Экономико-математические методы (Абчук)

300Часть II. Решения задач

231.Таблица для выбора решения в условиях риска на этот раз будет выглядеть так:

Следует принять то из решений, где материальные потери меньше - "с предохранителем".

232. Составим таблицу для выбора решения.

Решение изменилось на противоположное полученному при равных шансах: хотя предохранитель дешевле половины стоимос­ ти ремонта, он тут невыгоден.

233. Обозначим годовой доход Д, годовой страховой взнос Вс. Тогда по условию задачи можно написать:

Д = В с - 1 0 0 - 100 • 5 • 106 • 5 • Ю-4,

откуда

Д+100.5.10*.5.10-< =

100 •

234. Обозначая прибыль ПР, выплаты страховых премий в год BCT, а затраты на организацию страховой деятельности Зед, по условию задачи можно написать:

ПР = Д - В - 3 = 1 млн - 250 тыс. - 250 тыс. = 0,5 млн руб.

235. В соответствии с теорией статистических решений об­ щий результат Энди равен:

0,5 • 50 + 0,5 • (-10) = 20 долларов.

Поскольку этот результат положителен, решение Энди дол­ жно быть таким: "вперед, за должником".

236. Казалось бы, шансы В.П. на победу равны нулю - ведь он в абсолютном меньшинстве. Но у него, оказывается, все же есть некоторый повод для размышлений. Ведь он может рис­ кнуть прорваться через перевал, обеспечив себе перевес на од­ ном из проходов.

Великий Полководец начинает с того, что анализирует сло­ жившуюся ситуацию. Для этого он оценивает возможные резуль­ таты сражения при всех вариантах соотношения сил на перевале. Проследим ход рассуждений Великого Полководца. Он мыслил при­ мерно так.

У З.П. есть всего три хода - варианта распределения своих четырех дивизий на защиту двух проходов: 4 и 0, 3 и 1,2 и 2 диви­ зии соответственно на первый и второй проход.

В.П. имеет всего два варианта. Он может распределить свои три дивизии так: 3 и 0 или 2 и 1. Причем поскольку он может переставить дивизии по перевалам местами (0 и 3 или 1 и 2), то количество вариантов у В.П. удваивается.

Итак, всего можно ожидать 12 вариантов взаимного рас­ положения сил В.П. и З.П. по проходам. Все они показаны на на­ шем рисунке, каждый в своей клетке (см. текст задачи).

Так как В.П. заранее не знает, какой вариант распределения сил избрал З.П., то он должен произвести расчеты ожидаемых ре­ зультатов сражения для каждого из возможных вариантов.

Так, если при варианте З.П. 4 - 0 дивизий В.П. применит свой вариант 3 - 0, то в результате сражения на первом проходе 3 или 0 дивизий В.П. столкнутся с четырьмя дивизиями З.П. На вто­ ром проходе 0 либо 3 дивизии В.П, встретятся с 0 дивизий З.П.

302Часть II. Решения задач

Всоответствующих проходах проставим числа, харак­ теризующие результат сражения: три дивизии В.П. против че­ тырех дивизий З.П. несут поражение; это означает, что один проход остается за З.П. На проходе, где встречаются три диви­ зии В.П. и четыре дивизии З.П., поставим цифру 1. Если три дивизии В.П. встречаются на втором проходе с 0 дивизий З.П., то это значит, что З.П. теряет один проход, значит,ставится циф­ ра - 1. Если 0 дивизий В.П. сходятся с 0 дивизий З.П., то ре­ зультат сражения ничейный и в соответствующем проходе по­ является цифра 0.

Найдем далее средний результат - среднее число со­ храненных проходов по варианту распределения сил В.П. 3 - 0 и варианту З.П. 4 - 0 . Оно равно отношению суммарного результата

кчислу проходов:

1 + 1-1 + 0_ 1

2 ~~ 2*

Этот результат покажем на пересечении соответствующих вариантов (ходов) В.П. и З.П. Он означает, что если В.П. рискнет распределить силы по проходам в соотношении 3 и 0, а З.П. будет распределять силы в соотношении 4 и 0, то Заурядному Полковод­ цу в среднем удастся отстоять лишь Чг прохода. Если бы З.П. поме­ нял силы первого и второго проходов, то это на среднем результате не отразилось бы, так как В.П. эти варианты учитывает (поменя­ лась бы лишь нумерация проходов).

