Экономико-математические методы (Абчук)
.pdf260 Часть II. Решения задач
123. Всего примерно 160 делений.
Вот приближенный расчет. Диаметр атома равен пример но 10~8 см. Диаметр Земли 12,5 • 108 см. Отношение объемов при этом составляет приближенно 1048. Но 1048 = 2160 (исходя из того, что 103 = 210). Последняя цифра как раз и соответствует количеству делений пополам, равному 160, при котором Земля дробится до размера атома.
124.Главная ошибка заключается в том, что мы не учли родственные связи людей: у очень многих из нас общие предки. Люди значительно сильнее связаны кровными узами, чем это при нято считать. Вот яркий пример: прямой предок великого русского национального гения А.С. Пушкина (всего в нескольких поколени ях) - негр. А один из его прямых потомков - китаец.
§5. Функции и графики
125.1) Строим график производственных возможностей
(рис. Р.1).
10 20 30 40 50 60 70 80 Вареная колбаса, кг
Рис. P. J
Элементарная математика и логика |
261 |
2) Заказ "а" соответствует невозможному бизнесу, так как соответствующая точка оказывается вне пределов линии производственных возможностей; заказ "б" отвечает эффектив ному бизнесу - соответствующая точка лежит на кривой производственных возможностей; заказ "в" приводит к возмож ному, но неэффективному бизнесу - точка оказывается внутри линии производственных возможностей.
126.Из графика рис. Р.1 видно, что для точки линии произ водственных возможностей, соответствующей 30 кг вареной крлбасы, количество копченой колбасы должно быть равно 85 кг, т.е. на 10 кг больше.
127.Строим график производственных возможностей (рис. Р.2).
у
аждан
900
800
700
п.X 600 |
|
олодь |
500 |
400 |
|
i300
X
к 200
5 100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Для молодых граждан
Рис. Р.2
2) Вариант "а" соответствует неэффективному бизнесу, так как ему на графике соответствует точка НЭ, находящаяся внут ри площади, ограниченной линией производственных возмож ностей; вариант "б" соответствует эффективному бизнесу - соответствующая ему точка на графике (ЭФ) лежит на линии производственных возможностей; вариант "в" соответствует невозможному бизнесу, так как соответствующая ему точка на графике (НВ) лежит вне пределов площади, ограниченной ли нией производственных возможностей.
262Часть II. Решения задач
128.Как показывает график рис. Р.2, для граждан молодого возраста можно будет, оставаясь в пределах эффективного бизне са, провести 650 мероприятий.
129.Как видно из графика рис. Р.2, это увеличение равно тому количеству, которое приводит на линию дроизводственных возможностей для 750 мероприятий для граждан молодого возрас та, т.е. составляет 400 мероприятий для граждан немолодого воз раста. Величина сокращения равна
600 - 400 = 200 мероприятий.
130.По данным табл. 4.1 строим график спроса и предло жения (рис. Р.З).
8001
5*700
|
|
|
|
|
|
|
Величина спроса |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
|
Величина предложения |
60 |
(Порций) |
Рис. Р.З
Цена, соответствующая точке на графике, находящейся в пересечении линий спроса и предложения, называется равновесной. В данном случае она равняется 668 у.д.ед. Это та цена, по которой будет осуществляться купля-продажа товара при данных спросе и предложении, которые равны 30 порциям.
Действительно, стоит продавцу увеличить цену товара выше равновесной, например до 700 у.д.ед., как соответствующая ей ве личина спроса упадет до 25 порций. Но при этом до такой же вели чины должно будет упасть и предложение, что соответствует цене предлагаемого товара в 650 у.д.ед. Уменьшение цены предлагав-
Элементарная математика и логика |
263 |
мого товара вызовет рост величины спроса, которая будет расти до тех пор, пока не приведет цену в равновесную точку; после равно весной точки дальнейший рост спроса будет ограничиваться паде нием цены и связанного с ним предложения и т.д.
Таким образом, приход цены в равновесную точку осуще ствляется путем ее затухающих колебаний около равновесной точ ки. То же самое произойдет и при первоначальном установлении цены ниже равновесной точки - соответствующие изменения ве личин спроса и предложения возвратят цену в точку равновесия.
