4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

4.1. Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку О1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xoy точка М имеет координаты x и y. Система координат x′O1y′ получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О1 имеет координаты x0 и y0 в системе координат xOy. Точка М в

системе координат x′O1y′ имеет координаты x′ и y′. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x′,y′) в старой и новой системах координат задается формулами:

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O1(x0,y0), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей

(2).

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R2 - уравнение окружности с центром в точке O1(x0,y0) и радиусом R.

При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: x − x0 = ± ae , а

параболы: x − x0 = − 2p .

Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: y − y0 = ± ba (x − x0 ) .

4.2. Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

15

Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x′Oy′ равны x′ и y′. Найдём её координаты в системе коорднат xOy. В треугольнике

CMD CMD = α, OD=x′, MD=y′.

A B

Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC-CM=DB+CM.

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x′,y′) этой же точки при повороте осей на угол α.

Формулы, выражающие новые координаты (x′,y′) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол α, то старая система получается поворотом новой на угол (-α), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (-α).

Выполнив это преобразование, получим

x′ = xcosα + ysin α,y′ = −xsin α+ y cosα.

При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид:

x′cosα − y′sin α = ± ae ; x′cosα − y′sin α = − 2p .

4.3. Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x0 по оси ox и на y0 по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол α, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования

и новые координаты через старые:

16

4.4.Приведение общего уравнения кривой второго порядка

кканоническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 .

Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто переносом начала координат в центр кривой (x0,y0) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями. Алгебраически это приводит к исчезновению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после применения формулы (1) п.4.1 и (3) п.4.2.

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записывается как

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса начала координат в центр (x0,y0) уравнение кривой примет вид

Ax′2 + 2Bx′y′+Cy′2 + F1 = 0 ,

где F1 = Dx0 + Ey0 + F .

Чтобы получить каноническое уравнение кривой

A1(x′′)2 +C1( y′′)2 + F2 = 0 ,

подвергнем уравнение (6) преобразованию поворота осей координат на угол ϕ.

После преобразования

x′ = x′′cosϕ− y′′sin ϕ, y′ = x′′sin ϕ+ y′′cosϕ,

где x′′, y′′- новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения, слагаемые второго порядка:

A(x′′cosϕ− y′′sin ϕ)2 + 2B(x′′cosϕ− y′′sin ϕ)(x′′sin ϕ+ y′′cosϕ) +C(x′′sin ϕ+ y′′cosϕ)2.

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение x′′ y′′,

коэффициент перед которым равен

B1 = −2Asin ϕcosϕ+ 2B(cos2 ϕ−sin2 ϕ) + +2C sin ϕcosϕ= 2B cos2ϕ+ (C − A)sin 2ϕ.

Найдём угол поворота из условия В1=0: 2B cos2ϕ = (A −C)sin 2ϕ.

17