Экономико-математические методы (Абчук)

Пример 2. Вы стали обладателем 27 одинаковых по разме­ ру и внешнему виду бриллиантов. В сертификате на драгоценные камниуказано, что один из них весит на незначительную величину меньше, чем остальные. Вес камней неизвестен. Желая отбрако­ вать неполноценный камень, вы попросили ювелира произвести взвешивание бриллиантов. Каждое определение веса на высоко­ точных чашечных весах стоит 100 руб. Какую сумму придется уплатить ювелиру?

Интуитивное решение задачи подсказывает, что число взве­ шиваний будет значительным, никак не меньше 20, а значит, обой­ дется более чем в 2000 руб. Между тем математический расчет дает сумму уплаты, равную 300 руб.

Пример 3. Вы собираетесь заключить сделку с некоей фир­ мой, причем знаете, что эта сделка может по отношению к вам оказаться как честной, так и нечестной. Переговоры с вами ве­ дет представитель фирмы, которому известны ее намерения. Представитель может быть как правдивым человеком, так и лжецом. Как вы думаете, можно ли, задав этому представителю единственный вопрос и получив в ответ "да" или "нет", безоши­ бочно оценить, будет ли сделка честной?

На первый взгляд задача кажется совершенно нереальной: слишком уж велика степень неопределенности. На самом деле за­ дача имеет вполне определенное решение.

Все три приведенных примера (так же, как еще более 370 дру­ гих) получают исчерпывающее решение на страницах этой книги.

Главная особенность всех рассмотренных примеров в том, что глазомерные, интуитивные решения оказываются несостоятель­ ными. Сбои, которые дает наша интуиция при решении расчетных задач, явление весьма характерное и вполне объяснимое. Наш мозг приспособлен успешно и быстро решать лишь те задачи, которым обучен. В этом он напоминает компьютер: нет программы, нет и решения. Разница лишь в том, что при отсутствии программы ком­ пьютер просто не будет работать, а вот человек - станет и... допус­ тит грубую ошибку. Это очень опасно. Ведь за каждым таким ре-

шением стоят упущенные возможности, без толку растраченные ресурсы, потерянное время.

Экономико-математические методы как раз и призваны ог­ радить предпринимателей и менеджеров от подобных ошибок, дать им надежное средство для правильного решения экономических задач.

Решение большинства задач экономической практики бази­ руется на элементарной математике: арифметике, алгебре, геомет­ рии. Это задачи с дробями, процентами, пропорциями, прогресси­ ями, уравнениями. Находят применение также функции и графи­ ки, комбинаторика, логика. Всем этим задачам в книге уделено дол­ жное место.

Наряду с элементарной математикой и логикой рассматри­ ваются также задачи, требующие применения аппарата высшей ма­ тематики, особенно в теории вероятностей и математической ста­ тистике, а также в таких сравнительно молодых методах, как мате­ матическое программирование (линейное, нелинейное, динамичес­ кое), теория игр и статистических решений, теория массового об­ служивания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), сетевое планирование.

Автор приложил немало усилий, чтобы сделать эти, для боль­ шинства практиков новые и экзотические методы доступными и интересными, не выходя за рамки обычной школьной математики. При таком упрощении неизбежно пострадала строгость изложе­ ния и доказательств, за что автор заранее приносит извинения рев­ нителям чистой математики, к которым он питает искреннее ува­ жение.

Итак, книга написана для практиков. Что же в ней найдут действующие и потенциальные предприниматели, менеджеры, спе­ циалисты по маркетингу и коммерции?

Книга состоит из двух частей.

Первая часть - описание экономико-математических мето­ дов. Вначале определяется их суть (глава 1), затем, во 2-й главе, описываются методы, основанные на традиционной школьной ма­ тематике. Экономико-математические методы, выходящие за пре­ делы элементарной математики и получившие название "методы исследования операций", составляют содержание главы 3.

Описание каждого метода сопровождается развернутыми примерами (всего их более семидесяти) с подробными решени­ ями.

Вторая часть книги содержит практикум: задачи и реше­ ния задач.

Задачи и решения содержат рубрики, соответствующие экономико-математическим методам, приведенным в первой части книги. Всего приводится 245 задач, носящих в основном оригинальный характер.

Для практического выбора наилучшего решения конкрет­ ной реальной задачи читатели могут воспользоваться приведен­ ными в § 3 1-й главы рекомендациями. Этому будет способство­ вать и предметный указатель, помещенный в конце книги.

Часть I

МЕТОДЫ

(ОПИСАНИЕ И ПРИМЕРЫ)

ГЛАВА 1. ЧТО ТАКОЕ ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

§ 1. Модели и моделирование

Рассмотрим типичную производственно-экономическую ситуацию.

