Экономико-математические методы (Абчук)

Сочетания из п элементов п о т - это такие соединения, ко­ торые можно образовать из этих п элементов, собирая в каждое m элементов; при этом соединения должны отличаться друг от друга только самими элементами (порядок расположения элементов зна­ чения не имеет).

Число всех возможных сочетаний из п элементов по m (С™ ) рассчитывается по формуле:

Д Ш

Стало известно, что на малом предприятии с численностью работающих 24 человека четверо являются бандой преступников.

Сколько таких возможных четверок необходимо проверить правоохранительным органам?

Решение

По формуле комбинаторики:

2441(24-4)!

§5. Функции и графики

Решение многих экономических задач строится на рассмот­ рении зависимостей экономических величин от различных факто­ ров. Зависимую величину называют функцией, а ту, от которой она зависит, - аргументом.

Например, можно сказать, что прибыль является функцией от дохода или что цена товара есть функция от затрат на его произ­ водство.

Функции обычно характеризуются математическими за­ висимостями, которые удобно представить в виде наглядных гра­ фиков.

Рассмотрим спрос на мороженое в ларьке за один день.

Необходимо построить график спроса.

Решение

По данным табл. 2.2 построим график спроса (рис 2.2). Гра­ фик представляет собой кривую обратно пропорциональной зависи­ мости, что соответствует закону спроса. (По традиции аргументы здесь откладываются по оси Y, а функции - по оси X.)

О 10 20 30 40 50 60 Количество, шт.

Рис. 2.2. График спроса

Когда говорят об изменении спроса на товар, имеют в виду смещение в ту или иную сторону всей кривой (или новые значения цен, соответствующие количеству продаваемого товара).

П р и м е р 2.26

Предприниматель приобрел дорогостоящую нить, свернутую в клубок в форме шара, диаметром 0,6 м. Толщина нити 0,2 мм. Было решено для продажи перемотать нить на катушки, вмещающие 100 м.

Сколько потребуется таких катушек? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)

Решение

Прежде всего найдем высоту прилегающего к шару цилинд­ ра, равного шару по объему.

Объем шара равен 4/37CR3, где R - радиус шара.

Объем прилегающего цилиндра, имеющего высоту, равную диаметру шара (т.н. описанный цилиндр), равен 27iR3.

з = 2

2яЫ3 3' Следовательно, для того чтобы прилегающий к шару цилиндр

имел объем, равный объему шара, высота цилиндра должна состав­ лять 2/3 от диаметра шара, т.е. 2/3 • 0,6 = 0,4 м.

Теперь задача сводится к нахождению суммарной длины того количества отрезков нити длиной по 0,4 м, которые укладываются в цилиндр с диаметром основания 0,6 м (как в пачке вермишели).

Площадь основания цилиндра равна 7iR2 = п (0,3 м)2. Площадь сечения нити п (0,1 мм)2.

Количество отрезков нити, укладывающихся в наш цилиндр,

Длина нити равна суммарной длине этих отрезков, т.е. 9 • 106 • 0,4 м = 3 600 000 м, или 3600 км.

Количество катушек, необходимое, чтобы смотать эту нить,

равно:

* ™ ^ = 36000. 100м

§ 7. Логические задачи и задачи на смекалку

Решение весьма многих и трудных экономических задач, помимо математики, требует использовать логику и невозможно без привлечения смекалки.

П р и м е р 2,27

Вам предстоит заключить сделку с некой компанией, при­ чем по отношению к вам сделка в равной степени может быть как честной, так и нечестной. Переговоры с вами ведет предста­ витель компании, намерения которой ему известны. При этом сам он может оказаться как правдивым человеком, так и лже-

цом. Честна ли готовящаяся сделка и правдив ли данный пред­ ставитель компании - неизвестно.

Какой единственный вопрос достаточно задать представи­ телю компании, чтобы по ответу безошибочно судить о его честно­ сти (на вопросы он может отвечать лишь "да" или "нет")?

Решение

Это вопрос: "Соответствует ли Ваша правдивость честнос­ ти компании?" Правдивый представитель при честной сделке на этот вопрос ответит "да", а при нечестной - "нет"; лживый же бу­ дет отвечать противоположно истине: если честность сделки и прав­ дивость представителя не совпадают, он вместо "нет" ответит "да", и наоборот. Возможные ситуации и соответствующие ответы све­ дены в следующую таблицу:

Из таблицы видно, что каким бы ни был представитель ком­ пании, положительный ответ всегда говорит о честности сделки, а отрицательный - о ее нечестности.

П р и м е р 2.28

Вам предлагают выбрать квартиру в строящемся доме на третьем либо на шестом этаже. При сравнении качества квар­ тир возникает вопрос: во сколько раз путь по лестнице на шес­ той этаж длиннее, чем на третий (число ступенек между этажа­ ми одинаково)?

Решение

До 3-го этажа 2 пролета лестниц, до 6-го - 5. Следователь­ но, 5/2 = 2,5, т. е. в два с половиной раза.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ

§ 1. Методы оптимизации: линейное, нелинейное и динамическое программирование (планирование)

Успешность решения подавляющего большинства экономи­ ческих задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. В процессе экономической деятельности приходится распределять такие важные ресурсы, как деньги, това­ ры, сырье, оборудование, рабочую силу и др. И от того, как будут распределяться эти, как правило? ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности, бизнеса.

Суть методов оптимизации заключается в том, что исходя из наличия определенных ресурсов выбирается такой способ их использования (распределения), при котором обеспечивается мак­ симум (или минимум) интересующего нас показателя.

При этом учитываются определенные ограничения, налагае­ мые на использование ресурсов условиями экономической ситуации.

В качестве методов оптимизации в экономике находят при­ менение все основные разделы математического программирова­ ния (планирования): линейное, нелинейное и динамическое.

Линейное программирование (планирование)

Линейное программирование (планирование) - математиче­ ский метод отыскания максимума или минимума линейной функ­ ции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. (Линейное здесь означает, что на графике функции изоб-

ражаются в виде прямых линий, обозначающих 1-е степени соот­ ветствующих величин.)

Максимизируемая (минимизируемая) функция представля­ ет собой принятый критерий эффективности решения задачи, соот­ ветствующий поставленной цели. Она носит название целевой фун­ кции.

Ограничения характеризуют имеющиеся возможности реше­ ния задачи.

Существо решения задач линейного программирования заключается в нахождении условий, обращающих целевую функ­ цию в минимум или максимум.

Решение, удовлетворяющее условиям задачи и соответствую­ щее намеченной цели, называется оптимальным планом.

Линейное программирование (планирование) служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных однород­ ных ресурсов в целях решения поставленной задачи.

В общем виде постановка задачи линейного программиро­ вания заключается в следующем.

Условия задачи представляются с помощью системы линей­ ных уравнений или неравенств, выражающих ограничения, нала­ гаемые на использование имеющихся ресурсов:

где x. - искомые величины, содержащие решение поставленной задачи; а. и Ь. - известные постоянные величины, характеризую­ щие условия задачи.

Целевая функция (линейная форма) задается в виде y = c1xI+c2x2+... + cjxj+...+cBxn|

где с - постоянные коэффициенты (коэффициенты стоимости).