ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1.Установить, какой геометрический образ определяется уравнением
x2 + y2 + z2 −6z = 0.
Ответ: сфера, C (0,0,3), R = 3 .
2.Составить уравнение сферы, если известны координаты центра C (−1,2,0) и
радиус R = 2.
Ответ: (x +1)2 +(y − 2)2 + z2 = 4 .
3.Методом сечений исследовать поверхность, заданную уравнением
|
x2 |
+ |
|
y2 |
− |
|
z2 |
|
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16 |
|
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: двуполостный эллиптический гиперболоид. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. Установить тип поверхности и построить ее: |
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
=1. |
||||||||||||||||||||||||
|
16 |
4 |
36 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: однополостный эллиптический гиперболоид. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. Найти общие точки поверхности |
|
x2 |
+ |
|
y2 |
− |
z |
2 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
16 |
|
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и прямой |
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: (4,−3,2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. Определить линию пересечения поверхностей |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2z = |
|
(x −1)2 |
|
−(y +1)2 и x − 2y −1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: прямая 2y + 2z +1 = 0 .
77
Вариант 2
1.Установить, какой геометрический образ определяется уравнением
x2 + 2y2 + 2z2 +7 = 0 .
|
Ответ: пустое множество. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
Составить уравнение сферы, если известны координаты центра C (3,−2,1) и |
|||||||||||||||||||||||
|
точки на сфере M (2,−1,−3). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Ответ: (x −3)2 +(y + 2)2 +(z −1)2 |
=18. |
|
|||||||||||||||||||||
3. |
Методом сечений исследовать поверхность, заданную уравнением |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
+ |
|
|
y2 |
+ |
|
z2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
|
|
4 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: эллипсоид. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
Установить тип поверхности и построить ее: x2 + y2 − z2 = −1. |
|||||||||||||||||||||||
|
Ответ: двуполостный гиперболоид вращения. |
|||||||||||||||||||||||
5. |
Как расположена прямая |
x −2 |
= |
|
y |
= |
z + 2 |
относительно сферы |
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−2 |
1 |
|
||||
x2 + y2 + z2 − 4 y −3z + |
= 0 ? |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: пересекает. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
Определить линию пересечения поверхностей |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
|
y |
2 |
+ |
|
z2 |
=1 и y − 2 = 0 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
16 |
8 |
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: эллипс.
78
Вариант 3
1. Установить, какой геометрический образ определяется уравнением x2 + 4z2 = 0 .
Ответ: ось Oy .
2.Составить уравнение сферы, если известно, что точки M1 (2, −3,5) и M2 (4,1, −3) - концы диаметра сферы.
Ответ: (x −3)2 +(y +1)2 +(z −1)2 = 21.
3.Методом сечений исследовать поверхность, заданную уравнением
x2 + y2 = 2z .
Ответ: параболоид вращения.
4.Установить тип поверхности и построить ее: x2 − y2 = z2 . Ответ: круговой конус.
5. Найти общие точки поверхности |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1 |
||||||||||
81 |
36 |
9 |
|
|||||||||||||
|
|
|
x −3 |
|
y − 4 |
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
||||
и прямой |
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: (3,4,−2), (6,−2,2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. Определить линию пересечения поверхностей |
|
|||||||||||||||
2z = |
(x − |
1)2 |
|
(y +1)2 |
и x − 2y −1 = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: парабола.
79
Вариант 4
1. Установить, какой геометрический образ определяется уравнением x2 − 4x = 0 .
Ответ: две параллельных плоскости x = 0 и x = 4 .
2.Составить уравнение сферы, если известны координаты центра C (−5,3,2) и плоскость 2x − 2y + z − 4 = 0 касается сферы.
Ответ: (x +5)2 +(y −3)2 +(z − 2)2 = 36 .
3.Методом сечений исследовать поверхность, заданную уравнением
x2 − y2 = 2z .
Ответ: гиперболический параболоид.
4. Установить тип поверхности и построить ее:
Ответ: эллиптический параболоид |
|
|
2x − y + 2z −12 |
= 0 |
, |
5. Как расположена прямая |
= 0 |
|
2x − 4y − z + 6 |
|
x2 + y2 + z2 − 2x + 2y + 4z − 43 = 0 ?
Ответ: касается.
