Экономико-математические методы (Абчук)

234.В условиях предыдущей задачи рассчитать, какую при­ быль получает фирма в год, с учетом затрат и необходимости вып­ лат страховых премий, если на выплату страховых премий фирма расходует в год 250 тыс. руб., а затраты на организацию страховой деятельности составляют в год также 250 тыс. руб.?

235.(По мотивам ОТенри). Энди увидел на противополож­ ной стороне улицы человека, которому так неосмотрительно дал в долг до получки 50 долларов. С тех пор прошло много лет, и вот неожиданная встреча. Энди ринулся бы через дорогу наперерез дол­ жнику, но неподалеку маячила массивная фигура полисмена - блю­ ститель порядка поглядывал то вправо, то влево: в этом месте пе­ реход улицы воспрещен. Энди быстро соображал. Половина шан­ сов за то, что удастся незаметно перебежать улицу. Но стоит ли бежать? Если полисмен заметит - десять долларов штрафа. А дол­ жник тем временем уйдет. Однако и долг неплохо бы получить.

Как быть?

236. Может ли в конкурентной борьбе, в остром конфликте бедный, т.е. обладающий меньшими ресурсами, одолеть богатого, у которого ресурсов существенно больше?

Ответ на этот вопрос можно получить с помощью следую­ щей задачи, моделирующей противостояние слабого и сильного.

Почему великим полководцам удается с малыми силами раз­ бить во много раз превосходящие силы врага?

История неопровержимо свидетельствует: великие полковод­ цы отличались от своих заурядных коллег, в частности, тем, что умели своевременно и верно рисковать.

Великий Полководец (будем для краткости называть его В.П.), силы которого составляют три дивизии, должен во что бы то ни стало прорваться через горный перевал. Задача эта не из лег­ ких, ибо перевал обороняют четыре дивизии врага. Правда, во гла­ ве их стоит Заурядный Полководец (З.П.). Качество дивизий про­ тивников принимается одинаковым.

Перевал имеет два прохода. Условия нашей баталии тако­ вы, что при встрече противоборствующих сторон на проходах перевала побеждает та из них, у которой дивизий на данном про-

Итак, как слабому победить сильного, бедному ресурсами - богатого?

237. (Задача Вильямса). После напряженного трудового дня вы спешите домой и вдруг внезапно вспоминаете, что у Марины сегодня день рождения. А может быть, нет. Все магазины уже зак­ рыты, но торгуют цветочные лавки. Если ее день рождения не се­ годня и вы не принесете подарка, то положение будет нейтраль­ ным. Если у нее не день рождения и вы примчитесь с букетом, то максимум, чем вы рискуете, - это подвергнуться проверке на трез­ вость. Если у нее действительно день рождения и вы вовремя вспом­ нили об этом, то заслужите благодарность. Если же в этом случае вы не принесете ничего - то вы человек пропащий.

Как вам поступить?

238. Группе из трех равноправных компаньонов необходи­ мо принять общее решение, выбрав его из четырех возможных аль­ тернативных вариантов. Каждое лицо группы по разному оценива­ ет возможные решения. Эта оценка приведена в табл. 5.1 на основе придания решениям различных рангов (так называемая ранжиров­ ка). Причем чем ниже ранг, тем предпочтение больше.

Необходимо найти оптимальное групповое решение.

239. Группа из трех равноправных компаньонов оценивает три альтернативных решения по трехбалльной системе: лучшее решение - 3 балла, среднее - 2, худшее - 1 балл (табл. 5.2).

Необходимо найти такое групповое решение, при котором отклонение между предпочтением группы и индивидуальными ре­ шениями будет наименьшим.

240. Предположим, решение принимается группой из двух лиц. Возможны два альтернативных варианта решения: aj и аг Оцен­ ки полезности этих вариантов обоими лицами для двух возмож­ ных исходов показаны в табл. 5.3 и 5.4. Вероятности исходов для каждого лица, естественно, различны.

Необходимо найти оптимальное групповое решение.

241. Решение принимается двумя равноправными компа­ ньонами. Возможны два альтернативных решения: а} и а2. Оцен-

224 Часть II. Задачи

ка полезности этих вариантов обоими компаньонами приведена в табл. 5.5.

Необходимо найти оптимальное групповое решение.

242. Владельцу груза приходится выбирать из двух аль­ тернатив: страховать или не страховать перевозимый груз. Риск заключается в том, что возможна катастрофа с вероятностью 0,1, в результате которой груз будет утрачен. Матрица полезности - табл. 5.6.

Таблица 5.6

Матрица полезности (эффективности) страхования груза

Полезность исходов определяется владельцем груза следу­ ющим образом. Если груз застрахован, то в случае его утраты вла­ делец получает страховую компенсацию в размере 100 единиц, если же катастрофы не было, он теряет 5 единиц, потраченных на стра­ ховой полис. Если груз не застрахован, в случае катастрофы теря­ ется его стоимость - 95 единиц, при благополучном же исходе вла­ делец может распорядиться суммой в 5 единиц, сэкономленной на страховом полисе.

