15

Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели М процесса функционирования системы (объекта):

1)полнота модели должна предоставлять пользователю возможность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.

2)гибкость модели должна давать возможность воспроизведения различных ситуаций при варьировании структуры, параметров системы.

3)длительность разработки модели должна быть по возможности минимальной.

4)структура модели должна быть блочной, т.е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.

5)программные и технические средства должны обеспечивать эффективную по быстродействию и памяти программную реализацию модели.

1.3.Классификация математических моделей

Вкачестве основания для классификации математических моделей очень удобно выбрать такой явный признак, как тип моделируемого объекта. По типу исследуемого объекта различают математические модели технических устройств, технологических процессов, производств, предприятий.

Каждую из выделенных групп моделей в свою очередь можно разбить на ряд групп и подгрупп в зависимости от принятых для них классификационных признаков. В качестве последних наиболее часто используют факторы времени (непрерывные и дискретные модели), описываемый в модели режим работы объекта (динамический и статический), вид функциональной связи (линейная или нелинейная).

Например, на этой основе можно классифицировать математические модели технических объектов и устройств, выделив восемь групп моделей

(рис.1.4).

Взависимости от характера отображаемых свойств математические модели делятся на функциональные и структурные. Функциональные модели отображают процессы, протекающие в объекте. Чаще всего эти модели задаются в виде систем уравнений.

Структурные модели применяются в задачах проектирования, связанных с описанием облика изделия, в задачах конструкторского проектирования. Это модели, отображающие геометрические свойства объекта (элементы, из которых состоит объект и характер связей между элементами). Эти математические модели имеют форму матриц, графов и т.п.

16

По способу построения математических моделей выделяются класс формальных (экспериментально-статистических) математических моделей и класс неформальных (аналитических) моделей.

Формальные математические модели создаются по результатам экспериментальных наблюдений за некоторым объектом-аналогом. Уравнения связи Y=F(X, Z) носят условный характер и не отражают внутренней структуры, конструктивных и технологических особенностей объекта.

Математические модели технических объектов и устройств

Рис.1.4. Классификация математических моделей

Неформальные модели создаются на основе универсальных уравнений сохранения (массы, энергии, импульса). Уравнения связи Y=F(X, Z) отражают общие законы сохранения, элементарные физико-химические процессы, протекающие в объекте.

По виду функциональной связи между входными и выходными параметрами (F(X, Z)) принято выделять линейные и нелинейные математические модели.

17

Задачи исследования объекта могут ограничиваться определенным режимом его функционирования. В соответствии с этим признаком выделяются модели статики и динамики.

Математическая модель динамики описывает переходный режим работы объекта и отображает изменение во времени выходных координат (Y(t)) объекта.

При разработке математической модели динамики детерминированного объекта используют различные виды дифференциальных уравнений.

1. Для описания модели динамики стационарного объекта с сосредоточенными координатами применяют обыкновенные дифференциальные уравнения или передаточные функции:

2. Для описания модели динамики стационарного объекта с распределенными координатами применяют дифференциальные уравнения в частных производных:

3. Для описания модели динамики нестационарного объекта с сосредоточенными координатами применяют обыкновенные дифференциальные уравнения или передаточные функции с переменными во времени коэффициентами:

4. Для описания модели динамики нестационарного объекта с распределенными координатами применяют дифференциальные уравнения в частных производных с переменными во времени коэффициентами:

Математическая модель статики описывает установившийся режим работы объекта ( dYdt =0 ) и отображает зависимость выходных координат объ-

екта (Y) от его входных координат (X).

При разработке математической модели статики детерминированного объекта используют различные виды конечных и дифференциальных уравнений.

5. Для описания модели статики стационарного объекта с сосредоточенными координатами применяют алгебраические (конечные) уравнения

:

18

точенными координатами применяют конечные уравнения с переменными во времени коэффициентами:

1.4. Понятие об адекватности математической модели

Пусть математическая модель задана в виде уравнения статики: (1.12)

Имеется объект (оригинал), на вход которого можно подать некоторое возмущение, установив новое значение вектора входных координат X = X * . Используя эти значения в уравнении (1.12), можно найти расчет-

ные значения вектора выходных координат Yрас (X * , B* ) . Сравнивая этот

вектор с соответствующими значениями, полученными в ходе эксперимента на объекте (оригинале), можно сделать вывод о степени близости модели к оригиналу (рис.1.5).

между Yрас( X *,B* ) и вектором Yэсп( X * ) , полученном на объекте при X = X * , меньше заданного числа , т.е.

ρ[Y (X * , B* ),Y (X * )]< .

