Экономико-математические методы (Абчук)

ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

(Необходимые пояснения к задачам см. в главе 3)

§ 1. Методы оптимизации: линейное, нелинейное и динамическое программирование (планирование)

204. Представим себе группу из трех станков, каждый из которых может производить два типа деталей, условно А и Б. Про­ изводительность каждого из станков по разным типам деталей, как правило, различна: станок №. 1 производит в одну минуту 5 дета­ лей А или 5 деталей Б, станок № 2 - 6 деталей А или 2 детали Б, станок № 3 - 5 деталей А или 3 детали Б. При решении задачи необходимо учитывать два ограничения:

1)ни один из станков не должен простаивать;

2)продукция должна быть комплектна: количество произ­ веденных деталей А должно равняться числу деталей Б.

Прежде всего попытаемся получить глазомерное решение задачи. Все расчеты будем производить исходя из общей продол­ жительности времени работы в 6 ч = 360 мин (одна смена).

На все указанное время загрузим станок № 1 деталями А, а станки № 2 и № 3 - деталями Б. Результат такого решения изобра­ зим следующим образом: слева покажем время загрузки станков по различным деталям, а справа - соответствующее количество про­ изведенной продукции (произведение времени работы на минут­ ную производительность):

212 Часть II. Задачи

206. Изготовление многих видрв современной промышлен­ ной продукции начинается с раскроя материала. Выкраивают не только одежду и обувь, но и детали корпуса корабля, кузова авто­ мобиля, фюзеляжа самолета. Раскраивают ткани и кожу, бумагу и стекло, металл и пластмассу. Кроить можно по-разному...

Перед нами листы дефицитного материала размером 6х 13 м. Из каждого такого листа необходимо выкроить по несколько заго­ товок двух видов: заготовки А - размером 5x4 м и заготовки Б - размером 2x3 м. Задача заключается в том, чтобы получить как можно больше заготовок обоих видов с наименьшим количеством отходов. Кроме того, как и в задаче со станками, необходимо обес­ печить комплектность заготовок: на 1 заготовку А должно прихо­ диться 5 заготовок Б.

Как вести раскрой? Какое решение принять?

207.В условиях задачи 206 стало возможным из каждого ли­ ста раскраивать заготовки любого вида (а не обязательно обоих).

Как это повлияет на план раскроя?

208.На ферме в качестве корма для животных используют­ ся два продукта: М и Н. Сбалансированное питание предполагает, что каждое животное должно получать в день не менее 200 кало­ рий, причем потребляемое при этом количество жира не должно превышать 14 единиц. Подсчитано, что в одном килограмме каж­ дого продукта содержится:

впродукте М - 150 калорий и 14 единиц жира;

впродукте Н - 200 калорий и 4 единицы жира.

Как разработать максимально дешевый рацион откорма жи­ вотных, отвечающий этим условиям, если стоимость 1 кг продукта

Мсоставляет 1,5 у.д.ед., а 1 кг продукта Н - 2,5 у.д.ед.?

209.Имеются два производителя товаров (А и Б) и три по­ требителя товаров (№ 1, № 2 и № 3). Все эти элементы канала рас­ пределения действуют независимо. Каждый производитель распо­ лагает определенным количеством товара: 60 и 40 (в у.ед.); каж­ дый потребитель готов приобрести определенную часть этого то­ вара: 50, 30, 20 (рис. 5.1). Относительная величина прибыли (эф-

фективность) каждого из производителей при продаже товаров каж­ дому из потребителей показана в таблице, помещенной на рис. 5.1 (в у.ед.).

ТАБЛИЦА

эффективности Ж1 №.МЪ

Пб 10 !*И

|12 18 6

/П N1 MS

Рис. 5.1. Горизонтальная организация каналов распределения

При горизонтальной организации каналов распределения товаров каждый из производителей стремится направить свой то­ вар по таким каналам, чтобы обеспечить себе наибольшую при­ быль. При этом интересы производителей сталкиваются: один и тот же канал может оказаться привлекательным для обоих произ­ водителей, а пропускная способность каждого канала ограничена. В итоге стихийно складывается распределение, один из возмож­ ных вариантов которого показан на рис. 5.1. При этом производи­ тель товаров А получает прибыль, равную сумме произведений единиц товара, направляемых каждому из потребителей на соот­ ветствующие эффективности.

Прибыль производителя товара А:

А =1016 + 3010 + 20.-8 = 620. Аналогично для производителя товара Б. Прибыль производителя товара Б:

Б =40 12 + 0- 18 + 0 - 6 = 480.

Производитель товара А оказался в явном выигрыше. Каза­ лось бы, что может быть для него лучше? Не будем, однако, торо­ питься с выводами.

Необходимо построить вертикальную организацию распре­ деления и сравнить ее эффективность с полученной для горизон­ тальной организации.

§2. Теория вероятностей

иматематическая статистика

210.Вы располагаете капиталом в 100 млн у.д.ед. и рассмат­ риваете альтернативные возможности вложения его либо в произ­ водство кинофильма, либо в торговлю.

Куда выгоднее вложить капитал?

211. Вероятность выигрыша на один билет равна 1 %. Сколько нужно приобрести билетов, чтобы с вероятностью

0,7 хотя бы один (не менее чем один) из них выиграл?

212. По прогнозу на лето в Санкт-Петербурге ожидается 80 % дней с теплой погодой, 80 % дней с пасмурной погодой и 60 % ветреных дней.

Сколько времени (в %) будет одновременно тепло, облач­ но и ветрено?

