- •Федеральное агентство по образованию РФ
- •АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
- •1.ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
- •1.1. Расстояние между двумя точками
- •1.2. Деление отрезка в данном отношении
- •1.3. Площадь треугольника
- •2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •2.1. Общее уравнение прямой
- •2.2. Каноническое уравнение прямой
- •2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.5. Уравнение прямой в отрезках
- •2.6. Нормальное уравнение прямой
- •2.7. Расстояние от точки до прямой
- •2.8. Координаты точки пересечения двух прямых
- •2.9. Угол между двумя прямыми
- •2.11. Уравнение пучка прямых
- •3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Окружность
- •3.3. Гипербола
- •3.4. Парабола
- •4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
- •4.1. Параллельный перенос
- •4.2. Поворот координатных осей
- •4.3. Изменение начала координат и поворот осей
- •5. ЛИНИИ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
- •5.1. Полярные координаты на плоскости
- •5.2. Связь полярных координат с декартовыми
- •5.3.1. Кривые второго порядка
- •5.3.2. Спирали
- •5.3.3. Розы
- •6. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ЛИНИЙ
- •6.1. Окружность
- •6.2. Циклоида
- •6.3. Астроида
- •7. КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
- •7.1. Полукубическая парабола
- •7.2. Локон Аньези
- •7.3. Декартов лист
- •8. КРИВЫЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
- •8.1. Улитка Паскаля
- •8.2. Кардиоида
- •8.3. Лемниската Бернулли
- •Парабола
- •РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
- •ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •Вариант 1
- •ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •1. Поверхности
- •1.1. Линейчатые поверхности
- •1.2. Поверхности вращения
- •1.3. Поверхности второго порядка
- •2.1. Эллипсоид
- •2.2. Гиперболоиды
- •2.2.1. Однополостный гиперболоид
- •2.2.2. Двуполостный гиперболоид
- •2.3. Параболоиды
- •2.3.1. Эллиптический параболоид
- •2.4. Конус
- •2.5. Цилиндры
- •2.5.1. Эллиптический цилиндр
- •2.5.2. Гиперболический цилиндр
- •2.5.3. Параболический цилиндр
- •РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ
- •ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1
Федеральное агентство по образованию РФ
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ» Институт образовательных информационных технологий
V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебное пособие
Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук О.А. Кеда
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Екатеринбург
2005
2
УДК 514.123.2(075.8) ББК 22.147 я 73 А 64
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ. - мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко
А 64 V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА: Учебное пособие / А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 76 с.
ISBN 5-321-00633-4
В учебно-методическом пособии излагаются теоретические основы аналитической геометрии на плоскости и понятий о поверхностях второго порядка, формулы аналитической геометрии на плоскости, приводятся решения большого числа задач. Пособие содержит варианты задач с ответами для самостоятельного решения, задания расчетно-графической работы «Линии на плоскости», список формул и рекомендованной литературы.
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 “Строительство” всех форм обучения
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 514.123.2(075.8) ББК 22.147 я 73
ISBN 5-321-00633-4 |
© ГОУ ВПО «Уральский государственный |
|
технический университет – УПИ», 2005 |
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ………………………………………….6
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ………6
1.ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ…..…………………………………………...6
1.1.Расстояние между двумя точками…………………………………………………………….6
1.2.Деление отрезка в данном отношении………………………………………………………..6
1.3.Площадь треугольника…………………………………………………………………………7
2.ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ……………………………………………………….7
2.1.Общее уравнение прямой……………………………………………………………………...7
2.2.Каноническое уравнение прямой…………………………………………………..…………7
2.3.Уравнение прямой, проходящей через две точки……………………………………………8
2.4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении…………..8
2.5.Уравнение прямой в отрезках…………………………………………………………………8
2.6.Нормальное уравнение прямой………………………………………………………………..9
2.7.Расстояние от точки до прямой……………………………………………………………….9
2.8.Координаты точки пересечения двух прямых……………………………………………….9
2.9.Угол между двумя прямыми…………………………………………………………………10
2.10.Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых………………………….10
2.11.Уравнение пучка прямых……………………………………………………………………10
3.КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА……………………………………………………………11
3.1.Эллипс…………………………………………………………………………………………11
3.2.Окружность…………………………………………………………………………................12
3.3.Гипербола……………………………………………………………………………………...12
3.4.Парабола……………………………………………………………………………………….14
4.ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ……………………………………………………….15
4.1.Параллельный перенос………………………………………………………………………..15
4.2.Поворот координатных осей…………………………………………………………………15
4.3.Изменение начала координат и поворот осей……………………………………………….16
4.4.Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду………..17
5.ЛИНИИ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ……………………………………….18
5.1.Полярные координаты на плоскости………………………………………………………...18
5.2. Связь полярных координат с декартовыми………….……………………………………...18 5.3.Уравнение линий в полярной системе координат и их геометрическое изображение…...19
5.3.1.Кривые второго порядка…………………………………………………………………...19
5.3.2.Спирали……………………………………………………………………………………..20
5.3.3.Розы………………………………………………………………………………………….20
6.ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ЛИНИЙ………………………………………………23
6.1.Окружность……………………………………………………………………………………23
4
6.2.Циклоида………………………………………………………………………………………23
6.3.Астроида……………………………………………………………………………………….24
7.КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА…………………………………………………………..24
7.1.Полукубическая парабола…………………………………………………………………….24
7.2.Локон Аньези………………………………………………………………………………….25
7.3.Декартов лист…………………………………………………………………………………25
8.КРИВЫЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА………………………………………………………26
8.1.Улитка Паскаля……………………………………………………………………………….26
8.2.Кардиоида……………………………………………………………………………………..26
8.3.Лемниската Бернулли………………………………………………………………………...27
ФОРМУЛЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ………………………….28
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ……………..34 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ………………………………………………52
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА………………………………………………………...666
1. Поверхности…………………………………………………………………………………….666
1.1.Линейчатые поверхности…………………………………………………………………….66
1.2.Поверхности вращения………………………………………………………………………66
1.3.Поверхности второго порядка……………………………………………………………….67
2.Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим
уравнениям……………………………………………………………………………………...67
2.1.Эллипсоид……………………………………………………………………………………..68
2.2.Гиперболоиды…………………………………………………………………………………69
2.2.1.Однополостный гиперболоид……………………………………………………………...69
2.2.2.Двуполостный гиперболоид……………………………………………………………….70
2.3.Параболоиды………………………………………………………………………………….70
2.3.1.Эллиптический параболоид……………………………………………………………….70
2.3.2.Гиперболический параболоид……………………………………………………………..71
2.4.Конус…………………………………………………………………………………………..71
2.5.Цилиндры……………………………………………………………………………………...72
2.5.1.Эллиптический цилиндр…………………………………………………………………..72
2.5.2.Гиперболический цилиндр………………………………………………………………..72
2.5.3.Параболический цилиндр…………………………………………………………………72
РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ……………………………………………………………….73
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ……….…………………………………….77
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………………………...90
5