Экономико-математические методы (Абчук)
.pdf120 |
Часть I. Глава 3 |
тельно, 100 карпов составляют 4 % от всего количества рыбы в пруду; значит, 100 % составит
1 0 0 . 1 ^ = 2500рыб.
4%
По формулам, аналогичным (3.85), производится расчет так называемой "геометрической" вероятности, которая исходит из гео метрических представлений о симметрии и пропорциональности.
Пример 3.14
На территории предприятия произошла авария водопрово да. Общая длина водопровода L = 150 м. В том числе 50 м трубы (/) приходятся на труднодоступные места.
Какова вероятность того, что ремонт придется производить именно на труднодоступном участке?
Решение
P = l = ii |
= 0,33. |
L 150 |
|
Подобные расчеты геометрической вероятности можно производить лишь в случае равномерного распределения благоприятных шансов среди всех возможных.
Основные свойства вероятностей можно сформулировать следующим образом:
1. Вероятность случайного события есть число положи тельное:
Р>0.
2.Достоверное событие имеет вероятность, равную 1:
Р, =1.
(и)
3. Невозможное событие имеет вероятность, равную 0:
P«v, = °-
4. Вероятность появления случайного события находится в пределах между 0 и 1:
0<Р(А)<1.
Методы исследования операций в экономике |
121 |
Основные теоремы теории вероятностей
В основе любого расчета вероятности лежат опытные дан ные или соображения, основанные на симметричности (монета), однако такое непосредственное определение вероятности весьма ограничено, так как на практике приходится иметь дело не с про стыми, а с весьма сложными событиями.
Поэтому основное содержание теории вероятностей сводит ся к разработке методов и приемов расчета вероятности сложных событий на основе известных (элементарных) вероятностей.
Для этого и предназначены основные теоремы теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий)
Если А и В - два несовместные события, то вероятность того, что произойдет одно из них (безразлично какое), равна сумме их вероятностей:
РАИЛ„В = Р(А> + р(в) (теорема "или-или"). |
(3.86) |
Несовместные события - это события, при которых появле ние одного исключает другое. Например, положительный или от рицательный исход данной экономической операции.
Совместные события - это такие события, которые не ис ключают одно другое. Например, положительный исход операции и при этом малые фактические издержки.
П р и м е р 3.15
Вероятность того, что приобретенный товар произведен в Италии, Ри = 0,4, а того, что он произведен в Турции, Рт = 0,3.
Какова вероятность того, что товар произведен в одной из этих стран: или в Италии, или в Турции (РИшшТ)?
Решение
Применим теорему сложения вероятностей:
Ри |
=РИ + РТ = 0,4 + 0,3 = 0,7. |
||
ИилиТ |
И Т ' |
' |
> |
Следствие 1. Сумма вероятностей несовместных и единствен но возможных событий равна единице. Единственно возможные со-
122 |
Часть I. Глава 3 |
бытия - когда в результате испытания неизбежно происходит хотя бы одно из них. Они образуют полную группу событий.
Следствие 2. Вероятность противоположного события Р(д) равна 1 минус вероятность самого этого события:
PW = 1-P(A). |
(3.87) |
Противоположные события - два несовместных и единствен но возможных события.
П р и м е р 3.16
В денежно-вещевой лотерее на серию в 10 000 билетов при ходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей.
Найти вероятности:
1)получить денежный выигрыш (Рден),
2)получить вещевой выигрыш (Рвещ),
3)получить выигрыш вообще ( Р ^ ^ Х
4) ничего не выиграть (Р |
). |
||
7 |
г |
\ ничего' |
|
Решение |
|
|
|
Р |
е н = -220_ |
= 0,012. |
|
ден |
10000 |
|
|
РВ е |
Щ =—— = 0,008. |
||
|
ещ |
10000 |
|
Рвообще = 0,012+ 0,008 = 0,02. |
|||
РЩС |
|
= 1 - 0 , 0 2 = 0,98. |
|
ничего |
' |
' |
|
Теорема умножения |
вероятностей |
||
Если А и В - два совместные независимые события, то вероятность того, что произойдут оба эти события, равна произве дению их вероятностей (теорема "и-и"):
Р(лив, = Р(л,-р(в,- |
(3-88) |
Независимые события - это такие события, при которых ве роятность одного из них не меняется от того, произошло другое или нет. Если вероятность в этом случае меняется, то события называются зависимыми. Например, вероятность своевременного получения гру за и вероятность того, что упаковка груза не будет повреждена.