Рассмотрим далее, как будет обстоять дело при других хо­ дах - вариантах распределения сил В.П. и З.П., и внесем получен­ ные результаты в соответствующие клетки.

Средние значения результатов сражений при всех вариантах соотношения сил на перевалах удобно для наглядности предста­ вить в виде отдельной таблицы.

Оценивая полученные средние результаты по всем вари­ антам, можно заметить, что наилучший из них для Великого Пол-

ководца получается тогда, когда он распределяет силы в соотноше­ нии 2 и 1, а у Заурядного Полководца при этом соотношение 4 и 0. Либо у В.П. 3 и 0, а у З.П. 2 и 2. В этих случаях среднее число проходов, сохраненных З.П., равно 0, т.е. Заурядный Полководец терпит полное Поражение и теряет перевал.

Однако вариант В.П. 2 - 1 при ближайшем рассмотрении оказывается для него неприемлемым. Действительно, этот вари­ ант хорош лишь при варианте З.П. 4 - 0. Но стоит Заурядному Пол­ ководцу случайно принять свой вариант 2 - 2, как сразу же оборо­ на его становится наилучшей из всех возможных - среднее число сохраненных проходов равно единице, т.е. максимуму.

Поэтому Великому Полководцу целесообразно остано­ виться на своем варианте 3 - 0. При этом ему в любом случае гарантируется средний результат, не худший чем Чу Появилась так называемая седловая точка. А поскольку противник у Вели­ кого Полководца заурядный и не владеет теорией игр, то не ис­ ключено, что он примет самое заурядное решение - без всякого риска разделит силы в соотношении 2 и 2 - и будет разбит наго­ лову.

Так обдуманный риск слабого приносит ему победу над сильным.

304Часть II. Решения задач

237.Задача решается методами теории статистических ре­ шений с использованием принципа "рассчитывай на худшее".

Условия задачи сводятся в следующую таблицу:

Выражая результаты в очках, вы вынуждены пользоваться произвольными числами. Это, однако, не должно вас смущать: важ­ но, чтобы они не противоречили жизненному опыту. Так, отсутствие подарка в день рождения не менее чем в 10 раз хуже противопо­ ложной ситуации (в этом нетрудно убедиться экспериментально).

Вначале для каждого из решений находится худший резуль­ тат, который выписывается вправо от таблицы. Затем из худших ре­ зультатов выбирается лучший и соответствующее ему решение - "с цветами".

238. Ранги по каждой альтернативе складываются. Так, по альтернативе aj это будет 4 + 3 + 1 = 8, по альтернативе а2 - 3 + 2 + 2 = 7, по альтернативе а3 - 1 + 1 + 4 = 6, по альтернативе

а4 - 2 + 4 + 3 = 9.

Групповое решение соответствует той альтернативе, у кото­ рой сумма рангов оказывается наименьшей. (Напомним, что чем ниже ранг, тем больше предпочтение.) В данном примере это аль­ тернатива а3.

239. Для того чтобы минимизировать имеющиеся откло­ нения решений членов группы от группового решения, строит­ ся матрица расхождения исходов решения (табл. Р.5.1). При этом вначале делаются предположения о выборе группой той или иной альтернативы, а затем оцениваются расхождения между этим групповым и индивидуальными решениями. Так, если группо­ вое решение соответствует альтернативе а, (оценка 3 балла), то расхождение между мнением коллектива и индивидуальным выбором 1-го лица равно единице, если же группа остановилась

на варианте а2 (3 балла), то расхождение между ней и 1-м лицом составит 2 балла, и т.д.

Таблица Р. 5.1

Матрица расхождений индивидуальных и групповых решений

Наименьшее отклонение 1

Далее в строчках для каждой альтернативы находится мак­ симальное расхождение, а затем из этих максимальных расхожде­ ний - наименьшее, в данном случае 1 балл. Этому расхождению соответствует альтернатива а3, которая и признается лучшим ре­ шением.

При такой стратегии выбора можно утверждать, что в слу­ чае принятия группой решения а3 для любого лица расхождение его решения с решением группы остается минимальным и не пре­ вышающим 1 балла.

