АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
1.ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Расстояние между двумя точками |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть даны две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Расстояние |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между |
|
ними |
|
|
|
|
|
равно |
|
длине |
вектора |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M2 |
={x2 − x1 ,y2 − y1} |
и может быть вычислено по |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − x )2 |
+(y − y )2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = |
M M |
2 |
|
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Деление отрезка в данном отношении |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
Точка M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении λ, если |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
|
|
|
|
M1M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
= λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
MM2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λ |
|
MM2 |
|
, а отсюда |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
M1M |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x − x1 |
|
y − y1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
= λ, и координаты точки М находятся по формулам: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
2 |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 +λ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+λ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 +λ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Координаты середины отрезка С получаются при М1М=ММ2, т.е. λ =1: xc = x1 +2 x2 , yc = y1 +2 y2 .
Отметим, что число λ не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М1М2, так как при изменении направления на противоположное λ не меняется.
Число λ может быть положительным или отрицательным числом, может равняться нулю или принимать бесконечное значение в зависимости от расположения точки М на отрезке М1М2:
6