Подробные схемы приведения общих уравнений второго порядка будут изложены в решении задач.

5. ЛИНИИ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

5.1. Полярные координаты на плоскости

Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ.

Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора OM =ρ этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом 0 ≤ ρ ≤∞, 0 ≤ϕ≤∞.

5.2. Связь полярных координат с декартовыми

Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось ox с полярной осьюρ .

Найдём связь координат точки M(x,y) и M(ρ,ϕ). Она выражается следующей системой уравнений:

Если известны координаты точек A(x1,y1) и B(x2,y2), то проекции отрезка AB ={x2 − x1, y2 − y1}={ρcosϕ,ρsin ϕ}, а полярный угол отрезка по координатам

его начала и конца находится по формулам:

cosϕ = x2 ρ− x1 , sin ϕ = y2 ρ− y1 ,

tgϕ = y2 − y1 , ρ= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 . x2 − x1

18

5.3. Уравнение линий в полярной системе координат и их геометрическое изображение

5.3.1. Кривые второго порядка

Построим линию ρ = acosϕ, а=const>0. Координата ρ принимает только положительные значения.

При ϕ = 0 cosϕ=1, ρ=a получаем точку А(а,0).

Рассмотрим точку М(ρ,ϕ). Из уравнения линии - cosϕ = ρa , значит, угол ОМА - прямой. С возрастанием угла ϕ от 0 до π/2

косинус этого угла убывает от 1 до 0, таким образом, ρ убывает от а до 0 в точке О(0, π/2), и радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при изменении ϕ от 3 π/2 до 2 π. Этим значениям угла соответствуют положительные значения cosϕ, возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию ρ от 0 до а и геометрическому замыканию окружности.

Итак, уравнение ρ = acosϕ задаёт окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2.

Такой же результат получается, если в уравнении линии ρ = a cosϕ перейти к декартовым координатам.

если полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); р-фокальный параметр, е - эксцентриситет кривой.

19

5.3.2. Спирали

1. Архимедова спираль: ρ=аϕ, 0 < ϕ<∞, ρ R .

Для построения архимедовой спирали нужно вычислить значения ρ при различных значения ϕ:

OA = a π2 ;OB = 2OA = 2 a π2 ;OC = 3OA = 3 a π2 ;…и так далее.

Кривая представляет собой путь, описываемый точкой, движущейся с

постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О, с постоянной скоростью ω: a = ωv .

2.Гиперболическая спираль: ρ = ϕa , ϕ (0,∞), ρ R .

3.Логарифмическая спираль

ρ= aϕ, a > 0, a ≠1; ϕ 0,∞), ρ R .

5.3.3. Розы

При построении графиков будем считать, что параметр a>0.

1. Двухлепестковые розы

ρ= asin 2ϕ, a>0; 0 ≤ϕ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ a .

Для нахождения вида кривой ρ = asin 2ϕ обратимся к графику функции для

ϕ [0,2π) :

20

Функцияρ = asin 2ϕ при а>0 принимает допустимые, неотрицательные значения ρ ≥ 0 при ϕ [0, π2] [π, 32π]; принимает максимальные, равные а,

21

2. Четырехлепестковые розы

ρ = a cos2ϕ ; 0 ≤ϕ< 2π, ρ R

ρ = a sin 2ϕ ; 0 ≤ϕ< 2π, ρ R

3. Трёхлепестковые розы:

ρ = asin3ϕ; 0 ≤ϕ< 2π, 0 ≤ ρ ≤ a, a>0

22