ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1.Найти нижеперечисленные элементы треугольника:

а) уравнения и длины сторон; б) уравнения высот; в) уравнения медиан; г) центр тяжести;

д) центр и радиус описанного круга; е) внутренние углы,

если даны три вершины треугольника: А(0, 0); В(10, -5); С(6, 3).

11х – 2у – 60 = 0 (из С); г) (16/3, -2/3);

д) (5, -5/2), R = (5 5 )/2;

е) tgA = 4/3, tgB = 3/4, C = π/2.

2. Построить кривую 5х2 + 9у2 – 30х + 18у + 9 = 0.

Ответ: (x −93)2 + ( y +51)2 =1.

3.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6).

Ответ: у2 = 4х.

5. Даны две точки М1(9; -3) и М2(-6; 5). Начало координат перенесено в точку М1, а оси координат повернуты так, что положительное направление новой

оси абсцисс совпадает с направлением отрезка M1M 2 . Вывести формулы преобразования координат.

52

Ответ:

5

-5

53

Вариант 2

1.Найти нижеперечисленные элементы треугольника:

а) вершины треугольника; б) длины сторон; в) уравнения высот; г) уравнения медиан;

д) центр и радиус описанного круга; е) центр тяжести; ж) внутренние углы,

если даны уравнения трех сторон треугольника:

АС: х – 2у – 1 = 0, АВ: х + 2у + 3 = 0, ВС: 2х + у + 18 = 0.

Ответ: а) А(-1, -1), В(-11, 4), С(-7, -4); б) АВ = 5 5 , ВС = 4 5 , АС = 3 5 ;

13х + 14у + 87 = 0 (из В), 11х – 2у + 63 = 0 (из С);

д) (-6, 3/2), R = (5 5 )/2; е) (-19/3, -1/3);

ж) tgA = 4/3, tgB = 3/4, C = π/2.

2.Построить кривую х = 2у2 – 12у + 14.

Ответ: х + 4 = 2(у – 3)2.

3.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М1(6; -1) и М2(-8; 2 2 ) гиперболы.

В(0, -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

Ответ: (x −3)2 + ( y + 4)2 =1. 9 16

5. Даны две точки М(3; 1) и N(-1; 5). Найти их координаты в новой системе координат, если исходные оси координат повернуты на угол -45°.

Ответ: М( 2 , 2 2 ), N(-3 2 , 2 2 ).

54

б) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Ответ: а) α = 30°, х2 + 2у2 = -1;

б) (х - 1)2 + (у + 2)2 = 4.

8. Какая линия задается уравнением ρ = 1−cos3 ϕ?

Ответ:

Вариант 3

1.Найти нижеперечисленные элементы треугольника:

а) вершины треугольника; б) уравнения и длины сторон; в) уравнения высот; г) уравнения медиан;

д) центр и радиус описанного круга; е) центр тяжести; ж) внутренние углы,

если даны две вершины треугольника: А(1, 1); В(21, -9) и точка пересечения высот К(13, 7).

55

13х + 14у – 147 = 0 (из В), 11х – 2у – 129 = 0 (из С);

д) (11, -4), R = 5 5 ; е) (35/3, -1/3);

ж) tgA = 4/3, tgB = 3/4, C = π/2.

2.Построить кривую 4х = -у2 + 4у.

Ответ: 4(х – 1) = -(у – 2)2.

3.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точка М1(-5; 3)

гиперболы и эксцентриситет ε = 2 .

Ответ: х2 – у2 = 16.

4.Точка С (-3, 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

Ответ: (x +93)2 + ( y −42)2 =1.

56

Вариант 4

1.Найти нижеперечисленные элементы треугольника: а) вершины треугольника; б) уравнения и длины сторон; в) уравнения высот; г) уравнения медиан;

д) центр и радиус описанного круга; е) центр тяжести; ж) внутренние углы,

если дана вершина треугольника А(-1, -1) и две высоты

А(3, -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В(2, 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

Ответ: О′(2, -4).

6.Поворотом осей координат на угол α преобразовать уравнение и построить кривую sinα = 4/5 ( 0 < α < π/2),

57

16x2 – 24xy + 9y2 – 160х + 120у + 425 = 0.

Ответ: пара мнимых прямых (у′2 + 4)2 + 1 = 0; для (х, у) R. 7. Привести кривые к каноническому виду:

а) 14 x2 − 323 xy − 54 y2 −1 = 0, б) х2 – 11у + 2х + 4 = 0.

Ответ: а) α = -30°, х2 – 2у2 = 1; б) (х + 1)2 = 11(у – 3/11).

