Экономико-математические методы (Абчук)

чество соответствует 3/g всех сборщиков (головной сборщик - механик).

Сколько всего работников на конвейере? Сколько из них элек­ триков и механиков?

100.За аренду помещения фирма платит ежемесячно 6 тыс.

у.д.ед. плюс обусловленное количество изготавливаемой фирмой продукции стоимостью 800 у.д.ед. за единицу. При этом 1 м2 пло­ щади помещения обходится фирме в 50 у.д.ед. С удорожанием про­

дукции до 1,2 тыс. у.д.ед. за единицу арендуемая площадь стала обходиться фирме по 60 у.д.ед. за 1 м2.

1) Какое количество единиц продукции фирмы идет в упла­ ту аренды?

2)Каков размер арендуемого помещения?

101.Предприятия А и Б проводят операции по взаимной за­ купке производимых ими товаров, рассчитываясь друг с другом путем взаимозачетов. Разница в стоимости закупленных товаров после каждой операции компенсируется из специальных фондов, созданных на предприятиях для этой цели.

К началу первой операции суммы фондов предприятий были одинаковыми. В итоге первой операции предприятие Б отдало в фонд предприятия А 30 тыс. у.д.ед., а в итоге второй операции пред­ приятие А, с учетом этого приобретения, отдало 3/4 своего фонда, имеющегося к этому моменту, предприятию Б. В итоге двух опера­ ций у предприятия Б оказалось в фонде средств в 5 раз больше, чем в начальный момент.

Какими начальными фондами обладали предприятия?

102. Арендатор платит муниципалитету за аренду помещений для офисов 40 тыс. у.д.ед. Ему приходится также нести расходы на содержание этих помещений. Сдача офисов предпринимателем в су­ баренду приносит арендатору 120 тыс. у.д.ед. в месяц. Казалось бы, обеспечивается значительная прибыль. Расчет, однако, показывает, что арендатор остается в накладе: ежемесячные потери составляют поло­ вину стоимости аренды или треть стоимости месячного содержания.

Каковы ежемесячные потери арендатора?

103.Проверка постов круглосуточной охраны предприятия проводится в тот момент, когда он составляет сумму четверти вре­ мени, прошедшего от начала смены, и половину времени, остав­ шегося до конца смены. Смена постов охраны осуществляется в полночь.

Когда проводится проверка постов охраны предприятия?

104.Заседание правления фирмы было решено начать пос­ ле полудня, в тот момент, когда часовая и минутная стрелки часов указывают точно в противоположные направления. Первый и пос­ ледующие перерывы заседания решили делать, когда направления стрелок также строго противоположны.

1)Когда было начато заседание?

2)Через какое время устраивались перерывы?

105.Рассматривая возможности реорганизации предпри­ ятия, менеджер подсчитал, что если увеличить количество равнооплачиваемого персонала на 80 человек, то деньги, выделен­ ные на месячную зарплату (40 тыс. у.д.ед.), будут израсходова­ ны на 5 дней раньше, чем в настоящее время, а если сократить персонал на 100 работников, то зарплаты хватит на 10 дней боль­ ше, чем сейчас.

1)Какое количество персонала работает на предприятии в настоящее время?

2)Какова величина месячной (30-дневной) зарплаты персо­ нала в настоящее время?

106. Для работы в нормальном режиме предприятие распо­ лагает определенным штатом работников, каждому из которых положена некоторая месячная зарплата в пределах установленного фонда. В период сезонного спада загрузок предприятия 10 рабо­ чих увольняются, и возникает возможность увеличения заработка каждого из оставшихся на 3 тыс. у.д.ед. - в рамках того же фонда зарплаты.

В период роста загрузки предприятия, наоборот, приходит­ ся нанимать 50 работников и при этом снижать зарплату каждому работающему на 5 тыс. у.дед. - в пределах того же фонда.

1) Какова численность персонала и зарплата при работе в нормальном режиме?

2)Каким фондом зарплаты располагает предприятие?

3)Какова численность персонала и зарплата при работе в период спада и увеличения загрузки предприятия?

