a > 0. Параметрические уравнения кардиоиды
x = a cost(1+ cost), |
|
|
|
+cost), 0 |
≤t < 2π. |
y = asin t(1 |
||
Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля при a=b. Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0). Укажем, что площадь
кардиоиды S = 3π2a2 , а длина L=8a.
26