Экономико-математические методы (Абчук)

Если m = 0, т.е. центр рассеивания совпадает с началом от­ счета по оси х, тогда

П р и м е р 3.32

Качество материалов и технология обеспечивают отклоне­ ние размеров железобетонной детали от стандарта в пределах сред­ него квадратического отклонения а = ± 3 мм.

Какова вероятность (Р) того, что фактически деталь может отличаться от стандарта на / = ± 1,5 мм?

Решение По формуле (3.114) с помощью табл. 3.31 находим:

§ 3 . Теория массового обслуживания (теория очередей). Метод Монте-Карло

Теория массового обслуживания и метод статистических испытаний (Монте-Карло), так же как и теория вероятностей и математическая статистика, применяются в тех экономических за­ дачах, в которых решение определяется случайными факторами и обстоятельствами. То есть такими, которые могут принимать раз­ личные, заранее не известные значения.

Теория массового обслуживания дает возможность учесть эти случайности в процессах, связанных с потоками требований (заказов, обстоятельств) на обслуживание.

Метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний, позволяет искусственно моделировать случайные процессы в тех

случаях, когда установление аналитических (т.е. построенных с помощью формул) моделей невозможно или затруднительно.

Теория массового обслуживания (теория очередей)

Многие экономические ситуации связаны с процессами мас­ сового обслуживания покупателей-потребителей. Например, в те­ чение ограниченного времени необходимо обслужить покупателей магазинов, клиентов сферы обслуживания, принять заявки на ре­ монтные работы и выполнить по ним ремонт и т.п.

Обслуживаемые объекты называют каналами или аппарата­ ми обслуживания. Требования (заказы) на обслуживание называ­ ют заявками.

Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы (аппараты) оказываются занятыми, происходит сбой в об­ служивании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют также теорией очередей.

П р и м е р 3.33

(Задача Морза и Кэмпбелла). Дело было во время войны. Сотрудники группы, изучавшей военные операции, в первый же день после прибытия в часть обратили внимание на то, что солда­ там приходится долго стоять в очереди к лоханям для мытья и полос­ кания котелков после еды. Всего стояло четыре лохани: две для мытья и две для полоскания. Эксперт определил по часам, что каж­ дый солдат в среднем употреблял втрое больше времени на мытье, чем на полоскание. Он предложил старшине несколько изменить порядок мытья посуды, после чего очередь к лоханям исчезла.

Что предложил эксперт? Решение

Эксперт предложил перераспределить лохани: в трех мыть и в одной полоскать.

Теория массового обслуживания ставит своей задачей орга­ низовать обслуживание таким образом, чтобы длина очереди была минимальной, а время прохождения заявки - оптимальным. При этом должно обеспечиваться минимальное время простоя помеще-

ний, оборудования и персонала системы обслуживания и ее макси­ мальная возможная загрузка.

Для решения названных задач необходимо уметь рассчиты­ вать следующие показатели системы обслуживания:

1. Вероятность того, что в любой момент времени все кана­ лы (аппараты) окажутся свободными:

3. Вероятность того, что в любой момент времени все кана­ лы окажутся занятыми:

" к»

П р и м е р 3.34

Торговое предприятие, обслуживающее покупателей по те­ лефонным заказам, располагает пятью операторами с телефонами для приема заявок (п = 5 операторов). Заказы на товары поступают в случайные моменты времени независимо друг от друга, в сред­ нем по два заказа в минуту (X= 2 заказа). Среднее время обслужи­ вания покупателя составляет одну минуту (t0 = 1).

Необходимо рассчитать: 1) Вероятность того, что в любой момент времени все операторы окажутся свободными (Рс). 2) Среднеожидаемое число свободных операторов (Nc). 3) Вероятность того, что у позвонившего покупателя некому будет принять заказ, так как все операторы окажутся занятыми (Рз). 4) Среднеожидаемое число занятых операторов (N3). 5) Коэффициент простоя опе­ раторов за время обслуживания (Кп). 6) Долю загруженных опера­ торов за время обслуживания (Кз).

