Экономико-математические методы (Абчук)

личину выигрыша v - цену игры. Абсцисса точки N дает вероятно­ сти обеих стратегий р, и р2, которые равны расстояниям отточки S* до правого и левого конца отрезка А,А2 соответственно.

Нижняя (гарантированная) граница выигрыша выделена на рис. 3.12 жирной линией.

На рис. 3.13 показано аналогичное построение для игры 2x3.

Типовые задачи, решаемые с помощью теории игр, приве­ дены ниже.

П р и м е р 3.36

Предприниматель располагает тремя видами товаров А{, А2, А3, которые он стремится реализовать на рынке, где возможна прода­ жа конкурентом аналогичных товаров - В р В2, В3 соответственно.

Предпринимателю не известно, какой вид товаров преиму­ щественно конкурент будет продавать на рынке, а конкуренту не известно, какие товары предпринимателя на этом рынке появятся.

Предприниматель располагает данными о том, какова веро­ ятность продать тот или иной товар при наличии на рынке товаров конкурента. Эти данные образуют матрицу игры (табл. 3.34).

Необходимо дать предпринимателю рекомендации по раци­ ональному выбору вида товаров для продвижения их на рынок в условиях конкуренции, при котором обеспечивается получение наилучшего возможного результата - наибольшей вероятности продаж, что бы ни предпринимал конкурент.

Решение

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наи­ больший aj = 0,4 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший Р, = 0,8 (отмечен звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс.

предпринимателю гарантируется результат не менее р = 0,4, что бы ни предпринимал конкурент (его замыслы нам не известны). Для конкурента наилучшая стратегия - выбор товара вида В,; при этом он гарантирует себе результат не более р = 0,8 (чем прибыль предпринимателя больше, тем для него хуже).

Поскольку в рассмотренном примере нет седловой точки (а Ф Р), это означает, что полученные рекомендации верны лишь для случая, когда конкурент не располагает данными об избранном предпринимателем решении. Это так называемая неустойчивая стратегия. Если конкурент узнает о том, что предприниматель стал применять товар типа А2, он сразу же начнет применять товар вида В3 и тем самым улучшит свой результат до р = 0,1.

В тех случаях, когда в подобной задаче конкурент распола­ гает данными о выборе предпринимателя, необходимо искать ре­ шение в смешанных стратегиях.

В условиях примера 3.36 предпринимателю стали известны возможные количества единиц каждого из его товаров, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента на рынке (табл. 3.35).

Необходимо дать предпринимателю рекомендации, при ис­ пользовании которых среднеожидаемое количество проданных то­ варов будет наибольшим, что бы ни предпринимал конкурент.

Решение

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наи­ больший а2 = 7 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший Р2 = 7 (отмечен звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс.

Решение заключается в том, что необходимо систематичес­ ки применять свою оптимальную стратегию - товар А2. При этом гарантируется результат не менее М = 7, что бы ни предпринимал конкурент (его замыслы нам не известны). Для конкурента опти­ мальная стратегия - выбор товара В2; при этом он гарантирует себе результат не более М = 7 (чем результат предпринимателя больше, тем для него хуже).

Цена игры v = а = Р соответствует седловой точке (обведена кружком).

То, что в рассмотренном примере есть седловая точка (а = Р), означает, что полученные рекомендации верны независимо оттого, располагает конкурент данными об избранном решении или нет.

Это так называемая устойчивая стратегий. Если конкурент, узнав, что предприниматель выбрал товар А2, станет в качестве ответно­ го хода использовать стратегию В{ или В2, он только улучшит ре­ зультат предпринимателя до М21 = 8 или М23 = 7 соответственно.

П р и м е р 3.38

Банк заинтересован в покупке акций некоего акционерного общества. Стремясь сделать покупку как можно более выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций, кото­ рая может быть как правдивой (Aj), так и заведомо ложной (А2).

Продавец может как поверить информации (В{), так и не дать ей веры (В2).

Условия задачи можно представить в виде игровой матрицы (табл. 3.36), содержащей данные о величине возможной успешно­ сти сделки - приросте стоимости по отношению к вложенным сред­ ствам.