На предприятии каждый из операторов обслуживает 6 од­ нотипных объектов. Это могут быть потребители, клиенты, техни­ ческие устройства. При возникновении у одного из объектов по­ требности в обслуживании оператор получает соответствующий сигнал, производит обслуживание и ждет следующего вызова. Сле­ довательно, какую-то часть своего рабочего времени оператор на­ ходится "на простое", что, понятно, ведет к экономическим поте­ рям предприятия.

Стремясь сократить простои, менеджер увеличивает нагруз­ ку на операторов: добавляет каждому еще по одному объекту об­ служивания.

Из этого, однако, ничего хорошего не получается: операто­ ры перестают справляться со своими обязанностями. Пока идет обслуживание одного из объектов, поступает вызов от другого, а поскольку в этот момент оператор занят, образуется очередь на обслуживание.

Менеджеру приходит на ум интересная идея: а нельзя ли создать бригаду из четырех операторов и закрепить за всеми вмес­ те 26 объектов? Может быть, в этом случае простои сократятся - из четырех операторов всегда кто-нибудь да окажется свободен и готов к обслуживанию очередного вызова. При таком распределе­ нии появится явный выигрыш: среднее число объектов, приходя-

щихся на одного оператора, увеличится по сравнению с существу­ ющим и станет равным 26 : 4 = 6,5. Налицо прямая выгода.

Но почему 26 на четырех, а не, допустим, 21 на троих - при этом выигрыш будет еще больше (21 : 3 = 7). Кстати, а где гаран­ тия, что при предлагаемых увеличениях нагрузки будут устранены очереди?

Решить такую задачу опытным путем, перебирая различные варианты прикрепления операторов к объектам, практически не­ возможно. Ни в каком опыте нельзя воссоздать все те условия, ко­ торые бывают в жизни: вызов от каждого объекта может прийти в любое время (в первук^минуту, во вторую минуту и т. д.), да и вре­ мя обслуживания может быть самым различным. Попробуй-ка пе­ ребрать все возможные сочетания для всех объектов.

Как же быть?

В подобном положении оказываются представители многих профессий. Скажем, конструктор проектирует новый самолет. Мож­ но сделать его в сотне, тысяче различных вариантов. Но какой из них лучше? Не строить же по каждому варианту самолет!

И конструктор находит выход. Он делает вначале не настоя­ щий самолет, а его модель. Несложная по устройству и поэтому недорогая модель не только заменяет на испытаниях реальный объект, но и делает его доступнее для изучения.

К моделированию прибегают всегда, когда необходимо ра­ зобраться в каком-нибудь сложном явлении, уловить его скрытые закономерности. Например, модель плотины гидроэлектростанции нужна инженерам для того, чтобы решить, каким должно быть это сложнейшее сооружение в действительности. При этом совершен­ но не важно, из какого материала смоделированы берега реки и железобетонное тело плотины. Они могут быть из обычного дере­ ва или пластмассы. И тем не менее такая игрушка ведет себя во многом совсем как настоящая река, перегороженная настоящей плотиной.

Простота модели по сравнению с реальным объектом дос­ тигается тем, что в ней сохраняется лишь самое главное, наиболее важное, а все второстепенное, не существенное для интересующей нас задачи, отбрасывается.

Модель чем-то напоминает беглый карандашный набросок. Один-два штриха на бумаге - и вот уже не только знакомые черты, но и характер, неповторимый образ человека. Кстати, портрет и скульптура, и литературный образ, и даже фотография любимого человека - это тоже модели. Модели, выполненные художествен­ ными средствами.

Создание моделей ситуаций, требующих принятия решений, моделей операций, как их называют, безусловно, совершается и в мозгу человека.

А нельзя ли попробовать создать модель интересующего нас процесса обслуживания объектов операторами? Вот только из ка­ кого материала ее лучше сделать? Оказывается, самым удобным, податливым (и дешевым) "материалом" для подобных моделей яв­ ляется не дерево, не пластмасса, а... математика. Представьте себе математическую формулу, показывающую, от чего зависит эффек­ тивность работы наших операторов. Подставляя в эту формулу цифры, показывающие возможное число объектов и количество обслуживающих их операторов, а также среднее время обслужи­ вания, мы можем получить решение, обеспечивающее эффектив­ ную работу предприятия.

Математика - язык, на котором сегодня говорит любая точ­ ная наука. Современная физика, химия, астрономия не мыслимы без математики. В наши дни математика прочно вошла и в такие науки, как биология, психология, в науку о языке. Не отстает и эко­ номика. Сбываются слова великого французского ученого, родо­ начальника рационализма Рене Декарта (1596-1650): "Все иссле­ дования, направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике".

