Если α ≠ 0, то при λ = αβ получим уравнение пучка прямых в виде

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0, которое определяет все прямые пучка, кроме второй из прямых, т.к. α ≠ 0 .

3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кривые второго порядка на плоскости описываются алгебраическими уравнениями второго порядка.

3.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место всех точек M(x,y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1(+с,0) и F2(-с,0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2а.

Так называемое каноническое уравнение эллипса может быть получено непосредственно из определения эллипса.

По определению F1M + F2M = 2a и F1F2 = 2c, где а>c. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

Полученное уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F1(с,0), F2(-с,0) - фокусы эллипса; 2c - фокусное

расстояние, которое вычисляется по формуле c = a2 −b2 ; АВ=2а и

11

CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; e = ac , (e <1) - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние ae , называются директрисами эллипса.

Уравнения правой и левой директрис эллипса имеют вид: x = ± ae .

Отметим, что ae > a , так как e <1.

3.2. Окружность

Окружность представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точки О, называемой центром окружности.

Уравнение окружности можно получить из уравнения эллипса при a=b=R: x2+y2=R2.

3.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место всех точек M(x,y), для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1(+c,0) и F2(-c,0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2а<2с.

12

Так называемое каноническое уравнение гиперболы может быть получено непосредственно из определения гиперболы.

По определению F1M − F2 M = 2a и F1 F2 = 2c, где а<с.

Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Элементами гиперболы являются:

точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F1(+с,0) и F2(- с,0) - фокусы гиперболы; 2с - фокусное расстояние, которое вычисляется

Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e,

тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид: x = ± ae .

Отметим, что ae < a , так как e >1.

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.

13

С учётом того, что k = ±tgα = ± ba , уравнения асимптот гиперболы принимают вид y = ± ba x .

Фокальный параметр гиперболы p = b2 . a

3.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек M(x,y), равноудалённых от заданной точки F(p/2,O) (называемой фокусом параболы) и от данной прямой (называемой директрисой параболы).

Так называемое каноническое уравнение параболы может быть получено непосредственно из определения параболы.

По определению FM = MK и r = d, кроме того, d = 2p + x .

параболы.

Элементами параболы являются:

параболы.

p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).

14