Методы |
исследования операций в экономике |
123 |
П р и м е р |
3.17 |
|
Вероятность своевременного получения груза Рот = 0,8, а веро ятность того, что упаковка груза не будет повреждена, Р = 0,7.
Какова вероятность того, что груз будет получен своевре менно в неповрежденной упаковке (Рсн)?
Решение
Р =Р |
Р |
= 0,8 • 0,7 = 0,56. |
||
сн |
сп ун |
' |
' |
' |
Теорема умножения вероятностей распространяется и на число событий больше двух.
Если вероятности простых событий (сомножители) одина ковы, то вместо умножения достаточно возвести эти вероятности в соответствующую степень:
|
|
(А и A) |
(A) |
(A) |
(A) |
v |
' |
|
На практике часто приходится иметь дело с зависимыми собы |
||||||
тиями. В этом случае вероятность рассчитывается по формуле: |
(3 90) |
||||||
|
р |
= Р |
• Р |
= Р |
• Р |
|
|
где Р |
Г ( А и В ) Л (А) |
(В/А) |
(А/В) Г (В)9 |
\J.7V) |
|||
- условная вероятность события В, если предположить, |
|||||||
что событие А произошло. |
|
|
|
|
|
||
|
П р и м е р |
3.18 |
|
|
|
|
|
Вероятность летной погоды Рл = 0,9, а вероятность того, что при условии летной погоды груз будет доставлен своевре менно, Р . = 0,8.
'с/л '
Какова вероятность того, что груз будет доставлен своевре менно (Рс)?
Решение
Р = Р • Р . = 0,9 • 0,8 = 0,72.
с |
л |
с/л |
' |
' |
' |
Теорема сложения вероятностей (для совместных событий)
Для совместных событий теорема сложения вероятностей применяется следующим образом:
Р(А1ИИв, = Р(л, + Р«в,(1-Р(л,) |
(3-91) |
|
или, что то же самое, |
|
(3 92) |
Р |
= Р + Р - Р • Р |
|
Г (А или В) |
Г (А) |
Г (В) |
Г(А) |
Г(В)' |
\jy^) |
124 |
Часть I. Глава 3 |
П р и м е р |
3.19 |
Ваш автомобиль снабжен двумя противоугонными приспособ лениями: механическим и электрическим. Механическое имеет веро ятность срабатывать 0,9 (это означает, что из 10 раз оно срабатывает в среднем 9), а у электрического вероятность срабатывания равна 0,8.
Какова вероятность того, что ваш автомобиль не угонят?
Решение
Обозначая вероятность срабатывания механического проти воугонного приспособления через Рм, а электрического - Рэ, по
формуле для совместных событий получим:
рМш„э = рм + р э (1 - рм) = °>9 + °>8 О - 0,9) = 0,98, или 98 %.
Формула полной вероятности
На практике, как правило, приходится иметь дело с несколь кими вариантами события, каждый из которых имеет свою ве роятность. В этом случае применяется так называемая полная ве роятность события. Она рассчитывается по формуле:
п |
|
Р(А)=ХР<Н;>,Р(А/Н;)> |
(3.93) |
1=1 |
|
где Р1Н.} - вероятности варианта или вероятности гипотез; Р(А/н,) ~ вероятности события по данной гипотезе (варианту).
П р и м е р 3.20
Две экономические операции, проводимые предпринимате лем одновременно для достижения одной общей цели, имеют ве роятности успеха, равные:
Р.-ОА
Р2 = 0,4.
Необходимо рассчитать вероятность достижения цели пред принимателем (Рц).