Когда с помощью модели "из математики" (она получена на основе теории массового обслуживания - одного из экономикоматематических методов, с которым мы вскоре познакомимся) про­ извели расчеты нашей задачи, оказалось, что наилучший результат получится, если группу из трех операторов закрепить за 20-ю объек­ тами. В этом случае без всяких дополнительных затрат заметно увеличивается производительность труда, сокращаются простои операторов, их загрузка увеличивается примерно на 8 %.

И еще одно важное обстоятельство. Удобство математичес­ кого моделирования не только в его простоте и универсальности. Математическая форма модели позволяет привлечь для анализа сложнейших экономических ситуаций и выработки трудных реше­ ний мощного помощника - компьютер.

Вот несколько примеров экономико-математического моде­ лирования.

П р и м е р 1.1

Рассмотрим формулу эффективности (Э): Э = Р/3,

где Р - результат деятельности, 3 - затраты на получение данного результата.

Эта модель просто и наглядно показывает, что эффектив­ ность прямо пропорциональна результату и обратно пропорцио­ нальна затратам.

П р и м е р 1.2

Применим экономическое моделирование для изучения про­ изводственных возможностей.

Производственные возможности показывают способность предприятия производить различные наборы (сочетания) товаров при постоянстве ресурсов и при условии их полного использования.

Рассмотрим несколько ситуаций.

На маленький необитаемый остров в результате кораблекру­ шения выброшена группа людей (небольшой остров здесь нужен для оправдания ограниченности ресурсов). На острове водятся кролики, в реке есть рыба. Наши "робинзоны" в состоянии в день поймать в среднем:

либо одного кролика и 6 кг рыбы, либо трех кроликов и 4 кг рыбы, либо пять кроликов без рыбы.

Построим график производственных возможностей.

Для этого будем откладывать по оси X количество ежеднев­ но отлавливаемых кроликов, а по оси Y - количество килограммов ежедневно вылавливаемой рыбы (рис. 1.1). Для каждого из воз­ можных сочетаний улова отметим точки на графике и по ним пост-

роим кривую линию. Это и будет кривая производственных воз­ можностей (она показана двойной линией на рис. 1.1). Кривая про­ изводственных возможностей вогнута относительно начала коор­ динат, что говорит о характере зависимости между количеством добываемых источников пищи обоих видов: увеличение одного из них ведет к уменьшению другого, и наоборот.

6 Кролики, шт.

Рис. 1.1. График производственных возможностей

Все точки кривой производственных возможностей соответ­ ствуют такому сочетанию товаров (добываемых источников пиши), которое возможно для данных условий или, как принято говорить, соответствует эффективному бизнесу. Это, например, 4 кролика и 2 кг рыбы. Точки, лежащие внутри кривой производственных воз­ можностей, показывают такое сочетание товаров (количества кро­ ликов и рыбы), при котором возможности обитателей острова ис­ пользуются неполностью. А точки, лежащие снаружи кривой, со­ ответствуют такому сочетанию источников пищи, получение кото­ рого обитателями острова невозможно.

Построенная кривая соответствует вполне определенным возможностям обитателей острова: их количеству, умению охотить­ ся и рыбачить и т.п. Стоит изменить эти возможности - и кривая переместится на графике вправо при росте возможностей или вле-

во при их снижении. Это показано на рис. 1.1с помощью одинар­ ных линий. Нетрудно убедиться, что для линии уменьшившихся производственных возможностей количество улова уменьшается, а для линии увеличившихся возможностей - растет.

Итак, линия производственных возможностей позволяет решать следующие задачи:

-определять условия эффективного бизнеса;

-демонстрировать недостаток или избыток возможностей для конкретного сочетания производимых товаров;

-оценивать, за счет какого увеличения или уменьшения про­ изводимых товаров можно прийти к эффективному бизнесу.

Математические модели, созданные для целей экономики, изучаются специальной научной дисциплиной, получившей назва­ ние "экономико-математические методы ".

§2. Какие бывают экономические методы

ичто они могут

Экономико-математические методы представляют собой своеобразный инструментальный набор, с помощью которого эко­ номисты, бизнесмены, менеджеры, стремясь добиться наилучше­ го эффекта, "обрабатывают" свой материал. Этот инструментарий имеет свою историю.

...В 1938 г. к двадцатипятилетнему профессору Ленинградс­ кого университета Леониду Витальевичу Канторовичу обратились представители фанерного треста с необычной для того времени просьбой. Требовалось рассчитать наивыгоднейшее распределение работы восьми станков при условии, что известна производитель­ ность каждого станка по каждому из пяти видов материалов (мы еще встретимся с похожей задачей на страницах нашей книги).

Наука того времени не располагала методами для подобных решений. И молодому ученому ничего другого не оставалось, кро­ ме как придумать свой оригинальный метод решения "станковой" задачи.

Но, главное, сделанное Л.В. Канторовичем выходит далеко за пределы забот фанерного треста. Отталкиваясь от частной задачи, ученый нашел общий метод решения целого ряда важнейших эконо-