Экономико-математические методы (Абчук)

Перейдем на язык математики: минимальное потребное ко­ личество взвешиваний (Вмин) можно получить, исходя из очевид­ ного соотношения:

ВШИ1раз

N = 3 ^ 3 = 3 B - ,

где N - количество исследуемых объектов.

Это и есть математическая модель задачи. 5. Произведем численный расчет: подставляя в формулу (**) N = 27, получим

в-^27=3, откуда видно, что минимальное потребное количество взвешива­ ний равно 3.

6. Расчет легко проверить, проведя мысленный опыт:

1-е взвешивание. На чашках весов по 9 камней. Определя­ ем, в какой девятке подделка.

2-е взвешивание. На чашках весов по три камня. Определя­ ем, в какой тройке подделка.

3-е взвешивание. На чашках весов по одному камню. Нахо­ дим фальшивый бриллиант.

Что и требовалось доказать.

ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА В ЭКОНОМИКЕ

К элементарной математике мы приобщаемся с раннего дет­ ства, систематически изучаем в школе, прибегаем к ее услугам на каждом шагу.

В этой главе будет дан обзор и приведены примеры решения экономических задач с применением таких проверенных инстру­ ментов математики, как дроби, пропорции, основные действия арифметики и алгебры, простые и сложные проценты, уравнения, прогрессии и комбинаторика, функции и графики, геометрия и ло­ гика, и, наконец, таких, где просто требуется смекалка.

§ 1 . Дроби, доли, пропорции и основные

действия арифметики и алгебры

Во многих экономических задачах приходится приводить дроби к общему знаменателю, а также производить их сокраще­ ние. При этом необходимо помнить, что величина дроби не изме­ нится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разде­ лить на одно и то же число:

а

а _ a-N a ^

~b~b-N' b~IT*

М

Для того чтобы сложить или вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть числители:

lb""d"~bd"bd~ db

Умножение дробей сводится к умножению числителя на чис­ литель и знаменателя на знаменатель:

а с _ ас

"b'cPbd'

Деление дробей сводится к умножению числителя первой дроби на знаменатель второй, а знаменателя первой на числитель второй дроби. Первое произведение становится числителем про­ изведения дробей, а второе - его знаменателем:

а с _ ad ~b'd"~bc"

Пример 2.1

Умирая, муж оставил завещание жене, которая ждала ребенка: если она родит сына, то ему будет причитаться2/3 оставленного

имущества, а матери - 73; если родится дочь, то имущество распределяется между ней и

матерью в соотношении 73 и2/у Родились близнецы - мальчик и девочка.

Как в этом непредвиденном случае распределить по спра­ ведливости имущество?

Решение

Решение неоднозначно и зависит от толкования воли заве­ щателя.

1) Если считать волей завещателя дать сыну наследство вдвое больше, чем матери (2/3 и 73), а дочери - вдвое меньше, чем матери (73 и 2/3), то наследство следует разделить в пропорции: дочери - 1 часть, матери - 2 части, сыну - 4 части, т. е. 77; 2/7; 4/7.

2) Если же считать волей завещателя также и желание не оставить матери менее 73 наследства (первое толкование этот прин­ цип нарушает: 2/7 меньше 73), то делить следует по-иному.

За матерью должна быть закреплена 73 наследства, а остав­

шиеся 2/3 делятся между сыном и дочерью в упомянутом соотно­ шении 1 : 4 (или 75 от 2/3 и 4/5 от2/3).

Тогда дочь получает2/15, сын 715, а мать 715 наследства.

Пропорция - это такая зависимость между четырьмя числа­ ми, при которой отношения в составленных из них двух парах рав­ ны между собой:

а : b = с : d.

При этом произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

а • d = b • с.

П р и м е р 2.2

Вам предлагают купить 100 т товара по 300 тыс. у.д.ед. за тонну. Товар в своем составе содержит жидкость, способную с те­ чением времени испаряться (это могут быть, например, творог, мясо или огурцы). Выясняется, что взвешивание проводилось месяц на­ зад. Тогда же было определено процентное содержание жидкости, которое равнялось 99 % (по весу). По вашему требованию на день купли производится повторный замер содержания жидкости, кото­ рый показывает, что теперь ее уже осталось в товаре 90 % (по весу).

Сколько денег вы должны заплатить за товар?

Решение

Вначале рассчитаем, какой процент и вес сухого остатка в товаре.

При первом замере жидкости сухой остаток составил 1 % и весил 1 т.

При втором замере - соответственно 10 % и снова 1 т (вес сухого остатка не меняется).

Интересующий нас вес всего товара (100 %) при втором за­ мере (х) находим из очевидной пропорции:

1 0 % - 1 т ,

1 0 0 % - * T ,

откуда х= Ют.

За этоттовар следует заплатить

Ют - 300 тыс. у.д.ед. = 3 млн у.д.ед.

Вбольшинстве экономических задач приходится производить

основные действия арифметики и алгебры: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Три предприятия строят сооружение на равных долевых на­ чалах. Для строительства потребовалось ПО каменных блоков. Первое предприятие в счет своей доли внесло 70 блоков, второе - 40, а третье решило свою долю блоков оплатить деньгами, выде­ лив для этого 110 тыс. у.д.ед.

Как разделить эти деньги между 1-м и 2-м предприятиями?

Решение

Доля каждого предприятия составляет:

по 3 тыс. у.д.ед., т.е. 210 тыс. у.д.ед.; 2-е предприятие - 40 блоков по 120 тыс. у.д.ед.; 3-е предприятие, как известно, - 110 тыс. у.д.ед.

Очевидно, что 3-е предприятие должно 1-му 100 тыс. у.д.ед. (210 - 110) и 2-му - 10 тыс. у.д.ед. (120 - 110).