Необходимо выбрать такую стратегию банка, при которой результат окажется максимально возможным.

Решение

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наи­ больший а, = 0,608 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший (3j = Р9 = 1,000 (отмечены звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс.

Поскольку игра не имеет седловой точки (а * Р), оптималь­ ное решение в чистой стратегии невозможно. Выбор в качестве решения хода А,, имеющего наибольшую эффективность, как мы видели выше (пример 3.36), дает неустойчивую стратегию, при-

154 Часть I. Глава 3

годную лишь в случае, если противник не располагает данными об избранном нами решении.

Для получения устойчивой стратегии в данных условиях необходимо искать решение в смешанных стратегиях:

- по формуле (3.124) или графически (рис. 3.14)

P i = : 0,44-1,00 = 0,588; 0,608 + 0,44-1,00-1,00

- по формуле (3.125)

p2 = l - P l = 0,412, поскольку а12 = а21, q, = р, = 0,588; q2 = р2 = 0,412;

Теория статистических решений

Теория статистических решений служит для выработки реко­ мендаций по рациональному образу действий в условиях неопре­ деленности, вызванной не зависящими ни от нас, ни от конфликту­ ющей стороны причинами.

Этими причинами могут быть наша неосведомленность об условиях ведения операции, а также случайный характер этих ус­ ловий.

В отличие от теории игр, вместо сознательно и злонамерен­ но действующей стороны, здесь мы имеем дело с объективными обстоятельствами, которые принято именовать "природой".

Этими обстоятельствами ("природой") могут быть состоя­ ние погоды, рыночная конъюнктура, выход из строя техники, сти­ хийные бедствия и другие форс-мажорные причины. Все эти об­ стоятельства носят случайный характер.

Играми с упомянутой "природой" и занимается теория стати­ стических решений.

Поведение "природы" нам полностью не известно, однако понимается, что она нам сознательно не противодействует.

В общем виде постановка задачи теории статистических решений представляется следующим образом:

имеется m возможных стратегий (линий поведения) - решений: Р„ Р2,..., Рт;

условия обстановки (состояние "природы") точно не известны, однако о них можно сделать п предположений: О,, 02,..., Оп (эти пред­ положения являются как бы стратегиями "природы");

результат, т.е. так называемый выигрыш а., при каждой паре стратегии задан таблицей эффективности (табл. 3.37).

Выигрыши, указанные в табл. 3.37, являются показателями эффективности решений.

Допустим, необходимо решить некоторую производственную задачу - например, разработать годовой план, план реконструкции предприятия или переход на новый вид продукции.

Обстановка предстоящих действий при этом в значительной мере неопределенна. Так, пригодовомпланировании может не быть полной ясности о степени и сроках обеспечения плана всеми необ­ ходимыми ресурсами; при реконструкции предприятия возникают неясности со сроками ввода в действие объектов, с эффективностью новой техники и технологии в реальных условиях; при переходе на новые виды продукции существует неопределенность в связи с ко­ лебаниями спроса, возможностью предложений изделий более высокого уровня качества и т.д.

Предположим, что на промышленном предприятии готовят­ ся к переходу на новые виды продукции - товары народного по­ требления. При этом возможны четыре решения - Рр Р2, Р3 и Р4, каждому из которых соответствует определенный вид выпуска или их сочетание. Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки: степени обеспеченности производства мате­ риальными ресурсами, которая заранее точно не известна и может быть трех вариантов: О,, 02, Ог

Каждой паре сочетаний решений Р. и обстановки О соот­ ветствует определенный выигрыш а., помещаемый в клетки табли­ цы эффективности на пересечении Р. и О (табл. 3.38). Этот выиг­ рыш характеризует относительную величину результата предстоя­ щих действий (прибыль, нормативно-чистую продукцию, издерж­ ки производства и т.п.). Из таблицы видно, что при обстановке О, решение Р2 в два раза лучше, чем Р3, а решение Р, неодинаково эффективно для обстановок О, и 03 и т.д.

