РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ

Задача 1 Составить уравнение сферы с центром в точке (3,-5,-2), если плоскость 2x − y −3z +11 = 0 касается сферы.

Решение

Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы:

Уравнение сферы: (x −3)2 +(y +5)2 +(z + 2)2 = 56 .

Задача 2 Составить уравнение сферы, проходящей через точки M1 (3,1,−3), M2 (−2,4,1), M3 (−5,0,0), центр которой лежит на плоскости 2x + y − z +3 = 0 .

Решение

Запишем уравнение сферы в виде (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = R2 и подставим в него координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы лежит на плоскости:

(3 − x0 )2 +(1− y0 )2 +(−3 − z0 )2 = R2 ,(−2 − x0 )2 +(4 − y0 )2 +(1− z0 )2 = R2 ,

(−5 − x0 )2 +(0 − y0 )2 +(0 − z0 )2 = R2 ,2x0 + y0 − z0 +3 = 0.

Раскрывая скобки, получаем

73

Вычитая из третьего уравнения второе и из второго первое, для координат центра сферы получаем равносильную систему

3x0 + 4 y0 + z0 = −2,5x0 −3y0 − 4z0 = −1,2x0 + y0 − z0 = −3,

откуда x0 =1, y0 = −2, z0 = 3 и R = 7 . Уравнение сферы

(x −1)2 +(y + 2)2 +(z −3)2 = 49 .

Задача 3 Методом сечений исследовать поверхность, заданную уравнением

x2 + y2 − z2 = 4 .

Решение

Перепишем уравнение поверхности в виде

x2 + y2 = z2 + 4

и рассмотрим сечения поверхности плоскостями z = h . В сечении получаются

окружности с центром на оси Oz и радиусом R = h2 + 4 . Это позволяет заключить, что поверхность является поверхностью вращения с осью Oz , и точки поверхности существуют при любых значениях z . Рассмотрим осевое сечение плоскостью Oxz (или y = 0 ):

x2 − z2 = 4 .

Приводя к каноническому виду, имеем

x2 − z2 =1 4 4

– уравнение гиперболы, Ox – действительная ось, Oz – мнимая ось.

Итак, поверхность может быть получена вращением гиперболы относительно ее мнимой оси, т.е. поверхность – однополостный гиперболоид вращения, Oz – ось симметрии, Oxy – плоскость симметрии.

Задача 4 Установить тип поверхности и построить ее:

1) x2 + y2 − z + 2 = 0 - параболоид вращения;

74

2)x2 + y2 = 0 - ось oz;

3)x2 − y2 = 0 - две пересекающиеся плоскости x = ±y ;

4)x2 =1 - две плоскости x = ±1, параллельные плоскости zoy;

5)x2 + z2 = 0 - круговой цилиндр с образующей, параллельной оси oy.

Задача 5 Найти общие точки поверхности x2 + y2 + z2 − 4x −6y + 2z −67 = 0

Решение

Выделим полные квадраты переменных в уравнении поверхности и увидим,

что она представляет собой сферу (x − 2)2 +(y −3)2 +(z +1)2 = 92 .

x =5 +3t,

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой y = 2t,

z = −25 −2t.

Подстановка этих значений переменных в уравнение поверхности приводит к квадратному уравнению для t c отрицательным дискриминантом. Следовательно, действительных значений t не существует, и поверхность не имеет общих точек с прямой, которая проходит вне сферы.

Приравнивая значения 2z , выраженные из этих уравнений, получим, что

75

4(x +1.5)2 + 2( y −1)2 67 67

пересечения эллиптического параболоида и плоскости.

76