Решение
Вначале найдем вероятности возможных вариантов требуе мого события (вероятности гипотез Р^))-
|
Методы исследования операций в экономике |
125 |
|
1 |
- ни одна операция не принесла успеха (1-0,8) • (1-0,4) = 0,12; |
||
2 |
- обе прошли успешно |
0,8 • 0,4 = 0,32; |
|
3 |
- первая - успешно, вторая - нет |
0,8 • 0,6 = 0,48; |
|
4 |
- первая - безуспешно, вторая - успешно |
0,2 - 0,4 = 0,08. |
|
|
|
Сумма: |
1,00. |
Далее найдем вероятности успеха при каждом варианте ( P(A/Hi >):
1 -0 |
неуспех, |
2 - 1 |
успех, |
3 - 1 |
успех, |
4 - 1 |
успех. |
По формуле полной вероятности:
п
Pu = ZP (HI )P (AmI )=W20 + 0,321+0,48-1+0,081 = 0,88.
С помощью формулы полной вероятности рассчитывается важная формула Бейеса. Иногда ее формулировку называют теоре мой гипотез.
Формула Бейеса (теорема гипотез)
Вероятность события по данной гипотезе равна вероятнос ти гипотезы до опыта, умноженной на вероятность события по этой гипотезе, деленную на полную вероятность, рассчитанную после опыта:
Р |
_ |
Р |
|
Р |
|
1(ПХ) |
\ |
А(А/Н.) |
|
||
Г (Н,/А) |
~ |
1 Ш |
LfA |
|
|
п |
|
-Р |
(3-94) |
||
|
|
У Р |
|
i=l
П р и м е р 3.21
В условиях предыдущего примера, после установления факта успеха, необходимо определить, каковы вероятности того, что ус пех был получен в результате первой либо в результате второй опе рации.
Решение
По формуле Бейеса вероятность того, что успех был достиг нут в результате первой операции:
126 Часть I. Глава 3
Р |
s |
|
2d!J |
=М£=086 |
<Н,/А) |
|
012 |
.о+0,32-0+0,481 + 0,081 |
0,56 ' |
А в результате второй: |
|
|||
0,08-1 Р(нг/А)=-Ьт- = 0,14.
0,56 Следовательно, вероятность при тех гипотезах, которые соот
ветствовали более высокой вероятности, увеличивается, а при тех, которые соответствовали меньшей вероятности, - уменьшается.
Вероятности появления событий при повторении опытов
На практике опыты часто повторяются в одинаковых усло виях. В таких задачах надо уметь заранее определить вероятность любого возможного сочетания событий.
Пример 3.22
В определенной ситуации вероятность выигрыша на бир же в течение дня р = 0,3 (вероятность проигрыша соответствен но q = 1 - 0,3 = 0,7).
Какие варианты событий возможны при биржевой игре в той
же ситуации в течение двух дней (п = 2)? |
|
|
|
Решение |
|
|
Возможные варианты событий: |
|
|
1 - оба дня выигрыш |
0,3 • 0,3; |
|
2 - первый день выигрыш, второй - проигрыш |
0,3 • 0,7; |
|
3 - первый день проигрыш, второй - выигрыш |
0,7 • 0,3; |
|
4 - оба дня проигрыш |
0,7 • 0,7. |
|
Вероятность полной группы событий будет при этом равна: |
|
|
0,3 • 0,3 + 0,3 • 0,7 + 0,7 • 0,3 + 0,7 • 0,7 = 1, |
|
или |
р2 + 2pq + q2 = (p + q)2 = 1. |
|
|
Это формула бинома Ньютона. По ней можно находить все |
|
возможные сочетания событий при повторении опытов: |
||
|
п |
(3.95) |
|
(P +q)"=ZPm.n' |
|
где |
m=0 |
(3.96) |
P ^ W q " " " . - |
||
|
С m - сочетание из п по m (см. § 4 гл. 2). |
|
Методы исследования операций в экономике |
127 |
с:= п! .
m!(n-m)!
Под сочетанием понимается число возможных комбинаций событий без учета их последовательности.