Решение

Вначале рассчитаем а = X • t0 = 2 • 1 = 2 заказа.

1) Вероятность того, что в любой момент все операторы ока­

2) Среднеожидаемое число свободных операторов рассчи­ тывается по формуле (3.117), где Рп находится по формуле (3.118) дляп = 5:

между различными экономическими показателями. В этих случаях приходится прибегать к искусственному воссозданию случайных про­ цессов, подобных тем, которые имеют место на практике и могут быть благодаря такому моделированию легко исследованы. Описанный прием получил название метода статистического моделирования или статистических испытаний (а также метода Монте-Карло - по назва­ нию места нахождения знаменитого казино).

П р и м е р 3.35

Занявшись бизнесом, хозяин малого предприятия может че­ рез год оказаться в одном из следующих состояний, каждое из ко­ торых имеет определенную, полученную с помощью статистики, вероятность:

Состояние А, - стабильное получение запланированной при­

в два и более раза больше запланированной - Р3 = 0,1; А4 - банк­ ротство - Р4 = 0,2.

Необходимо определить, в каком состоянии конкретно ока­ жется предприниматель к концу года.

Решение

Организуется процедура так называемого единичного жре­ бия. Чтобы сделать ее наглядной, вероятности всех возможных со­ стояний (Р), образующие полную группу событий (т.е. таких, сум­ ма вероятностей которых равна единице), располагают на коорди­ натной оси так, как показано на рис. 3.11.

Производится так называемый розыгрыш, состоящий из че­ тырех испытаний (по числу интересующих нас событий). Розыг­ рыш может производиться различными способами с помощью так называемого механизма случайного выбора. Таким механизмом мо­ жет служить монета, игральная кость, фишки лото, секундная стрел­ ка и т.п.

При использовании лото в каждом испытании случайным образом выбирается одна из ста нумерованных от 1 до 100 фишек. Допустим, вышла фишка с номером 60. Из рис. 3.11 ясно, что циф­ ра 60 находится на участке события А2, соответствующего получе­ нию прибыли в два раза меньшей, чем запланированная. Это и есть искомое ожидаемое состояние предприятия через год.

Вместо лото можно воспользоваться секундной стрелкой обычных ручных часов: если при взгляде в случайный момент вре­ мени на часы секундная стрелка оказывается, скажем, на цифре 30, это соответствует вероятности Ъ01т = 0,5, а на цифре 20 - веро­ ятности ^ = 0,33, и т.д.

§ 4 . Теории игр и статистических решений

Теории игр и статистических решений относятся к так называемым игровым методам исследования операций. Эти мето­ ды предназначены для обоснования решений в условиях неопре­ деленности.

Неопределенность означает неполноту, неясность тех дан­ ных, на основе которых должно приниматься решение.

Игровые методы дают возможность выработать наилучшую в данных условиях обстановки линию поведения, совокупность правил, руководствуясь которыми можно обеспечить себе макси­ мально возможный средний выигрыш.

Втех случаях, когда неопределенность обстановки вызвана сознательными злонамеренными действиями сторон, применяется аппарат теории игр.

Втех случаях, когда неопределенность обстановки вызвана объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны, либо носят случайный характер, применяется аппарат теории статисти­ ческих решений.

Теория игр

Теория игр служит для выработки рекомендаций по рацио­ нальному образу действий в условиях конфликтных ситуаций.

Под конфликтными ситуациями понимаются такие, в которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели. Причем результат любого действия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет "противник". Поскольку в конфликт­ ных ситуациях мы, как правило, не располагаем достаточными сведе­ ниями о том, что задумал "противник", решение методами теории игр принимается в условиях неопределенности.

Под игрой понимаются мероприятия, состоящие из ряда дей­ ствий сторон. Если в конфликте участвуют две стороны, игра на­ зывается парной, если более двух - множественной.