6. Определить линию пересечения поверхностей
2z = |
(x −1)2 |
+ |
(y +1)2 |
и 3x − y + 6z −18 |
= |
|
3 |
6 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: эллипс.
2z = x2 + y2 .
2
относительно сферы
0.
80
Вариант 5
1.Установить, какой геометрический образ определяется уравнением
x2 + 2y2 +3z2 = 0 .
Ответ: точка (0,0,0).
2. |
Составить |
уравнение |
сферы, |
|
если |
|
известно, |
|
что |
точки |
M1 (0,0,0), |
|||||||||||||||
|
M2 (2,0,0), M1 (1,1,0), M1 (1,0,−1) лежат на сфере. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответ: (x −1)2 + y2 + z2 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Методом сечений исследовать поверхность, заданную уравнением |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 = 2z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: параболический цилиндр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Установить тип поверхности и построить ее: |
|
x2 |
− |
y2 |
|
= 6z . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Ответ: гиперболический параболоид. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Найти общие точки поверхности |
|
x2 |
+ |
|
y2 |
= z |
и |
прямой |
x +1 |
= |
y −2 |
= |
z +3 |
. |
|||||||||||
|
5 |
|
3 |
2 |
|
−2 |
−2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: нет общих точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Определить линию пересечения поверхностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(x −1)2 |
+ (y +1)2 |
− |
z2 |
=1 |
и 9x − 6y + 2z − 43 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
9 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: гипербола.
81
Тест
Укажите название поверхности II порядка в пространстве x2 = y : а) эллипсоид; б) парабола; в) гиперболический параболоид; г) параболический цилиндр; д) астроида; е) конус второго порядка; ж) полукубическая парабола; з) эллиптический параболоид; и) шар; к) плоскость.
Правильный ответ:
Ответ: г).
82
Поверхности второго порядка в пространстве
Эллипсоид |
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1 |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
1
0.5
0
-0.5
-1 1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Гиперболоиды
Однополостный гиперболоид
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
=1 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
83
5
2.5 0
-2.5
-5 5
2.5
0
-2.5
-5
-5 -2.5
0
2.5
5
Двуполостный гиперболоид
x2 + y2 − z2 = −1. a2 b2 c2
5
2.5 0 
-2.5
-5 5
2.5
0
-2.5
-5
-5 -2.5
0
2.5
5
84
Конус второго порядка |
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0 |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
5
2.5 
0 
-2.5
-5 5
2.5
0
-2.5
-5
-5 -2.5
0
2.5
5
85
Эллиптический параболоид
x2 + y2 = 2 pz .
x2 + y2 = 2z p q
1 |
|
|
0.75 |
1 |
|
0.5 |
||
0.25 |
0.5 |
|
0 |
||
0 |
||
-1 |
||
-0.5 |
-0.5 |
|
0 |
||
0.5 |
-1 |
|
1 |
86
Гиперболический параболоид
x2 − y2 = 2z p q
- 5
- 2 . 5
0
2 . 5
5
2 0
0
- 2 0
5
2 . 5
0
- 2 . 5
- 5
Цилиндры второго порядка
эллиптический |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
87
0.5 |
1-1 -0.5 |
0 |
0.5 |
|
0 |
|
|
1 |
|
-0.5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1
0
-1
-2
88
гиперболический
параболический
.
|
-5 |
|
|
5 |
0 |
|
0 |
|
0 |
5 |
10 |
-5 |
5 |
5 |
|
|
0 |
|
0 |
-5 |
|
-5 |
|
x2 |
− |
y2 |
=1 |
, |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
y2 = 2 px
20
30
5
0
-5
Пары плоскостей
(A1x + B1 y +C1z + D1 ) (A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0
5
2.5
0
-2.5
-5 5
2.5
0
-2.5
-5
-5 -2.5
0
2.5
5
89
Пара пересекающихся плоскостей
2.5 |
5-5 |
-2.5 |
0 |
|
|||
0 |
|
|
2.5 |
|
|
5 |
-2.5
-5
6
10
4
2 |
5 |
5 |
|
2.5 |
|||
|
|||
0 |
|
||
0 |
|
||
-5 |
|
||
-2.5 |
-2.5 |
0 |
|
0 |
|
||
2.5 |
-5 |
|
|
5 |
|
||
пара параллельных плоскостей |
пара сливающихся плоскостей |
||
90