131. Затоваривание появляется в том случае, когда продавец устанавливает цену выше равновесной (рис. Р.4). Образующийся при этом промежуток между линиями спроса и предложения пока зывает, какое количество предлагаемого продавцом по данной цене товара не обеспечивается спросом покупателя. Это и есть величи на затоваривания. Так, к примеру, если начать продавать мороже ное по цене 750 у.д.ед. за порцию, то спрос упадет до 17 порций, а предложение вырастет до 50 порций. Разность (50 - 17) и показы вает величину затоваривания: 33 порции.
800}
>7«Ч
650
Величина спроса 600 Величина предложения
порций
Рис. Р.4
Дефицит появляется в том случае, когда продавец устанав ливает цену ниже равновесной (рис. Р.4): образующийся при этом промежуток между линиями предложения и спроса показывает,
264 |
Часть II. Решения задач |
какого количества товара не хватает, чтобы удовлетворить спрос. Это и есть дефицит. Так, например, если начать продавать мо роженое по цене 637,5 у.д.ед., то спрос повысится до 40 порций, а предложение упадет до 20 порций. Разность (40 - 20) и показывает величину дефицита: 20 порций.
132.Построим график бюджетной линии по данным табл.
4.2(рис. Р.5).
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
Рис. Р.5
Наклон бюджетной линии зависит от соотношения цен то варов. При этом крутизна линии равна 1 у.д.ед. : 1,5 у.д.ед. = 2/3. Крутизна показывает, от какого количества единиц товара А следу ет отказаться потребителю, чтобы получить дополнительное коли чество единиц товара Б. Так, в данном случае потребитель сможет приобрести дополнительно три единицы товара Б, если откажется от двух единиц товара А.
133.Построим график бюджетной линии по данным табл.
4.2(рис. Р.5).
Нанеся соответствующие бюджетные линии на график рис. Р.5, видим, что при увеличении дохода бюджетная линия смещает ся вправо, а при уменьшении - влево.
Элементарная математика и логика |
265 |
Положение бюджетной линии на графике меняется также и при изменении цен товаров. Если пропорционально меняются цены обоих товаров, бюджетная линия смещается так же, как и при из менении дохода: уменьшение цены равносильно увеличению до хода и наоборот.
134. 1) Стоимость оптимальной партии заказа товара (Попт) рассчитывается по формуле:
|
п |
=Щ |
(*) |
|
|
"опт |
у |
и . |
|
где Г -годоваястоимость заказа, С - стоимость издержек изготовления |
||||
партии товара, И - стоимость издержек хранения товара. |
|
|||
ГГ = |
2-90010 = 300 млн руб. |
|
||
|
0,2 |
|
|
|
Объем партии товара (Об) при этом равен:
_ |
300 106 |
_ |
Об = |
-А— = 30 тыс. штук. |
|
|
104 |
J |
Графическое решение данной задачи показано на рис. R6.
Издержки, мли руб
Стоимость (заказа и партии)а , млнpyiруб
450 600 750 900 у оптимальный размер партии
Рис. Р.6. График стоимости оптимальной партии заказа товара
266Часть II. Решения задач
2)С помощью формулы (*) можно построить график для опре деления стоимости оптимальной партии заказа товара (рис. Р.6).
Из графика наглядно видно, как по мере роста размера (сто имости) партии падают издержки изготовления и растут издержки хранения товара. Интересующие же нас общие издержки ведут себя противоречиво: сначала они падают до некоторого минимума, а затем начинают расти. Точка минимума общих издержек как раз и соответствует оптимальному размеру партии товара.
§6. Геометрия
135.Принимая сторону садового участка до увеличения за единицу, получим его периметр равным 4, а площадь - еди нице. С увеличением периметра на 20 % его стороны также вы
растут на 20 % и станут равны 1,2. Площадь при этом станет равна (1,2)2 = 1,44, т.е. вырастет на 44 %.
136.Принимая сторону садового участка до увеличения за единицу, получим площадь, равную единице. Площадь участка с увеличением сторон на 40 % станет равна: 1,4 • 1,4 = 1,96, т.е. пло щадь вырастет на 96 %.
137.Принимая сторону прямоугольного садового участ ка до увеличения за единицу, получим его площадь, равную еди нице. С изменением сторон участка его площадь станет равна: 1,3 • 0,7 = 0,91, т.е. уменьшится на 9 %.
138.Поскольку копия легче натуры в 8 миллионов раз и сде лана из того же материала, то ее объем должен быть меньше объе ма натуры тоже в 8 миллионов раз. Но объемы тел относятся как кубы их высот.