8. Какая линия задается уравнением ρ = а (1 – cosϕ)? Ответ:

Вариант 5

1.Найти нижеперечисленные элементы треугольника:

а) вершины треугольника; б) уравнения и длины сторон; в) уравнения высот; г) уравнения медиан;

д) центр и радиус описанного круга; е) центр тяжести; ж) внутренние углы,

если даны две вершины треугольника: А(-1, 2), В(9, -3) и точка пересечения медиан М(13/3, 4/3).

11х – 2у – 45 = 0 (из С); д) (4, -1/2), R = (5 5 )/2;

е) (13/3, 4/3);

ж) tgA = 4/3, tgB = 3/4, C = π/2.

58

3.Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны две точки эллипса: М1(2; 0) и М2( 2 , 2 /2).

Ответ: х2/4 + у2 = 1.

5.Определить старые координаты нового начала и угол α, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы

Ответ: О′(5, -3), α = -45°.

6.Поворотом осей координат на угол α преобразовать уравнение и построить кривую, если sinα = -3/5 (π < α < (3/2) π),

9x2 – 24xy + 16y2 –20х + 110у – 50 = 0.

Ответ: парабола 2(х′+ 3) = (у′– 2)2.

7. Привести кривые к каноническому виду:

а) 14 x2 + 323 xy − 54 y2 = 0, б) х2 + 2у2 + 2х + 4у = 6.

Ответ: а) α = 30°, х2 – 2у2 = 0; б) (х + 1)2 + 2(у + 1)2 = 9.

8. Какая линия задается уравнением ρ = а(1 + sinϕ)? Ответ:

59

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА «ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ» Задача 1 Построить алгебраические кривые в декартовой системе координат. 1.1. Прямая Ах + Ву + С = 0.

1.4.Парабола у2 = 2рх.

1.5.Полукубическая парабола а2х3 – у2 = 0.

1.6.Верзиера (локон Аньези) (х2 + а2)у – а3 = 0, а > 0.

1.7.Декартов лист х3 + у3 – 3аху = 0, а > 0.

1.8.Циссоида х3 + (х – а)у2 = 0, а > 0.

1.9.Строфоида (х + а)х2 + (х – а)у2 = 0, а > 0.

Конхоида Никомеда (конхоида прямой х = а).

Рассмотреть случаи:

1.10.(x - a)2(x2 + y2) – l2x2 = 0, 0 < l <a,

1.11.(x - a)2(x2 + y2) – l2x2 = 0, 0 < a < l,

1.12.(x - a)2(x2 + y2) – l2x2 = 0, 0 < a = l.

Улитка Паскаля (конхоида окружности). Рассмотреть случаи:

1.13.(x2 + y2 – ax)2 – l2(x2 + y2) = 0, 0 < 2a ≤ l,

1.14.0 < a < l < 2a и a > l.

1.15.Кардиоида (x2 + y2 + 2ax)2 = 4a2(x2 + y2), 0 < a = l.

Овалы Кассини (х2 + у2)2 – 2с2(х2 – у2) – (а4 – с4) = 0.

Рассмотреть случаи:

1.18.0 < a < c.

1.19.Частный случай, лемниската Бернулли, 0 < a = c,

1.21. Астроида х2/3 + у2/3 = b2/3.

Подэры кривой Штейнера, имеющие уравнение

60

(x2 + y2)2 + [(a + 3r) y2 + (a – r) x2] x = 0.

Рассмотреть случаи:

1.22. а = 0 трехлепестковая роза (х2 + у2)2 + rx(3у2 – х2) = 0, 1.23. a = r прямой двулистник (х2 + у2)2 + 4rу2х = 0,

1.24. a = -r прямой трилистник (х2 + у2)2 + 2rx(у2 – х2) = 0.

Задача 2 Построить кривую, заданную параметрически.

2.2.x = acht,

гипербола, − ∞ < t < +∞.

y = asht

2.3.x = t,

парабола, − ∞ < t < +∞.

y = at 2

2.4.x = at + b,

прямая, − ∞ < t < +∞.

y = ct + d

2.5.x =t2 , полукубическая парабола,

y = at3 −∞< t < +∞.

а) m = 2, 3, 4, 5…,

б) m = 3/2, 3/5, … 1/3, 1/4, …,

61

в) m – иррациональное.

а) |m| = 2, 3, 4, 5…,

б) |m| = 3/2, 3/5, … 1/3, 1/4, …,

в) |m| – иррациональное. Трохоиды циклоиды окружности

x = (R + mR)cos mt − hcos(t + mt), h ≠ mR,

y = (R + mR)sin mt − hsin(t + mt).