Страховать или не страховать груз?

226 Часть II. Задачи

Работа представляет собой выполнение некоторого мероп­ риятия, например определенной технологической, транспортной или складской операции. Работа связана с затратой времени и рас­ ходом ресурсов, она должна иметь начало и конец. Работа обозна­ чается на графике стрелкой, над которой проставлен номер работы (прописная буква с индексом), а под ней - продолжительность ра­ боты (в скобках).

Событиями называются начальные и конечные точки рабо­ ты, например начало или окончание производственной операции. Событие не является процессом и поэтому не сопровождается зат­ ратами времени или ресурсов. Событие обозначается кружком, внутри которого строчная буква с индексом.

Относительно данной работы события могут быть предше­ ствующими (непосредственно перед ней) и последующими (непос­ редственно за ней). Относительно данной работы другие работы могут быть предшествующими и последующими. Каждая входя­ щая в данное событие работа является предшествующей каждой выходящей работе; каждая выходящая работа является последую­ щей для каждой входящей.

Основные свойства сетевого графика:

ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы;

ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие;

ни одна последующая работа не может начаться раньше, чем будут закончены все предшествующие ей работы.

Как построить и проанализировать сетевой график в масш­ табе времени?

245. Мы пригласили друзей на ужин. Поскольку я недавно прочитал книгу по экономико-математическим методам, то решил подготовиться к этому радостному событию по всем правилам се­ тевого планирования.

Итак, обстановка. Моя семья состоит из жены, дочери и тещи. Я целый день на работе. Готовиться к приему гостей придется моим женщинам. Им предстоит купить продукты, что займет около двух часов, если это будет делать одна жена (либо один час, если вместе

с ней за продуктами отправится дочь). На приготовление ужина жена потратит еще два часа (вместе с дочерью - один час). Кроме того, следует убрать квартиру, на что теща потратит примерно час, если будет работать вместе с дочерью (либо в два раза больше вре­ мени, если станет убирать сама). И, наконец, после того как квар­ тира будет убрана и ужин готов, можно будет накрывать на стол, на что уйдет еще час (этим обычно занимается дочь).

Необходимо разработать сетевой график приготовления к ужину, построить критический путь и проанализировать его с по­ мощью графика, для того чтобы выявить имеющиеся резервы вре­ мени и решить нашу задачу в кратчайший срок.

Как это сделать?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА

(Необходимые пояснения к решениям см. в главе 2)

§ 1. Дроби, доли, пропорции и основные действия арифметики и алгебры

1. Надо разделить 25 у.д.ед. на 50 частей (49 + 1). Это даст 25 : 50 = 0,5 у.д.ед., что будет меньшей из двух частей.

Большая часть будет содержать 49 частей и составит 0,5 • 49= 24,5 у.д.ед.

2. Вначале определим, какой процент от общего числа со­ ставляют отсутствующие акционеры:

—— 100 = 16,7%.

100 + 20

Тогда процент, который составляли присутствующие акцио­ неры, будет равен: 100 % - 16,7 % - 83, 3%.

3. Средняя месячная оплата труда менеджера составляет:

260тыс. у.д.ед.- = 52 тыс. у.д.ед. в месяц. 5 мес.

За 7 месяцев зарплата в деньгах составит: 52 тыс. у.д.ед. • 7 = 364 тыс. у.д.ед.

Но за это время менеджер уже получил 240 тыс. у.д.ед. Сле­ довательно, премия оценена в 364 - 240 = 124 тыс. у.д.ед.

4.Возраст фирмы Б равен: 31 — 8 = 23 года. Возраст фирмы А равен: 23 • 2 = 46 лет.

5.Если бы у партнеров было 8 общих счетов, Семенов из­ расходовал бы их за 12 мес. • 8 = 96 мес. А Семенов и Федоров за

96

96 месяцев израсходовали бы — =12 счетов.

Теперь понятно, что за эти же 96 месяцев Федоров израсхо­ довал бы 12 счетов - 8 счетов = 4 счета.

Отсюда понятно, что один счет Федоров способен израсхо-

6.Поскольку каждый должен вложить равную долю - 150 тыс. руб., то долг 3-го компаньона 1-му составляет 230 - 150 =

=80 тыс. руб., а его долг 2-му - 220 - 150 = 70 тыс. руб.

7.Находим, какие доли дома строительные организации

строят за один год, и суммируем эти доли:

V, + 72 + 74 + 1 =25/12 дома.

Исходя из того, что эта суммарная доля строится за 365 дней, рассчитываем (из пропорции), за сколько дней строится единицадома:

36512 = 175j дня.

25

8. По условию задачи производительность бригады № 1 равна 73 объекта в месяц, а бригады № 2 - 76 объекта в месяц. К середине второго месяца работы бригада № 2 успела сделать 76 • 172 = 74 работы по созданию объекта. Осталось, следова­ тельно, еще 1 - 74 = 3/4 работы. Общая производительность обе­ их бригад равна 73 + 7б = 72 объекта в месяц.