Следовательно, копия должна быть ниже натуры в
/8млнм3
У J3 =200 раз.
Элементарная математика и логика |
267 |
Высота Эйфелевой башни около 300 м, поэтому высота ко-
300 м пии должна быть — — = 1,эм.
139. Поскольку объемы тел относятся как кубы их линей ных размеров, большая емкость должна быть в ^27=3 раза выще
и шире.
Поверхности же подобных тел относятся как квадраты ли нейных размеров, т.е. поверхность большей емкости в З2 = 9 раз больше, а значит, и в 9 раз тяжелее.
140. Объем меньшего блока будет в 53 = 625 раз меньше.
Следовательно, он будет весить —! |
= 10 кг. |
625 |
|
141. Возможно. На этот счет существует специальная теоре ма. Практическое решение данной задачи требует, однако, слож ных расчетов.
142. Обозначив через х количество участков, нарезанных в первой части земли, можно записать условия задачи следующим образом:
300000 = (l00.^Wl00.^-10000](*+ 15)
После преобразований получим: х2 +25*-150 = 0.
Решая квадратное уравнение по стандартной формуле, по
лучим: |
|
|
2 5 + \252 |
25 |
35 |
—+ 150=-—±—; |
||
4 |
2 |
2 |
хх = 5 участков {х2 не подходит, так как отрицательно). Следовательно, 1) участков, нарезанных в первой части земли, - 5, а во вто
рой-5+ 15 = 20;
268Часть II. Решения задач
2)площадь участка в первой части земли равна 2 га, а во второй - 1 га.
143.Обозначая первоначальное количество линий через х, можно представить условие задачи в следующем виде:
180х - + 3|(л: + 4)=288.
После преобразований получим:
х2 - Ъ2х + 240 = 0.
Решая квадратное уравнение по стандартной формуле, по лучим:
32 , |
|
I322 |
_ |
32 |
*4\2, = — ± J |
|
240= — ±4. |
||
2 |
V 4 |
|
2 |
|
Задача имеет два решения:
х1 =20,х2= 12.
144.В предвкушении еды нас интересует не ширина яблока,
аего объем. Отношение объемов шаров пропорционально отноше нию кубов их радиусов. В нашей задаче это отношение равно:
(О3 " 62 = •
Следовательно, по объему первое яблоко больше второго примерно в два раза. А стоит оно всего в 1,5 раза дороже. Значит, первое яблоко купить выгоднее.
145. Из тех же соображений, что и в решении задачи 144, отношение объемов яиц второго и первого видов равно:
Следовательно, яйца второго вида выгоднее.
Уместно отметить, что соображения, высказанные при ре шении двух последних задач, справедливы и по отношению к лю-
Элементарная математика и логика |
269 |
бым другим фруктам или овощам шарообразной или близкой к ней формы: чем они крупнее, тем выгоднее.
146.Для решения задачи вообразим, что диаметр крупинок муки крупного помола больше, чем мелкого, скажем, в 10 раз. Уве личим мысленно крупинки мелкой муки до размера крупинок круп ной. Одновременно увеличим во столько же раз и размер мешка. Тогда его объем вырастет в 10 • 10 • 10 = 1000 раз. Во столько же раз увеличится и вес муки. И если мы теперь отсыпем из этого огромного мешка один обычный мешок, то он составит одну ты сячную веса большого мешка. Но ведь это и будет мешок муки круп ного помола. И вес его окажется точно таким же, как и у мешка муки мелкого помола. Следовательно, одинаковые по объему меш ки муки мелкого и крупного помола равны и по весу.
147.Обозначим диаметр мяча Д. Тогда длина опоясываю щей его веревки будет равна яД, а после увеличения этой длины на один метр - яД + 1.
Между диаметром и длиной окружности существует следую щая зависимость:
Я |
Я |
Я |
где Д,, Д2 и О,, 02 - диаметры окружности и ее длина до и после увеличения.
Приращение диаметра окружности составит:
ДД = Д2-Д, = ° 1 ± - L ° L = I = 0,318M.
яя я
При этом зазор между веревкой и шаром вырастает на вели чину, в два раза меньшую (ибо приращению диаметра соответст вуют два таких зазора по обе стороны шара).
Произведенный расчет, как это ни покажется странным, го ворит о том, что возникающий при увеличении длины веревки за зор совершенно не зависит от диаметра шара и связан лишь с уд-
0,318 линением веревки: и для мяча, и для Земли он равен —-—м.