19

где ρ – функция невязки, определяет формулу для расчета расстояния;

– допустимая ошибка, характеризует степень адекватности модели.

Рис.1.5. Определение адекватности модели объекта

Адекватность модели зависит от степени полноты и достоверности сведений об исследуемом объекте, степени детализации модели, точности идентификации параметров модели, уровня подготовки и опыта исследователя.

1.5. Общая характеристика методов составления математических моделей

Анализ любого метода разработки математической модели позволяет выделить три необходимых этапа в решении этой задачи:

определение структуры функции связи f входных X и выходных Y координат объекта (формирование в общем виде уравнения математической модели);

определение параметров модели (коэффициентов уравнения математической модели ) B. Задача идентификации вектора параметров В;

проверка адекватности математической модели.

В зависимости от способов решения задач первого и второго этапов различают три группы методов составления математических моделей: формальные (экспериментально-статистические методы), неформальные (аналитические методы) и комбинированные методы.

Формальные (экспериментально-статистические) методы применяются для построения математических моделей стационарных и нестационарных объектов, только с сосредоточенными координатами. Главными особенностями этих методов являются:

одинаковые с точностью до В формальные математические модели

20

могут описывать разные БТС; не требуется глубокое изучение особенностей моделируемого объекта;

точность математической модели достигается путем повышения размерности вектора параметров (коэффициентов) В.

В основе формальных методов построения математических моделей лежит кибернетическое представление об объекте моделирования, как о некотором черном ящике (рис.1.6).

B

Рис.1.6. Блок - схема объекта моделирования

Врамках данного понятия предполагается, что:

-внутренняя структура объекта неизвестна,

-доступны для наблюдения все входы (X) и выходы (Y) объекта,

-на вход объекта можно подавать различные возмущения,

-на основе наблюдений за X и Y можно составить уравнения связи, которые в дальнейшем будут рассматриваться как уравнения математической модели объекта.

Одним из главных достоинств этой группы методов является их универсальность и полная инвариантность к исследуемой предметной области. Их использование предполагает наличие у разработчика значительного объема экспериментальных данных: результатов наблюдений (Х и Y) за объектом. Очевидно, экспериментально-статистические методы нельзя применять для построения новых объектов, объектов, находящихся в стадии проектирования, не существующих в реальности.

Особенности неформальных (аналитических) методов составления математических моделей включают факты:

- функцию связи f входных X и выходных Y координат выводят на основе анализа элементарных физико-химических процессов, протекающих в объекте моделирования;

- в составляющие вектора В параметров модели (коэффициенты уравнений) входят основные конструктивные и технологические характеристики моделируемого объекта;

- полученные на основе этих методов математические модели, как правило, являются нелинейными.

Основным достоинством аналитических методов построения моделей

21

является возможность детального (полного) анализа характеристик объекта в широком диапазоне изменения исходных данных. Однако аналитический подход к разработке математических моделей возможен только при рассмотрении сравнительно простых объектов, в других случаях он требует значительных упрощений (допущений) описаний реальных процессов, что приводит к снижению точности моделирования. Аналитические методы разработки математических моделей не требуют постановки экспериментов и могут применяться при проведении предпроектных исследований, а также при проектировании нового объекта.

Комбинированные методы представляют собой интеграцию аналитического и формально-статистического подходов к разработке математических моделей. Например, формирование в общем виде уравнений математической модели осуществляется на основе универсальных законов сохранения (аналитический подход), а определение параметров модели выполняется экспериментально-статистическими методами. При таком подходе ослабляется главный недостаток формальных методов построения моделей: отсутствие в структуре уравнений отображения элементарных физи- ко-химических процессов, протекающих в исследуемом объекте.

Контрольные вопросы

1.Какие виды моделирования вы знаете ?

2.Какой принцип лежит в основе физического моделирования ?

3.Какой принцип лежит в основе математического моделирования ?

4.В каком виде может быть представлена физическая модель ?

5.Основные достоинство и недостатки физического моделирования.

6.В каком виде может быть представлена математическая модель ?

7.Достоинства и недостатки математического моделирования.

8.Характеристические признаки имитационного моделирования.

9.Какие классификационные признаки используются для выделения отдельных классов математических моделей ?

10.Что описывает математическая модель динамики ?

11.Какие классы математических моделей динамики вы знаете ?

12.Что описывает математическая модель статики ?

13.Какие классы математических моделей статики вы знаете ?

14.Перечислите этапы разработки математической модели объекта.

15.Как вы понимаете утверждение "Модель адекватна объекту"?

16.Назовите группы методов составления математических моделей.

17.Какие особенности формальных методов построения математических моделей вы знаете ?

18.Особенности аналитических методов построения моделей.