Пример 2.4

При разделе в связи с ликвидацией предприятия его имуще­ ства стоимостью 860 тыс. у.д.ед. между тремя компаньонами было решено долю каждого определять пропорционально сроку его вступления во владение предприятием, которое было основано од­ ним из компаньонов шесть лет тому назад. При этом оказалось, что на каждые 3 доли, причитающиеся компаньону А, компаньону Б причитается 2, а на каждые 5 долей, причитающихся компаньону А, компаньону В причитается 6 долей.

1)Какую сумму получил каждый компаньон?

2)Сколько лет каждый компаньон владел предприятием?

Решение

Если принять долю компаньона А за единицу, то доля Б со­ ставит2/3, а доля В - 6/5. Переходя к целым числам (для этого нужно

умножить дробные доли на их общий знаменатель, равный 12), получим долю А, равную 15, долю Б - 10 и долю В - 18.

1) Исходя из долей, определим суммы, причитающиеся каж­ дому компаньону.

Компаньону А причитается:

15 = 20-15 = 300 тыс. у.д.ед.,

2) Из условия задачи и полученных долей ясно, что старший компаньон (В) владеет предприятием 6 лет (что в три раза меньше 18). Значит, в соответствии с долями компаньон А владеет пред­ приятием ,5/3 = 5 лет, а компаньон Б: ,0/3 = 3 года и 4 месяца.

П р и м е р 2.5

Товар ценой 120 у.д.ед. уценивается в три приема, причем при каждой уценке цена уменьшается в одно и то же количество раз. В результате последней уценки товар продается по себестои­ мости - за 35,6 у.д.ед.

Какая цена должна быть установлена в результате первой и второй уценок?

Решение

Обозначим величину уценки через х раз, тогда условие за­ дачи будет выглядеть так:

120 [(120 :*):*]:* = — = 35,6.

х

з 120

Откуда х3 = = 3,375, х = уЗ,75 = 1,5. 35,6

Следовательно, в результате первой уценки цена товара бу­ дет установлена

120: 1,5 = 80 у.д.ед,

ав результате второй -

80:1,5 = 53,3 у.д.ед.

§ 2. Простые и сложные проценты

Процент - это одна сотая доля величины. Тысячная доля на­ зывается промилле. Расчеты, связанные с процентами, производятся по тем же общим правилам, что и для дробей. Величина а в про­ центах от величины b рассчитывается по формуле:

— 100%. b

П р и м е р 2.6

Вы взяли в банке в кредит 1 млн у.д.ед. на 10 месяцев при ежемесячной кредитной ставке 30 %. Сколько вам придется упла­ тить за кредит?

Решение

Плата за кредит (Кр) рассчитывается по формуле Кр = В • П • С,

где В - величина суммы кредита (первоначального вклада в банк), П - процентная ставка, С - срок кредита.

Подставляя соответствующие цифры, получим: Кр = 106 • 0,3 10=10 млн у.д.ед.

П р и м е р 2.7

Вы получили в банке ссуду на 1 год в размере 5 млн у.д.ед. Ссуда принесла вам годовой доход 100 тыс. у.д.ед.

Какому проценту годовых (норме процента) это соот­ ветствует?

Решение

Норма процента (НП) равна: НП = — 100, где Д - доход,

В результате первой переоценки товара его цену снизили на 20 %. При второй переоценке новую цену уменьшили еще на 20 %. И, наконец, при сезонной распродаже последнюю цену уменьши­ ли еще на 30 %.

Какова стала продажная цена товара, если первоначально она составляла 1000 у.д.ед.?

Решение

Врезультате первого снижения цена товара стала равна: 1000 - (20 % от 1000) = 800 у.д.ед.

Врезультате второго снижения:

800 - (20 % от 800) = 640 у.д.ед. В результате третьего снижения:

640 - (30 % от 640) = 448 у.д.ед.

Сложные проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы, увеличивающейся за определенный срок на некоторый процент с учетом получения процентов на про­ центы.

Расчет сложных процентов производится по формуле:

процента прирастания за один срок, С - количество сроков прирастания.

Расчет сложных процентов производится с использованием десятичных логарифмов или (быстрее и проще) с помощью табл. 2.1.

П р и м е р 2.9

М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в "Господах Головлевых" такую сцену: "Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедуш­ кой "на зубок" сто рублей не присвоила себе, а положила в лом­ бард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей".

Попробуйте по приведенным цифрам рассчитать, по сколь­ ко процентов платил в то время ломбард по вкладам. Возраст Порфирия в момент его расчетов примем равным пятидесяти годам.

Решение

Обозначив искомый процент по вкладам через х, по фор­ муле сложных процентов получим:

800=100(1+х)5 0 .

Логарифмируя с помощью таблицы логарифмов, получим: Ig800 = lgl00 + 501g(l+x).

Сложные проценты рассчитываются и в задачах так называ­ емого дисконтирования - приведения денежного капитала к мо­ менту его вложения (инвестирования):

где Kt - величина капитала по истечении срока после вложения; В - капитал, вложенный в начале срока; t - количество оборотов капитала; п - процентная ставка или норма доходности (коэффи­ циент дисконтирования).

П р и м е р 2.10

При продаже помещения под офис фирмы продавец пред­ ложил предпринимателю два варианта выплат:

10 млн у.д.ед. сразу и по 2 млн у.д.ед. в течение 5 лет, либо 15 млн у.д.ед. сразу и по 1 млн у.д.ед. в течение 6 лет. Процентная ставка (коэффициент дисконтирования) равна

10% годовых.

Какой вариант выгоднее? (Проверьте вначале свою интуицию.)

Решение

При первом варианте суммарная выплата, приведенная к моменту продажи (см. табл. 2.1), равна: