Экономико-математические методы (Абчук)

Это существенно (на 35 %) больше, чем суммарная прибыль при горизонтальном распределении (620 + 480 = 1100).

Разделив полученную при вертикальном распределении об- f 1480^1

щую прибыль пополам ~ Ь получим 740 единиц, что значи­ тельно больше, чем прибыль "победителя" при горизонтальном рас­ пределении товара (740 - 620 = 120).

§2. Теория вероятностей

иматематическая статистика

210.В соответствии с теорией статистических решений среднеожидаемая прибыль равна:

при вложении капитала в кинофильм

90-0,2+10 0,8 = 26%; при вложении капитала в торговлю

30 • 0,7 + 20 • 0,3 = 27 % .

Следовательно, выгоднее вкладывать капитал в торговлю.

211. Расчет производится по формуле теории вероятностей:

igO-p.)*

где N - требуемое количество билетов, из которых хотя бы один (не менее одного) выиграет, Р - вероятность удачи - выигрыша хотя бы одного из купленных билетов, Рв - вероятность выигрыша в лотерею на 1 билет.

212.80 %-20 %-40 % = 20 %.

213.По формуле из теории вероятностей вероятность того, что купленный фирмой прибор проработает весь гарантийный срок

без поломок, равна:

Р= 0,6 • 0,9 + 0,3 • 0,8 + 0,1 • 0,6 = 0,84, или 84 %.

214.Интуиция здесь вас почти наверняка подведет. Расчет

сводится к тому, что нужно перемножить число сомножителей, рав­

ное числу человек в группе. Первый сомножитель равен 365/365 (по числу дней в году), второй 364/365, третий 363/365 и т.д. В итоге пере­ множения получается весьма значительная вероятность: для соро­ ка человек около 89 %. Этот расчет, кстати, несложно проверить, опросив о днях рождения группу из 40 человек.

215.Явление, называемое "законом парности", действитель­ но существует. В основе его - теория вероятности. Суть заключа­ ется в том, что вероятность совпадения однотипных и связанных между собой событий оказывается достаточно значительной, во всяком случае, намного большей, чем кажется на первый взгляд. Это-то необычное совпадение и называют "законом парности". Примером проявления этого закона может служить совпадение дней рождения у двух людей (см. задачу 214); так, вероятность того, что двое из 50 человек родились в один и тот же день и месяц года (парно), весьма значительна и достигает 97 %. Событие со столь высокой вероятностью почти наверняка произойдет, удивив окру­ жающих и заставив их вспомнить о "законе парности".

216.Встреча двух людей, затерянных в огромном мире, воз­ можна. Она значительно вероятнее, чем кажется на первый взгляд. Дело в том, что на возможность такой встречи влияет сразу не­ сколько различных факторов, действующих в общем направлении. Вероятности этих факторов суммируются (0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6), и шансов на встречу оказывается тем больше, чем больше у вас зна­ комых, чем чаще они попадаются на вашем пути, чем чаще вы по­ являетесь на людях, чем дольше вы ждете этой встречи и т. д. В итоге вероятность получается довольно значительной, и встреча, на удивление, может состояться.

292Часть II. Решения задач

217."Законы подлости", увы, имеют под собой почву. Дело в том, что те события, которые нас интересуют и ради появления которых мы стараемся, как правило, имеют меньшие вероятности, чем те события, которые нам "даром не нужны". Это объясняется тем, что любое человеческое свершение требует определенной орга­ низованности и связанных с ней многообразных разносторонних усилий, вероятности которых умножаются. В итоге общая вероят­ ность оказывается меньше, чем вероятность каждой составляющей в.отдельности (0,5 • 0,4 • 0,6 = 0,12). Эта-то малая вероятность "под­ ло не дает" получить нужный результат.

Что касается пресловутого бутерброда, то его падение "мас­ лом вниз" лишь означает, что предоставленные самим себе, собы­ тия идут не так, как нам хотелось бы. Как гласит один из "законов подлости", "предоставленные самим себе события развиваются от плохого к... худшему".

Вкачестве общего результата по задачам 214-217 выступа­ ет то, что наша интуиция проявляется в них не лучшим образом. При этом вероятности интересующих нас событий преуменьша­ ются, и поэтому реальный результат - появление якобы маловеро­ ятного события - вызывает удивление.

Резонно высказать предположение, что преуменьшение ве­ роятностей ожидаемых явлений - одна из характерных закономер­ ностей принятия решений.

218. Среднеожидаемое значение (математическое ожидание) прибыли (X) рассчитывается как сумма математических ожиданий прибыли. Ожидаемая прибыль находится как произведение вели­ чины предполагаемой прибыли на ее вероятность. Необходимые для этого вероятности находятся, как показано в примере 3.12.