2.13. h < mR, m > 0 укороченная эпициклоида, 2.14. h > mR, m > 0 удлиненная эпициклоида, 2.15. h < mR, m < 0 укороченная гипоциклоида, 2.16. h > mR, m < 0 удлиненная гипоциклоида. Частные случаи циклоид:

2.17. Трохоидальные розы, h = R + mR,

x = (R + mR)cos mt −(R + mR)cos(t + mt),y = (R + mR)sin mt −(R + mR)sin(t + mt).

2.18. Улитка Паскаля (эпициклоида при R = r, h – любое)

x = 2r cost − hcos2t,y = 2r sin t − hsin 2t.

2.19. Эллипс (гипоциклоида при R = 2r)

x = (R / 2 + h)cos(t / 2),y = (R / 2 − h)sin(t / 2).

2.20. Кардиоида (эпициклоида при |m| = 1, одна из улиток Паскаля)

x = 2r cost − r cos2t,y = 2r sin t − r sin 2t.

2.21. Кривая Штейнера (гипоциклоида при |m| = 1/3)

x = 2r cos(t /3) + r cos(2t /3),y = 2r sin(t /3) − r sin(2t /3).

2.22. Астроида (гипоциклоида при |m| = 1/4)

x = Rcos3 (t /3),

y = Rsin3 (t /3).

2.23. Конхоида Никомеда (конхоида прямой х = а)

62

Задача 3 Построить кривые в полярной системе координат.

Рассмотреть случаи: 0 < l < a, 0 < l = a, 0 < a < l.

Окружность:

3.4.ρ = a cosϕ и ρ = a sinϕ.

Конхоиды окружности a cosϕ + l: 3.5.0 < 2a ≤ l,

3.6.0 < a < l < 2a, 3.7.0 < l < a,

3.8.ρ = a(1 + cosϕ) – кардиоида – частный случай конхоиды окружности.

Синусоидальные спирали

ρm = amcosmϕ или ρm = amsinmϕ

при m – рациональном – алгебраические линии того или иного порядка. 3.9.m = 1, ρ = a cosϕ - окружность,

m= -1, ρ = a/cosϕ - прямая,

3.10.m = 2, ρ2 = a2 cos2ϕ- лемниската Бернулли,

m= -2, ρ = a2/cos2ϕ- равносторонняя гипербола,

3.11. m = 1/2, ρ = a cos2(ϕ/2)- кардиоида, m = -1/2, ρ = 2a/(1+cosϕ)- парабола.

63

Овалы Кассини: ρ2 = c2 cos2ϕ± c4 cos2 2ϕ+(a4 −c4 ):

3.12.0 < c 2 < a,

3.13.0 < c < a < 2 , 3.14.0 < a < c,

3.15.0 < c = a, ρ = a 2cos2ϕ - частный случай, лемниската Бернулли.

Подэры кривой Штейнера имеют уравнение ρ = 4r cos3ϕ – (a + 3r) cosϕ.

3.21.Розы, или кривые Гвидо Гранди ρ = a sinkϕ, a > 0, k > 0. Рассмотреть случаи:

1)k – целое четное, нечетное;

2)k – рациональное;

3)k – иррациональное.

Розы относятся к трохоидам. 3.22.Узлы, ρ = a ctgkϕ.

Рассмотреть случаи: k = 1 «каппа»;

k = 2 «ветряная мельница»; k = 1/2 строфоида.

3.23.Кривые, полученные Хабеннихтом:

ρ= 4 (1 + cos3ϕ) + 4 sin23ϕ - лист щавеля,

ρ= 4 (1 + cos3ϕ) – 4 sin23ϕ - лист трилистника,

ρ= 3 (1 + cos2ϕ) + 2 cosϕ + sin2ϕ – 2 sin23ϕ cos4(ϕ/2) - лист плюща.

3.24.Спирали:

ρ= a ϕ - спираль Архимеда,

ρ= a/ϕ - гиперболическая спираль,

ρ= a/ϕ + l - конхоида гиперболической спирали,

ρ= a ϕ2 – l, - спираль Галилея,

l > 0, l = 0

ρ = a ϕ - спираль Ферма,

64

ρ = a ϕ + l- параболическая спираль, l > 0,

Тест

Укажите название кривой II порядка на плоскости x2 + 2x − y2 = 4:

а) эллипс; б) окружность; в) пара параллельных прямых; г)точка; д) круг; е) эллиптический параболоид; ж) парабола; з) гипербола; и) лист Декарта; к) пара параллельных плоскостей.

Правильный ответ: Ответ: з).

65