Экономико-математические методы (Абчук)

Любая точка заштрихованной области допустимых планов, как видно из названия, даст нам какой-либо один возможный план, отвечающий обоим принятым условиям - ограничениям. Так, на­ пример, точка О соответствует нашему глазомерному плану: время работы над деталью А на станках № 2 и № 3 равно нулю.

В поисках наилучшего плана посмотрим, какой план распре­ деления станков дает другие точки области. Вот, скажем, точка В. Как видно из графика, этой точке соответствует время работы над деталью А станка № 2, равное 90 мин, станка № 3 - 360 мин. По этим данным нетрудно составить второй план распределения стан­ ков, причем время, отводимое на производство детали Б станками

№2 и № 3, получится как дополнение до 360 мин времени, снятого с графика, - станки не должны простаивать. Что касается станка

№1, то его время работы подбирается таким, чтобы общее количе­ ство деталей А и Б совпадало.

Второе решение, следовательно, будет выглядеть так:

Вот так результат! Мы сразу же, можно сказать бесплатно, на том же оборудовании увеличили производительность на 1080 деталей, т.е. на целых 30 %.

Нас, однако, продолжает мучить законный вопрос - доби­ лись ли мы уже самого лучшего, оптимального решения, или нет? Стоит ли дальше пытаться улучшить план?

В теории математического программирования убедительно показывается, что оптимальному решению соответствует одна из вершин многоугольника допустимых планов, а именно та, для ко­ торой общая производительность окажется максимальной. В на­ шем случае это вершина С.

Действительно, рассчитывая известным уже нам путем план распределения станков для этой точки, получим следующее решение:

Мы получили план почти наполовину (на 45 %) лучше, чем глазомерный. И этот существенный прирост, подобно предыдуще­ му улучшению, ничего (если не считать умственных усилий на пла­ нирование) не стоит. Никакого дополнительного расхода каких-либо ресурсов не потребовалось. Те же станки, те же детали, те же ста­ ночники работают то же время. Не меняются и производительнос­ ти станков. Эффект здесь чисто интеллектуальный, "умственный" - за счет рационального распределения ресурсов оборудования (кстати, слово латинского происхождения "рациональный" озна­ чает разумный). Умное, обоснованное решение сделало чудо, в которое даже трудно поверить. Подобный "чудесный" результат, как мы уже понимаем, характерен для всех решений, принимае­ мых с помощью научных методов.

205. Как будет проходить подбор кандидатов на должности? Сделаем это сначала на глаз.

Первый по алфавиту кандидат А лучше всего отвечает долж­ ности V. Закрепим за ним эту должность, поставив в правом верх­ нем углу соответствующей клетки звездочку.

Следующего кандидата Б лучше всего было бы назначить на должность V, но она уже занята. Поэтому направим его на наибо­ лее подходящую из оставшихся - должность I. И так далее.

Оценку полученного штатного расписания произведем так, как мы это делали в задачах математического программирования, - сум­ мируя оценки соответствующих назначений:

60 + 40 + 50 + 20+10= 180.

Хорошее ли это расписание? Ответить на такой вопрос мож­ но, лишь зная оптимальный вариант. Получить его путем сплошно­ го перебора всех возможных расписаний, как мы уже знаем, практи­ чески нельзя: при распределении всего 10 кандидатов по 10 долж­ ностям число возможных вариантов измеряется миллионами.

Существуют, к счастью, приемы направленного перебора ва­ риантов, построенные на основе методов исследования операций. Применение этих приемов выводит на следующее оптимальное штатное расписание:

Оценка качества данного расписания: 40 + 80 + 80 + 70 + 60 = 330.

Оценка показывает, что оптимальное расписание почти в два раза лучше, чем глазомерное.

206. Прежде всего нужно установить все возможные спосо­ бы раскроя наших листов по требуемым заготовкам (рис. Р.8). Нач­ нем с того, что постараемся получить с одного листа как можно больше заготовок А - они крупнее, чем Б, и для них труднее по­ дыскать место на листе. Оказывается, однако, что более трех заго­ товок А с листа выкроить невозможно. Исходя из этого, предус­ мотрим способы раскроя для получения трех, двух и одной заго­ товки А и наибольшего возможного количества заготовок Б с лис­ та. Каждому способу дадим номер:

способ №1:3 заготовки А и 1 заготовка Б; способ №2:2 заготовки А и 6 заготовок Б; способ №3:1 заготовка А и 9 заготовок Б.

