образующих.
Русский инженер В.Г.Шухов предложил использовать линейчатый характер однополостного гиперболоида в строительной технике. Он предложил конструкции из металлических балок, расположенных так, как расположены прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращения. Такие конструкции оказались легкими и прочными, они используются для устройства водонапорных башен и радиомачт.
2.2.2. Двуполостный гиперболоид
Двуполостным гиперболоидом называется по-
верхность второго порядка с каноническим уравнением
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
y2 |
− |
z2 |
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Линия пересечения гиперболоида и |
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
y2 |
= −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
задается системой уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
которой соответствует пустое множество. |
z = h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В |
|
|
|
|
сечении |
|
плоскостью |
|
имеем |
кривую |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
+ |
|
= h |
|
−1, |
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b12 |
|
или |
|
|
b12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a12 |
|
c2 |
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= h, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= h, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
a1 = a |
h2 −1; |
и b1 |
= b |
|
h2 |
−1. Очевидно, |
что |
|
решения есть |
при |
|
h |
|
≥ c . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
(0,0,±c). При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если |
h = ±с, |
|
сечение |
– точка |
|
|
h |
|
> c |
, сечение |
– эллипс с |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полуосями a1 , |
|
b1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Сечение поверхности S плоскостью x = 0 |
|
y |
|
|
|
− |
|
= −1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
является гиперболой с действительной осью Oz и мнимой осью Oy . Сечение S плоскостью y = 0 - гипербола с действительной осью Oz и мнимой осью Ox .
2.3.Параболоиды
2.3.1.Эллиптический параболоид
Эллиптическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением
x2 |
+ |
y2 |
= pz, p > 0. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
70