Необходимо найти такую стратегию (линию поведения) ре­ шения Р., которая по сравнению с другими является наиболее вы­ годной.

В теории статистических решений применяется специальный показатель риска, который показывает, насколько выгодна применяе­ мая нами стратегия в данной конкретной обстановке с учетом степе­ ни ее неопределенности. Риск рассчитывается какразность между ожи­ даемым результатом действий при наличии точных данных обстанов­ ки и результатом, который может быть достигнут, если эти данные неопределенны. Например, при точно известной обстановке Oj при­ нимаютрешение Р4, обеспечив себе выигрыш 0,80. Но, поскольку неиз­ вестно, какую обстановку ожидать, можно остановиться и на реше-

Выбор наилучшего решения в условиях неопределенной обстановки существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности. В зависимости от этого обычно различают три варианта решений.

Выбор решения, когда вероятности возможных вариан­ тов обстановки известны

В данном случае должно избираться решение, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша максимально. Оно на­ ходится, по правилам теории вероятностей, как сумма произве­ дений вероятностей различных вариантов обстановки на соот­ ветствующие значения выигрышей (см. табл. 3.38).

Выбор решения, когда вероятности возможных вариан­ тов обстановки не известны, но имеются сведения об их относительных значениях

Если считать, что любой из вариантов обстановки не бо­ лее вероятен, чем другие, то вероятности различных вариантов обстановки можно считать равными и производить выбор ре­ шения так же, как это показано выше для случая известных ве­ роятностей. Так, принимая по табл. 3.38 среднюю вероятность каждого варианта обстановки равной 0,33 и находя среднее наи­ большее значение результата, получаем в качестве оптимально­ го решение Р3.

Если имеются вероятности различных вариантов об­ становки, то иногда их можно расположить в ряд по степени убывания, придав каждой вероятности значение соответствую­ щего члена убывающей арифметической прогрессии. Расчет оптимального решения при этом аналогичен изложенному для первой ситуации. Наконец, вероятности различных вариантов обстановки могут устанавливаться путем опроса компетентных лиц (экспертов). Тогда их искомое значение определится как среднее из нескольких показаний.

Выбор решения, когда вероятности возможных вариан­ тов обстановки не известны, но существуют принципы подхода к оценкерезультата действий

В данном положении возможны три случая.

Во-первых, может потребоваться гарантия того, что выиг­ рыш в любых условиях окажется не меньше, чем наибольший воз­ можный в худших условиях. Это линия поведения по принципу "рас­ считывай на худшее". Оптимальным решением в данном случае будет то, для которого выигрыш окажется максимальным из минимальных при различных вариантах обстановки. Из табл. 3.38 следует, что таким решением является Р,, при котором максималь­ ный риск из минимальных его значений равен 0,25.

Во-вторых, может возникнуть требование избежать большого риска в любых условиях. Здесь оптимальным будет такое решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах обста­ новки, окажется минимальным. Из табл. 3.39 видно, что таким ре­ шением является Р3, для которого минимальный риск из макси­ мальных его значений равен 0,45.

В-третьих, может иметь место требование выбрать решение между линией поведения в расчете на худшее и линией поведения в расчете на лучшее. В этом случае оптимальным решением будет то, для которого окажется максимальным показатель G (так назы­ ваемый критерий пессимизма-оптимизма Гурвица), рассчитывае­

где а -выигрыш, соответствующий i-му решению приj-м вари­ анте обстановки; к - коэффициент, выбираемый между 0 и 1; при к = 0 - линия поведения в расчете на лучшее, при к = 1 - линия поведения в расчете на худшее.

Так, если примем к = 0,50, то на основании формулы (3.130) значение показателя G для способа действий Pt равно:

G = 0,50 • 0,25 + 0,50 • 0,40 = 0,32. Соответственно для решений Р2, Р3, Р4 при к = 0,5 показа­

тель G имеет значения: G2 = 0,45, G3 = 0,52, G4 = 0,45. Оптималь­ ным решением в данном случае будет Р3, при котором показатель G максимален.