Pwc. P.5. Способы раскроя материала

Заметим, что при всех способах раскроя часть площади ли­ ста остается неиспользованной и идет в отходы. На рисунке эта площадь заштрихована.

Для составления оптимального плана раскроя материала построим график, подобный тому, который мы рисовали в задаче со станками. На рис. Р.9 по оси х отлржено количество заготовок А, а по оси у - число заготовок Б. При этом каждому способу раскроя соответствует своя точка на графике. Так, точка "способ № 2" стоит на пересечении двух заготовок А и шести заготовок Б. Точки - способы раскроя - указывают границы области допусти­ мых планов.

Для того чтобы обеспечить комплектность заготовок, необ­ ходимо ограничиваться лишь теми точками области допустимых планов, которые лежат на луче ОЛ. Он построен таким образом, что все его точки соответствуют требуемому отношению загото­ вок А и Б:

число заготовок А число заготовок Б 5

Какой же план раскроя наиболее рационален?

Очевидно, тот, которому соответствует точка, наиболее отда­ ленная от начала координат, - ведь при этом число заготовок будет

наибольшим. Этот план дает точка, лежащая на пересечении луча ОЛ с границей области допустимых планов - линией, соединяющей способы № 2 и № 3. Она находится как раз посередине между упомянутыми способами. Итак, оптимальный план раскроя зак­ лючается в том, что половина листов кроится способом № 2, а половина - способом № 3.

ЧИСЛО ЗАГОТОВОК Б

СП0С0БЖЗ

чим 100-2 = 200 заготовок А и 100 * 6 = 600 заготовок Б; вторую половину листов раскроим по способу № 3. Получим 100 - 1 = 100 заготовок А и 100 • 9 = 900 заготовок Б. Всего же получилось 300 заготовок А и 1500 заготовок Б - комплектность 1 к 5 соблюдена. А чем этот план лучше других? На этот вопрос ответят следующие любопытные цифры.

Предположим, что тот, кто ведет раскрой, не знает современ­ ных методов обоснования решений и действует без расчета, на гла­ зок. Не исключено, что он станет раскраивать наши 200 листов

иваемых по способу № 2, и 74 - по способу № 4. Приведем точный расчет по данному варианту раскроя. Обозначая через х долю лис­ тов, раскраиваемых по способу № 2, можно написать:

число заготовок А = 2х + 0 (1 - х), число заготовок Б = 6лг-ь13(1— лг).

ЧИСЛО ЗАГОТОВОК В

^ ЧИСЛО ЗАГОТОВОК А

0 1 2 3 1

Рис. PJJ

Здесь 2х - число заготовок А при способе № 2, а 0(1 - х) - число заготовок А при способе № 4;

вх - число заготовок Б при способе № 2, а 13 (1 -JC) - число

заготовок Б при способе № 4.

С другой стороны, известно, что число заготовок А _1 число заготовок Б 5

Следовательно,

2х

6х+ 13(1-х) 5'

откуда х =0,764.

Оптимальное решение о рационе соответствует точке В на графике, полученной при совместном решении неравенств (1) и

(2). Этой точке соответствует:

дневное количество продукта М, равное 0,9 кг, и дневное количество продукта Н, равное 0,32 кг.

Стоимость дневного рациона будет при этом минимальной

исоставит 2,16 у.д.ед.

209.Рассмотрим вертикальную организацию каналов рас­ пределения товаров (рис. Р. 13). В этом случае, как упоминалось, распределение товаров осуществляется не в интересах отдельного производителя товара, а системы в целом: принимается такое рас­ пределение, при котором суммарная прибыль обоих производите­ лей будет максимальной. Для нахождения такого распределения (оно называется оптимальным) используются специальные мето­ ды, рассмотренные в соответствующей главе данной книги. В про­ стейших задачах рассматриваемого типа решение может быть по­ лучено и на глаз, путем подбора. На рис. 5.1 показано такое опти­ мальное распределение. Величина суммарной прибыли обоих про­ изводителей товаров равна:

общая прибыль производителей товаров А и Б = 50 • 16 + 0 • 10 + 10 • 8 + 0 • 12 + 30 • 18 + 10 • 6 = 1 4 8 °-

Ж Ш Н%

Рис. Р. 13. Вертикальная организацийгашаловраспределения