107.Предприниматель решил вложить 5 млн у.д.ед. в сопря­ женные с риском операции А и Б на следующих условиях:

вложение в операцию А больше, чем в операцию Б; при любом исходе операций вложения теряются;

вслучае успеха операции вложение увеличивается в число раз, равное величине вложения.

После успешного проведения обеих операций предприни­ матель увеличил свой первоначальный капитал в 4 раза.

Чему равны вложения в операции А и Б?

108. Сооружение А в три раза старше, чем сооружение Б; сооружение В в пять раз старше, чем А; сооружение Г - того же возраста, что и Б, но все вместе уступают на десять лет по возрасту сооружению Д, которому сегодня исполнилось 70 лет.

Каков возраст каждого сооружения?

109. Рыболовецкое предприятие рассчитывает приобрести путевки для поездки на престижные курорты Фингалия и Каркодайл, расплатившись за них с туристической фирмой своей про­ дукцией - банками с черной икрой. Однократная поездка на оба курорта суммарно оценивается в 90 банок икры. При этом 6 путе­ вок в Каркодайл стоят столько же, сколько 9 - в Фингалию.

Рыбаки, ведущие переговоры с турфирмой, отобрали неко­ торое количество путевок на оба курорта. Однако возникла труд­ ная проблема: не все банки с икрой, предназначенные для сделки, оказались реализованными. Возникло два варианта:

-например, можно сделать отобранные в Каркодайл путе­ вки парными (удвоив цену), тогда общее число путевок составит 23, но, к сожалению, и при этом не все банки будут реализованы;

-а вот если сделать парными только отобранные путевки в Фингалию, то общее количество путевок вырастет до 25 и консер-

вы не придется возвращать обратно. Этот вариант был признан приемлемым.

Сколько банок икры было выделено для оплаты путевок?

НО. Партия дубленок была куплена за 18 тыс. у.д.ед. В каче­ стве стимулирования покупки фирма-продавец бесплатно переда­ ла покупателю еще 6 дубленок. Покупателю сообщили, что с уче­ том стимулирования покупки теперь каждая дубленка стоит на 150 у.д.ед. дешевле первоначальной продажной цены.

Сколько дубленок было первоначально оплачено и по какой продажной цене?

111. Объем продаж составлял 200 единиц товара в месяц. После снижения цены объем продаж вырос за месяц на 100 еди­ ниц и доход составил 600 у.д.ед.

Какова была цена товара до и после снижения, если извест­ но, что спрос на товар растет обратно пропорционально сниже­ нию цены?

112. Торговое предприятие при объеме продаж 500 единиц товара в год получает доход в 4 тыс. у.д.ед. Повышение цены на товар привело к сокращению объема продаж на 20 %.

На сколько при этом уменьшился годовой доход, если при­ нять, что сокращение спроса на товар обратно пропорционально росту его цены?

ИЗ. С наступлением весны объем продаж определенного предмета одежды при его цене 6 у.д.ед. падает в два раза:

1) До какого уровня можно поднимать при этом цену на дан­ ную одежду, чтобы доход не менялся?

2) Каким при этом должен быть объем продаж до его падения? Будем считать, что падение объема продаж обратно пропор­

ционально росту цены товара.

114. Два компаньона, владеющие фирмой, отправились за рубеж, чтобы приобрести необходимое оборудование и другое иму­ щество для своего предприятия. Для этого они располагали опре-

деленной суммой, которую собирались потратить поровну. Факти­ чески суммы затрат каждого оказались различными. Компаньон А закупил станок и грузовую автомашину за 24 тыс. у.д.ед. Компань­ он Б закупил станок и легковую автомашину. Легковая автомашина обошлась во столько же, во сколько станок, купленный компаньо­ ном А, а грузовая автомашина на 2 тыс. у.д.ед. дороже станка, куп­ ленного компаньоном Б.

Компаньоны подсчитали, что равенство их затрат имело бы место, если бы деньги, фактически потраченные на автомашины, распределились бы так, что легковая автомашина обошлась бы в 3 раза дороже, чем грузовая.

1)Во сколько обошлась каждая покупка?