Например:
С2_ |
3! |
^ 3 - 2 4 |
6 3 |
3 |
2!(3-2)! |
2-1(1) |
2 |
П р и м е р 3.23
Что более вероятно:
1) то, что первый попавшийся вам на глаза по приезде в Москву человек окажется единственным проживающим в этом го роде вашим знакомым;
2) отгадать в лотерее 6 номеров из 49? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)
Решение
1) Вероятность того, что первый попавшийся вам по приез де в Москву человек - ваш единственный знакомый в этом городе, равна:
1 |
1 |
население Москвы |
8,4 млн |
2) Вероятность отгадать в лотерее 6 номеров из 49 по фор
мулам теории вероятности равна: ——, где С649 - сочетание из 49 элементов по 6.
*49!
С* = |
— |
= 13,9 млн. |
|
49 |
61(49-6)1 |
|
|
Следовательно, вероятность отгадки равна |
млн, т.е. |
||
примерно в полтора раза меньше.
Вероятность появления события хотя бы один раз
Рп ^ ^ - ^ и л и
Р, = 1 - ( 1 - р ) п .
v
m £ l "'
128 |
Часть I. Глава 3 |
П р и м е р |
3.24 |
р = 0,2; п = 2.
Решение
Р = 1 -(1 -0,2)2= 1 -0,82= 1 -0,64 = 0,36.
В случае, если вероятности событий меняются от испыта ния к испытанию:
Р И „ = 1 - < 1 - Р , ) 0 - Р , ) ~
Для практических расчетов пользуются приближенной формулой. Из
|
1-0-Р)", |
(3.97) |
|
|
(1-р)" = (1-Р) |
«е |
|
так как |
lim(l+a)a |
*е, |
(3.98) |
т.е. при условии малых a (e = 2,718 282 - основание натурального
логарифма). |
|
|
|
|
|
Итак, |
|
Р т > 1 * \ - е - » > . |
(3.99) |
||
|
|
||||
Если разложить е'щ в ряд, то |
|
|
|||
е |
-по |
, (-пр)1 |
(~пр)2 |
(-пр)3 |
|
р |
«1+-——+-—^-+-—— и т.д. |
|
|||
|
|
1! |
2! |
3! |
|
В практических задачах для грубой прикидки достаточно |
|||||
ограничиться первыми двумя членами: |
|
|
|||
|
|
е~*р« 1 - пр; |
|
|
|
|
|
РВ|Я*1-(1-пр) = пр. |
(3.100) |
||
П р и м е р |
3.25 |
|
|
|
|
В партии из девяти изделий два бракованных.
Какова вероятность того, что при случайной выборке из че тырех изделий окажутся с браком: 1) одно; 2) два; 3) не менее од ного (хотя бы одно)?
|
Методы исследования операций в экономике |
|
129 |
|
||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам теории вероятностей и комбинаторики: |
|
|
|||||
|
|
|
1) Р, =1С -С |
|
|
|
|
|
|
|
|
С4 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2' |
С7 = |
7! |
, |
где С\ - сочетание из двух элементов по 1 -му: С2 |
= —-, |
|
||||||
9 |
4! 5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя значения сочетаний в формулу вероятности, по |
|
||||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Р,= 70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"126' |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Р2: |
_ 21 |
|
|
|
|
|
|
~ 126 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ с;с; |
3) |
Р*. = 1 - р „ , |
|
|
|
|
|
|
35 |
35 |
91 |
|
|
|
|
|
П " ' ' - « - 1 5 - Р - - 1 - 1 2 6 |
126- • |
|
|
|
|
|||
|
Из (3.97) следует важная для практики формула: |
|
|
|
||||
|
|
|
igO-P-*.) |
|
|
|
|
|
|
П р им ер |
п = -l ^ T |
|
(3101) |
|
|||
|
3.26 |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность получить высокую прибыль в некоторой ком мерческой организации равна 30 % (из опыта).
Сколько нужно провести таких операций, чтобы получить эту прибыль с вероятностью 90 %?
Решение
По формуле (3.101) необходимое количество операций (п)
будет равно: |
|
|
|
|
|
|
|
lg (1-0,9) |
lg0,l |
1,0 |
|
-1,0 |
, |
операции. |
|
n = - ^ |
!_£- = - £ — = —i— = |
|
= 6 |
||||
lg(l-0,3) |
lg0,7 |
1,8451 |
-0,1549 |
|
|
||