Но λ не принимает значение -1, так как при λ =-1:

M1M = −MM 2 и M1M + MM 2 = M1M 2 = 0,

т.е. точка М1 совпадает с точкой М2, а мы предполагали их различными.

При вычислении по этой формуле площадь получается положительной, если обход вершин в порядке нумерации происходит против часовой стрелки, и отрицательной – в противоположном случае.

Формула площади треугольника может быть записана в виде

2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

2.1. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости xoy получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z=0.

Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением

Ax+By+C=0.

Если А=0 (В=0), то прямая параллельна оси ox (оси oy). Если С=0, то прямая проходит через начало координат.

Если прямая проходит через точку (x0,y0) перпендикулярно вектору n = {A, B}, ее уравнение принимает вид: A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .

2.2. Каноническое уравнение прямой

Если прямая проходит через точку (x0,y0) параллельно направляющему вектору a ={l,m}, то из канонических и параметрических уравнений прямой в

пространстве при z=0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде:

где t - параметр, t (−∞,∞) .

7

2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

Пусть прямая составляет угол α с осью ох. Угловым коэффициентом прямой k называется число k =tgα.

Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и угловым коэффициентом k или двумя точками М1(x1,y1) и М2(x2,y2).

Пусть прямая пересекает ось oy в точке P(0,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

y − y1 = y2 − y1 (x − x1) . x2 − x1

,Отсюда

y2 − y1 =tgα = k . x2 − x1

Таким образом y − y1 = k(x − x1).

Уравнение полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффициентом k, если b=y1 - k x1.

2.5. Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду уравнения прямой “в отрезках”: ax + by =1.

Прямая в отрезках пересекает ось ox в точке А(а,0) и ось oy в точке В(0,b).

8

2.6. Нормальное уравнение прямой

Знак числа µ должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются

направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью ox равен α и угол между прямой и осью oy равен β, то cos2 α + cos2 β =1.

2.7. Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ , d=|δ |, где

δ = x0 cosα + y0 sin α − p = ± Ax0 +2By0 +2 C .

A + B

По этой формуле δ положительно, если точка М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае δ отрицательно.

2.8. Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то координаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решение системы уравнений

A1x + B1 y +C1 = 0,A2 x + B2 y +C2 = 0

9

Если прямые заданы общими уравнениями А1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то угловые коэффициенты прямых равны

Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 перпендикулярны друг другу, если ϕ= π2 .

Следовательно, tgϕ→∞, то есть k1k2 = -1. Отсюда k1 = − 1 . k2

Если прямые заданы общими уравнениями:

А1В1-А2В1=0, A1 = A2 - условие параллельности,

B1 B2

А1А2+В1В2=0 - условие перпендикулярности прямых.

2.11. Уравнение пучка прямых

Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку M(x0,y0), называется пучком прямых с центром М.

Пусть A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М; α и β - произвольные числа, одновременно не равные нулю, тогда

α (A1x+B1y+C1)+β(A2x+B2y+C2)=0 - уравнение прямой, проходящей через точку М.

10