213. Ваша фирма собирается приобрести ценный электрон­ ный прибор. Прибор может оказаться выпущенным одним из трех заводов, причем заранее не известно, каким именно. Обычно в про­ дажу поступает 60 % приборов с завода № 1, 30 % с завода №2и 10 % с завода № 3. Соответственно вероятность того, что прибор проработает весь гарантийный срок без поломки, для различных заводов составляет: для завода № 1 - 0,9, для завода № 2 - 0,8, для завода № 3 - 0,6.

Какова вероятность того, что купленный фирмой прибор проработает весь гарантийный срок без поломки?

214.Какова вероятность совпадения дней рождения (день и месяц) у любых двух людей в группе из сорока человек? (Проверь­ те вначале свою интуицию.)

215."Закон парности" - так называют распространенную примету, согласно которой родственные события происходят не по одиночке, а парами: произошло одно - жди вскоре другого. К при­ меру, если случилась неприятность (болезнь, пропажа, "неуд" по контрольной работе) - повторение не за горами.

Существует ли в действительности подобная закономер­ ность, стоит ли всерьез принимать "закон парности"?

216.Вам, конечно, доводилось слышать пословицу: "Гора с горой не сходится, а человек с человеком всегда сойдутся"? Здесь речь идет о том, что случайная встреча двух людей в огромном мире весьма вероятна.

Так ли это? Стоит ли надеяться, что такая встреча может действительно произойти?

217. "Законы подлости" - так называют пословицы типа: "Все плохое, что может случиться - случается". Пожалуй, самый попу­ лярный из этих "законов" - наш "закон бутерброда": "Бутерброд все­ гда падает маслом вниз". Американский вариант проводит ту же мысль в несколько завуалированной форме: "Нельзя заранее опре­ делить, какую сторону бутерброда следует намазать маслом". Или в более строгой формулировке: "Вероятность того, что бутерброд упа­ дет маслом вниз, прямо пропорциональна стоимости ковра".

С чем связан явный пессимизм, присущий "законам подлос­ ти"? В какой мере эти законы отвечают реалиям жизни?

218. Необходимо выбрать один из двух типов объектов для вложения капитала. Анализ статистической информации инвести­ рования аналогичных проектов показывает:

При вложении капитала в объекты типа А: прибыль 15 млн у.д.ед. имела место в 40 случаях, прибыль 20 млн у.д.ед. имела место в 20 случаях, прибыль 25 млн у.д.ед. имела место в 15 случаях. При вложении капитала в объекты типа Б: прибыль 12 млн у.д.ед. имела место в 60 случаях, прибыль 16 млн у.д.ед. имела место в 48 случаях, прибыль 24 млн у.д.ед. имела место в 36 случаях.

Необходимо выбрать тип объектов для вложения капитала, обеспечивающий наибольшую прибыль.

219. Возможно осуществление двух новых проектов, сопря­ женных с риском. Первый проект сулит получение в течение года прибыли 15 млн у.д.ед. с вероятностью 0,4, но не исключается и убы­ ток 2 млн у.д.ед. (вероятность его равна 1 - 0,4 = 0,6). Второй проект обещает прибыль 10 млн у.д.ед. с вероятностью 0,5; возможный убы­ ток здесь имеет вероятность 0,5 и может составить 8 млн у.д.ед.

Какой проект предпочтительнее с точки зрения ожидаемой прибыли?

220.В условиях предыдущей задачи определить, какой про­ ект предпочтительнее с точки зрения меньшего различия в вероят­ ностях прибылей и убытков (как бы более осторожный)?

221.В условиях задачи 220 определить, какой проект пред­ почтительнее с точки зрения соотношения изменений вероятнос­ тей прибыли и ее величины?

222.В условиях задачи 220 определить, какой проект пред­ почтительнее с точки зрения соотношения изменений вероятнос­ тей убытка и его величин?

§ 4 . Теории игр и статистических решений. Групповые решения

230. Торговый агент должен встретиться с иногородним кли­ ентом и собирается лично вручить ему заказ на 3000 у.д.ед.

Если агент поедет поездом, то потеряет день на работе, ко­ торый принес бы ему 1500 у.д.ед.

Полет самолетом позволит сократить рабочий день, но если самолет не полетит из-за тумана, то личная встреча с клиентом не состоится и день на работе будет потерян. В этом случае придется говорить с клиентом по телефону, что уменьшит сумму заказа на 500 у.д.ед. Вероятность тумана оценивается как 0,1 (по статистике в это время года 1 день из 10 - с туманом).

Какое решение должен принять агент?

231. Новый прибор, разрабатываемый на одном из предпри­ ятий, предлагается оснастить предохранителем. Предохранитель гарантирует сохранность прибора на случай внезапного прекраще­ ния подачи электроэнергии. Стоимость предохранителя 50 руб. Стоимость ремонта прибора при выходе его из строя (если не бу­ дет предохранителя) - 150 руб.

Стоит ли ставить предохранитель, ведь прекращения пода­ чи электроэнергии может и не произойти? Иными словами, стоит ли идти на риск?

232.Решить предыдущую задачу для случая, когда предох­ ранитель стоит также 50 руб., ремонт - 150 руб., если вероятность аварии равна 0,2, а вероятность безаварийной работы - 0,8.

233.Ваша фирма страхует автомобили граждан от угона на суммы по 5 тыс. руб. за один автомобиль. По статистике ве­ роятность угона автомобиля за год составляет 0,05 %.

Какова должна быть сумма годового страхового взноса, чтобы годовой доход фирмы от страхования составил 1 млн руб.? (Примем, что в год вы страхуете в среднем 100 автомо­ билей.)