При вложении капитала в объекты типа А: общее число случаев равно 40 + 20 + 15 = 75;

Х = 1 5 — + 2 0 — + 2 5 — = 18,35 млн у.д.ед. 75 75 75

Следовательно, с точки зрения ожидаемой прибыли значи­ тельно (почти в 5 раз) выгоднее первый проект.

220.Для первого проекта различие в вероятностях прибыли

иубытка составляет:

0,6-0,4 = л и 5 ( ) % 0,4

Для второго проекта это различие равно:

0,5-0,5 = ( )

0,5 Следовательно, с точки зрения меньшего различия в возмож­

ностях прибыли и убытка лучше выглядит второй проект.

2?1. По сравнению с первым проектом во втором проекте вероятность получения прибыли вырастает на

°'5 ~0 '4 =0,25,или25%, 0,4

в то время как величина прибыли падает на

15-10 = 0,33, или 33%.

15

Этот расчет можно проверить, собрав достаточное количе­ ство (порядка тысячи) любых билетов с шестизначными номерами и сосчитав, сколько "счастливых" приходится в среднем на сотню. Должно получиться 5-6 билетов.

225. При скорости движения колонны 4 км/ч (скорость пе­ шехода), за один час под аркой пройдет около 2 тыс. человек (пола­ гая, что на одном километре разместится около 500 людей).

За сутки пройдет 2 тыс. • 24 часа = 48 тыс.,

за год -

48 тыс. • 355 суток « 17 млн человек.

Эта цифра сопоставима с ежегодным приростом населения Китая. Следовательно, к концу года перед аркой окажется столько же людей, сколько было вначале. Ответ на поставленный вопрос: никогда.

§ 3 . Теория массового обслуживания (теория очередей). Метод Монте-Карло

226. С точки зрения общей продолжительности приема лю­ бая очередность посетителей равнозначна: суммарное время при­ ема не меняется при любой его последовательности. А с точки зре­ ния ожидания в очереди? Подсчитаем общее время ожидания как сумму времени ожидания всех посетителей. В нашем алфавитном списке оно составляет 260 мин = 4 ч 20 мин. Понятно, что это вре­ мя желательно было бы уменьшить: ведь время ожидания - зря потраченное время. Но вот можно ли это сделать? Приведет ли расписание с другой последовательностью приема к экономии об­ щего времени ожидания при сохранении намеченного суммарного времени приема?

Оказывается, получение такого расписания возможно. В од­ ном из методов исследования операций - так называемой теории расписаний-доказывается, что наименьшее суммарное время ожи-

дания получается при составлении расписания в порядке на­ растания продолжительности приема. Составим такое расписание:

Полученное оптимальное расписание позволяет уменьшить суммарное время ожидания на 1 ч 10 мин. Это значительно сэко­ номленное время можно использовать на полезные дела.

Задача директора находит применение не только в прием­ ной руководителя. Ведь таким же образом можно составить и распи­ сание очередности работы станка или другого оборудования над различными деталями. Продолжительность обработки при этом бывает различной, и нужно составить расписание таким образом, чтобы суммарное время обработки оказалось наименьшим. Это, как мы видели, дает существенный временной, а значит, и эконо­ мический эффект.

227. В теории расписаний доказывается, что в задаче двух станков для обеспечения оптимальной последовательности обра­ ботки с наименьшим временем ожидания необходимо составлять расписание, руководствуясь следующими правилами:

1) выбирается деталь с наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере - это деталь № 9;

2)выбранная деталь помещается в начало очереди, если наименьшая продолжительность обработки соответствует станку

№1, или в конец очереди, если - станку № 2; в нашем примере деталь № 9 помещается в конец очереди;

3)столбец таблицы, ранее занятый выбранной деталью, вы­ черкивается;

подходит, так как здесь Рп < 0,02.

Следовательно, искомое количество операторов п = 4.

§4 . Теории игр и статистических решений

230.Условие задачи сводится в следующую таблицу:

Цифры, оценивающие ожидаемый результат, получены из следующих соображений:

при полете самолетом в случае тумана агент не потеряет день на работе, который принесет 1500 у.д.ед., и получит у ино­ городнего клиента заказ по телефону, что даст еще 500 у.д.ед., итого 2000 у.д.ед.;

если при полете самолетом будет ясная погода, то он ус­ пеет получить 1500 у.д.ед. дома и 3000 - от иногороднего кли­ ента, итого 4500 у.д.ед.;

в случае поездки поездом, независимо от погоды, он полу­ чит у иногороднего клиента заказ на 3000 у.д.ед.

Расчеты, приведенные справа от таблицы, показывают, что наибольший среднеожидаемый результат соответствует решению "лететь самолетом ".