31

Если ryx 1 < 0 , то фактор (x1) и выходной параметр (y) изменяются в разных направлениях.

Если ryx 1 → 1 , то связь между фактором (x1) и выходным параметром (y) сильная и практически линейная.

Если ryx 1 → 0 , то связь между фактором (x1) и выходным параметром (y) крайне слабая или не соответствует линейной зависимости.

2.5. Регрессионный анализ результатов моделирования

Регрессионный анализ найденного уравнения математической модели включает проверку статистических гипотез об однородности выборочных дисперсий параллельных измерений, о значимости коэффициентов регрессии, об адекватности уравнения модели.

2.5.1. Проверка гипотезы об однородности выборочных дисперсий параллельных измерений

Пусть каждый эксперимент по определению y был повторен (при тех же значениях соответствующего фактора) m раз (табл.2.2 и 2.3).

На основе расширенной выборки y для каждой i-й строки параллельных замеров находят среднее значение выходного параметра ( yi ) и оценку выборочной дисперсии ( Si2 ):

Как следует из (2.21), выборочная дисперсия параллельных измерений выходного параметра характеризует воспроизводимость y . На множестве

выборочных дисперсий { S12 , S22 ... SN2 } определяют максимальную

Smax2 {Si2 }.

Отношение максимальной выборочной дисперсии параллельных измерений к их сумме называют критерием Кохрена:

i =1

По формуле (2.22) определяется так называемое расчетное значение критерия Кохрена. Табличные значения этого критерия, соответствующие определенной доверительной вероятности (β), приведены в справочниках по математической статистике. Для технических объектов обычно используют таблицу G критерия для β=0,95. С такой вероятностью принимается гипотеза об однородности выборочных дисперсий параллельных измерений y (гипотеза о воспроизводимости значений выходного параметра объекта). Вероятность ошибки (напрасно отвергнутой правильной гипотезы) соответственно равна p = 1- β = 0,05. Это так называемый статистический уровень значимости критерия.

Табличное значение критерия Кохрена (Gтаб) определяется с учетом степеней свободы (f1 и f2), определяемых размерами экспериментальной выборки (приложение 1):

f1 = N, f2 = m-1.

Если выполняется условие

то выборочные дисперсии параллельных замеров y однородные и можно считать, что в экспериментальной выборке достигнута хорошая воспроизводимость выходного параметра.

Если условие (2.23) не выполняется и Gрас > Gтаб , то воспроизводимость выходного параметра плохая, следует внести изменения в экспери-

33

ментальную выборку: увеличить число параллельных замеров (m ), пересмотреть схему эксперимента или его техническое оснащение.

Критерий Кохрена можно использовать для построения алгоритмов управления биотехнической системой. Например, в биотехнической системе, реализующей методики субъективной тональной аудиометрии, можно с помощью G критерия оценивать уровень ошибок при построении отдельных точек кривой порогов слуха (рис.2.6).

В соответствии с этой методикой частота тональных испытательных сигналов выбирается из дискретного множества {125, 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000 [Гц]}. На каждой i-ой частоте выявляется минимальный по интенсивности уровень сигнала, который воспринимается пациентом. Эта величина рассматривается в качестве порога слуха на i-ой частоте.

На каждой частоте оценка порога слуха выполняется несколько раз. Таким образом, если испытательные частоты рассматривать как значения фактора, а оценки порогов слуха – как выходной параметр, то можно по

формулам (2.20) – (2.22) найти Gрас и проверить условие (2.23).

Если оно выполняется, то ошибка в оценке порогов слуха на всех частотах примерно одинаковая.

Если условие (2.23) не выполняется, то по меньшей мере на одной частоте ошибка в оценке порогов слуха слишком большая и необходимо на этой частоте повторить тест.

Как видно из приведенного примера (рис.2.6, табл.2.4), наибольший разброс значений порогов слуха наблюдается на частоте 4000 Гц.

34

Выделено 7 испытательных часто, следовательно, N=7. Каждый порог слуха оценивался три раза (m=3). С учетом этих параметров получим значения степеней свободы: f1 =7, f2=3-1 = 2 и найдем табличное значение

критерия (Gтаб = 0.83).

Найденное расчетное значение критерия (Gрас = 0.84) позволяет сделать вывод, что необходимо заново провести эксперименты на частоте

4000 Гц.

2.5.2. Проверка гипотезы о значимости оценок коэффициентов регрессии

Если выборочные дисперсии параллельных измерений выходного параметра Y однородны, то на основе среднего их значения можно определить дисперсию воспроизводимости:

Для проверки значимости каждого коэффициента уравнения применяется критерий Стьюдента:

Расчетное значение критерия (2.25) сравнивается с табличным значе-

нием ( tbтаб, ). При заданном статистическом уровне значимости критерия