240. Поскольку 1-е лицо оценивает выше полезность перво­ го варианта, а 2-е лицо - второго, при принятии группового реше­ ния прийти к общему мнению невозможно. В этом случае теория решений обычно предлагает основываться на средних величинах: средних вероятностях исходов и средних полезностях (табл. Р.5.2). Теперь видно, что группа должна избрать вариант аг

306Часть II. Решения задач

241.Единодушное решение обоих - лучший вариант а2. Но вот что показывает матрица средней полезности для группы (табл. Р.5.3): лучшим групповым решением оказывается вариант аг

Таблица Р. 5.3

Матрица средней полезности для группы

Этот парадокс, впрочем, не должен нас особенно удивлять. В жизни тоже иногда интересы отдельных личностей вступают в противоречие с интересами коллектива. И если речь идет о полез­ ности риска для группы, то и решение должно приниматься в соот­ ветствии с коллективной необходимостью.

242.По правилам теории статистических решений эффективность (полезность) результата при первом решении находится как 100 • 0,1 + (-5) • 0,9 = 5,5 единицы, а при втором решении как (-95) 0,1 + 5 • 0,9 = -5 единиц.

Принимается первое решение как обеспечивающее наиболь­ ший результат.

243.Расчет риска (R) производится по следующей эмпири­ ческой формуле:

рой инвестиции R2 = 3,12 • 0,3 + lg2 = 1,26. Следовательно, вторая инвестиция менее рискованна.

308 Часть II. Решения задач

сваивается нулевой номер, завершающему событию - последний номер. Остальные события нумеруются так, чтобы номер преды­ дущего события был меньше номера последующего.

Работа кодируется индексом, содержащим номера событий, между которыми она заключена. Совершение события зависит от окончания самой длительной из всех входящих в него работ. Пос­ ледовательные работы и события формируют пути (цепочки), ко­ торые ведут от исходного к завершающему событию.

Рис. Р. 14

Сетевой график дает возможность оценить количество и ка­ чество мероприятий планируемой производственной задачи. Он позволяет установить, от каких из них и в какой степени зависит достижение конечной цели действий. Так, ранг события показы­ вает, какое количество работ необходимо выполнить, чтобы дан-

ное событие состоялось. Сетевой график также показывает, какое мероприятие следует выполнять в первую очередь, какие можно выполнять параллельно. Так, в нашем примере видно, что ни одна последующая работа не может выполняться раньше, чем закончат­ ся все предшествующие. Видно также, что работы А25 и А23 могут выполняться параллельно.

После построения сетевого графика производится его ана­ лиз. Для этого строится так называемый критический путь. Это полный путь, на котором суммарная продолжительность работ яв­ ляется максимальной. Иными словами, это самый длинный по вре­ мени путь в сетевом графике от исходного до завершающего собы­ тия. Критический путь лимитирует выполнение задачи в целом, поэтому любая задержка на работах критического пути увеличивает время всего процесса. На рис. Р. 14 критический путь обозначен жирной линией.

Сущность анализа сетевого графика заключается в том, что выявляются резервы времени работ, лежащих вне критического пути, и направляются на работы, лежащие на критическом пути, который лимитирует срок завершения работы в целом. В нашем примере продолжительность работ, лежащих на критическом пу­ ти, равна 4 + 8+ 12+ 8 + 4 + 8 + 4 = 48 ч. Это и есть общее время решения всей производственной задачи.

На рисунке видно, что в подразделениях № 1 и № 2 появля­ ются отрезки времени, на которых эти подразделения остаются без работы (волнистые линии). В этих случаях целесообразно снять отсюда часть трудовых и технических ресурсов и передать их тому подразделению, работа которого в это время лежит на критичес­ ком пути и лимитирует тем самым конечный результат. Так, напри­ мер, после того как подразделение № 2 в момент, соответствую­ щий восьмому часу работы, выполнит I этап, ему целесообразно передать часть своих ресурсов подразделению № 1 с расчетом, что­ бы к событию а3 подразделения № 1 и № 2 подошли одновремен­ но. Для этого нужно передать из подразделения № 2 в подразделение № 1 ровно столько ресурсов, чтобы сократить сумму работ А12 и