Пусть ox - прямая, по которой катится круг радиусом а. Тогда МС=СК=а, где К - точка касания.

За параметр t примем угол поворота МС относительно СК: t = MCK - угол качения (в радианах). Так как качение окружности происходит без скольжения,

то ОК= MK =at. Из рисунка видно, что

x = OP = OK − PK = OK − MQ = at − asin t = a(t −sin t), y = PM = KC −QC = a − acost = a(1−cost).

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды

При 0 ≤t < 2π получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S=3 πa2.

6.3. Астроида

Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без скольжения внутри окружности радиуса R.

Параметрические уравнения астроиды

x = Rcos3 t,

y = Rsin3 t,

где 0 ≤t < 2π.

В декартовых координатах уравнение астроиды

x2/3+y2/3=R2/3.

Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3πR2/8.

7. КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

7.1. Полукубическая парабола

Уравнение полукубической параболы в декартовых координатах

a2 x3 − y2 = 0, a > 0.

Параметрические уравнения полукубической параболы:

24

7.2. Локон Аньези

Уравнение локона Аньези в декартовых координатах:

Площадь между локоном Аньези и асимптотой S= πa2.

25