2)Сколько денег было потрачено каждым компаньоном?

115. В начале торговой операции торговец располагал 238 тыс. у.д.ед. и товаром на 100 тыс. у.д.ед. В процессе торговли он закупил товар еще на 820 тыс. у.д.ед. Всего было продано товара по стоимости, включающей торговую наценку, на 600 тыс. у.д.ед. Торговец должен заплатить определенный процент комиссионных (от стоимости проданного товара) своему агенту по продаже. Из­ вестно, что к концу продажи остался нераспроданный товар на сум­ му 504 тыс. у.д.ед. (по цене, установленной продавцом).

1)Какова была величина торговой наценки?

2)Какую прибыль получил торговец?

3)Какой процент от стоимости проданного товара получил агент по продаже?

116.Фирма приобрела на 30 тыс. у.д.ед. 30 предметов для оборудования своего офиса: некоторое количество компьютеров по 9,5 тыс. за компьютер, радиотелефонов по 500 у.д.ед. за аппарат, офисных столов по 250 у.д.ед. за стол.

Какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено?

117.Семья, состоящая из родителей и детей, собирается при­ обрести загородный дом с участком земли. Как родители, так и дети располагают для этой цели некоторыми суммами. Дети предложи-

ли родителям, чтобы те отдали им4/5 своей суммы: если их приба­ вить к "детским" деньгам, можно будет купить дом стоимостью 600 тыс. у.д.ед., а на оставшиеся у родителей деньги приобрести участок земли. В свою очередь родители предложили детям свой вариант: к "родительским" деньгам прибавить 76 денег детей, а на оставшиеся у детей средства приобрести тот же участок.

1)Какими суммами располагают родители и дети?

2)Сколько стоит участок земли?

§4. Прогрессии и комбинаторика

118. Вам предлагается заключить следующий договор. В течение одного месяца (30 дней) вам будет ежедневно выплачи­ ваться по 100 тыс. руб. На протяжении этого времени вы будете платить в первый день 1 копейку, а в каждый следующий день уд­ ваивать то, что платили в предыдущий (т.е. во второй день - 2 коп., в третий - 4 коп. и т.д.).

Согласитесь ли вы на такие условия?

119. Вам предложили сделку:

вы кладете деньги в банк, где они каждый месяц удваивают­ ся (к концу первого месяца их становится в два раза больше, к кон­ цу второго - в четыре раза и т.д.);

за это вы платите банку ежемесячно 2400 руб., которые банк изымает из ваших денег после каждого их удвоения.

Выгодна ли для вас эта сделка?

120. По договору работнику в первый день работы выплачи­ вается один рубль, во второй - два, в третий - три и т.д.

Сколько денег он заработает за сто дней? (Попробуйте ре­ шить эту задачу устно и быстро.)

121. Участниками акционерного общества закрытого типа являются 5 человек. Из их среды нужно выбрать председателя правления, двух его заместителей и председателя ревизионной комиссии.

Сколькими способами это можно сделать?

122. (Задача Гербалайф). Некая фирма предлагает гражда­ нам высокие постоянные заработки в валюте. Работа очень про­ стая: нужно распространять за доллары чудодейственное лечебное средство. Но не просто продавать. Каждый завербованный распро­ странитель чуда-средства выплачивает фирме определенный всту­ пительный взнос. Затем он должен найти еще несколько себе по­ добных: их взносы компенсируют его затраты. Все они получают право продажи лекарственного средства на льготных условиях (со скидкой) и зарабатывать при этом заветную валюту.

1)За счет чего делается скидка в цене товара?

2)Кто оплачивает в валюте работу его распространителей?

123.Сколько нужно делений пополам, чтобы разделить ар­ буз на 4 части? Верно, два. А вот задача посложней. Сколько нуж­ но произвести делений другого шара - на этот раз земного - попо­ лам, чтобы в результате последнего деления размеры половинок соответствовали диаметру атома?