Система условий, регламентирующая возможные варианты действий сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, а также результат, к которому приводит данная совокуп­ ность действий, составляют правила игры.

Игра состоит из ряда последовательных этапов или ходов, причем под ходом понимается выбор одного из предусмотренных правилами игры действий.

Совокупность правил, определяющих выбор варианта дей­ ствий при каждом ходе в зависимости от сложившейся обстанов­ ки, называется стратегией.

Результатом игры является выигрыш или проигрыш одной из сторон, обычно выражаемый в количественной форме. Напри­ мер, математическое ожидание дохода или прибыли.

Оптимальной стратегией является такая, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный средний выигрыш.

Игры, в которых одна сторона проигрывает столько, сколько выигрывает другая, называются играми с нулевой суммой. Здесь будут рассматриваться только парные игры с нулевой суммой.

В общем виде постановка задачи теории игр производится следующим образом:

-имеется некоторая операция (целенаправленное действие),

вкоторой участвуют две стороны А и В с противоположными ин­ тересами;

-имеются правила игры, регламентирующие результаты, к которым приводят возможные варианты действий сторон;

-результаты действий сторон (выигрыши) выражены в количественной форме и обозначены а (математическое ожи­ дание выигрыша стороны А, сделавшей свой i-й ход при j-м ходе стороны В).

Условие игры обычно записывается в форме платежной матрицы, или матрицы игры (табл. 3.33).

Таблица 3.33

Матрица игры

Вданной игре сторона А (мы) имеет m стратегий, а сторона

В(противник) - п стратегий (игра mxn).

Необходимо найти наилучшие (оптимальные) стратегии сто­ рон, а также ожидаемый средний выигрыш (результат).

При решении игры встречаются следующие понятия:

a= max a = шах min а. - максимин, или нижняя цена игры;

Р= min (3. = min max аг - минимакс, или верхняя цена игры. Получение максимина и минимакса ясно из рассмотрения

матрицы игры (табл. 3.33 и 3.34).

В тех случаях, когда а = Р, игра имеет седловую точку - элемент матрицы, являющийся одновременно минимальным в сво­ ей строке и максимальным в своем столбце.

Общее значение нижней и верхней цены игры а = р = v назы­ вается чистой ценой игры.

Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (страте­ гии А. и В), которые являются оптимальными. Совокупность этих стратегий называется решением игры в чистых стратегиях.

В тех случаях, когда а * Р, решение находится в смешанных стратегиях. Смешанными стратегиями называются такие, кото­ рые получаются путем случайного чередования чистых стратегий.

Смешанная стратегия стороны А обозначается

S*A(Pl,p2,...,pm),

где р^ р2,..., рт - вероятности, с которыми применяются стратегии

А,, А2,..., Ат.

Причем р} + р2 + рт = 1. Аналогично для стороны В:

s*Bfo,>q2>->qn)>

meq,+q2 + ... + qn =l.

Решением игры в смешанных стратегиях будет пара оптималь­ ных смешанных стратегий, обозначенных S*A и S*B. Выигрыш, со­ ответствующий этому решению, называется ценой игры v.

Стратегии, входящие в оптимальную стратегию с вероятно­ стями, отличными от нуля, называются активными.

(3.129)

Игра 2x2 имеет следующее геометрическое решение (рис.

3.12):

-на отрезке оси абсцисс, длина которого равна единице,

левый конец участка (х = 0) обозначает стратегию Ар а правый (х = 1) - стратегию А2; промежуточные точки участка изображают смешанные стратегии стороны А;

-через точки А, и А2 проводятся перпендикуляры к оси аб­ сцисс: оси I-I и И-И. На оси I-I откладываются выигрыши при стратегии А}, а на оси И-И - выигрыши при стратегии А2;

-стратегия противника В., дает на осях I-I и II-II точки с

координатами ап и а12 соответственно, а стратегия В2 - точки с ко­ ординатами а|2 и а22 соответственно;