124.У каждого человека обязательно существуют два предка по прямой линии - отец и мать. Значит, одно поколение тому назад любому из живущих сегодня соответствовало 2 человека, два поко­ ления назад - 4 человека (у матери и отца тоже были отцы и матери), три поколения назад - 8 человек и т.д. Приближенно можно счи­

тать, что за десять поколений количество предков увеличивается в 1000 раз (103 = 210), а за тридцать поколений - в 1033 = 109 раз. Но поскольку сегодня на Земле живет свыше 5 млрд человек (5 • 109), то общее количество предков всех ныне живущих на планете людей тридцать поколений назад должно было составлять, по крайней мере,

10 9 - 5 1 0 = 5 1 0 1 8 человек. Между тем площадь суши Земли состав­ ляет примерно 1,5 • 10 кв. км. Нетрудно сосчитать, что тридцать поко­

лений назад, по нашему расчету, на каждом квадратном километре должно было находиться 5 • 1018: 1,5 • 108 = 3 • 1010, т.е. 30 млрд чело­ век - примерно в 6 раз больше, чем сегодня живет на всей Земле. Им просто негде было бы поместиться. Да и историки утверждают, что

тридцать поколений назад (это примерно середина I тысячелетия на­ шей эры) на всей Земле жило не более 300 млн человек, т.е. 3 • 108, - по крайней мере, в 10 раз меньше, чем мы сосчитали.

Какую ошибку в расчетах мы допустили?

§5. Функции и графики

125.Малоепредприятиеспособно произвестииреализовагьвдень: либо 70 кг вареной и 20 кг копченой колбасы;

либо 60 кг вареной и 45 кг копченой колбасы; либо 50 кг вареной и 65 кг копченой колбасы; либо 30 кг вареной и 85 кг копченой колбасы; либо 10 кг вареной и 92 кг копченой колбасы.

1)Построить график производственных возможностей.

2)С помощью графика производственных возможностей определить степень эффективности бизнеса для следующих зака­ зов на продукцию предприятия:

а) 70 кг вареной и 40 кг копченой колбасы; б) 55 кг вареной и 55 кг копченой колбасы; в) 30 кг вареной и 65 кг копченой колбасы.

126.В условиях предыдущей задачи в ситуации эффектив­ ного бизнеса (40 кг вареной колбасы и 75 кг копченой колбасы) спрос на вареную колбасу падает на 10 кг (до 30 кг).

На сколько килограммов нужно увеличить производство копченой колбасы (спрос на нее не ограничен), чтобы сохранить эффективный бизнес?

127.Учреждение культуры способно эффективно проводить

вгод следующее количество мероприятий для молодой и немоло­ дой части населения:

100для молодых и 980 для немолодых;

300 для молодых и 900 для немолодых;

500 для молодых и 750 для немолодых;

700 для молодых и 550 для немолодых;

900 для молодых и 200 для немолодых.

1)Построить график производственных возможностей.

2)С помощью графика производственных возможностей определить, эффективны, неэффективны и возможны ли следую­ щие сочетания мероприятий:

а) 500 для молодых и 200 для немолодых; б) 600 для молодых и 650 для немолодых; в) 600 для молодых и 700 для немолодых.

128.В условиях предыдущей задачи в ситуации эффектив­ ного бизнеса проводится 600 мероприятий в год для граждан не­ молодого возраста.

Сколько можно будет, оставаясь в пределах эффективного бизнеса, провести при этом мероприятий для граждан молодого возраста?

129.В условиях задачи 127 принято решение увеличить ко­ личество мероприятий для людей молодого возраста на 100. На сколько при этом придется сократить количество мероприятий для людей немолодого возраста, чтобы остаться в пределах эффектив­ ного бизнеса?

130.По данным табл. 4.1 построить математическую мо­ дель - график спроса и предложения на мороженое за один день.

Спомощью данной модели проследить динамику изменения спроса и предложения на товар и формирование его рыночной цены.

131. С помощью графика спроса и предложения (задача 130) показать, как образуются затоваривание и дефицит товаров.

132. По данным табл. 4.2 построить график бюджетной ли­ нии. В таблице представлено сочетание товаров А и Б, доступных потребителю с доходом 12 у.д.ед.