10
условия равенства критериев, мало влияющих на процесс, а другим условиям (например, подобие физических свойств сред, участвующих в теплообмене) удовлетворяют лишь в среднем.
На практике часто используют также метод локального теплового моделирования, идея которого заключается в том, что условия подобия процессов для модели и объекта-оригинала выполняются только в той области модели, где исследуется процесс теплообмена. Например, при исследовании теплоотдачи в системе однотипных тел (шаров, труб) в теплообмене на модели может участвовать лишь одно тело, на котором выполняют измерения, а остальные служат для обеспечения геометрического подобия модели и изучаемого объекта.
Особый вид физического моделирования основан на использовании специальных устройств, сочетающих физические модели с реальными приборами. К ним относятся стенды испытательные для испытания машин, наладки приборов и т. п., тренажеры для тренировки персонала, обучаемого управлению сложными системами или объектами, имитаторы, используемые для исследования различных процессов в условиях, отличных от обычных земных, например, при глубоком вакууме или очень высоких давлениях, при перегрузках и т. п.
Главные достоинства физического моделирования:
возможность получения обширного опытного материала, создания предпосылок для построения теоретических гипотез;
наглядность: физическое моделирование обеспечивает регистрацию наблюдений без преобразования, что приводит к уменьшению общей погрешности моделирования;
возможность воспроизведения сложных физических процессов.
В качестве условий, ограничивающих области применения этого вида моделирования, необходимо отметить следующее:
физическое моделирование основано на масштабировании исследуемого объекта, т.е. при увеличении геометрических размеров объекта исследования необходимо увеличивать и размеры физической модели, что увеличивает как временные, так и финансовые затраты на моделирование;
этот вид моделирования применяется для исследования только детерминированных объектов (процессов), описываемых законами классической механики и протекающих в однофазных системах с фиксированными границами;
физическое моделирование не применяется для исследования стохастических процессов.
1.2.2. Математическое моделирование
11
Математическое моделирование является обязательным инструментом современной инженерной практики. Оно применяется как на этапе предпроектных исследований, так и в ходе эскизного и рабочего проектирования.
Теория математического моделирования непрерывно развивалась в течение последних пятидесяти лет. Именно поэтому для многих понятий в литературе существуют не единственные определения.
Определение 1. Математическое моделирование – это метод исследования различных процессов путем “изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями ” [2].
Определение 2. “Под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта” [3].
Как в первом, так и во втором определении внимание сосредотачивается на свойстве изоморфности, при котором каждый элемент объектаоригинала имеет единственный соответствующий элемент в модели.
Однако выполнение этого условия может оказаться затруднительным, т.к. никакого упрощения исследовательской задачи, являющейся важнейшим стимулом для моделирования, использование одних лишь изоморфных моделей не даёт. Но тогда появляется представление о математическом моделировании как об исследовании объекта с помощью упрощённого образа (совокупности математических моделей и допущений), т. е. к требованию гомоморфизма модели оригиналу.
Проявление изоморфизма обычно иллюстрируют примером аналогии между механическими и электрическими явлениями.
Например, имеется пружинный маятник, уравнение колебаний которого описывается соотношением
2 |
ξ |
(t) |
(1.1) |
|
m |
d |
= Ψξ(t) , |
||
dt |
2 |
|||
|
|
|
||
где ξ(t) – отклонение центра массы пружинного маятника от положения равновесия в момент времени t, m – его масса, Ψ – жесткость пружины.
Если обозначить Ψm = b и ξ(t) = y(t) , то (1.1) примет вид общего уравнения свободных колебаний:
d |
2 |
y(t) |
(1.2) |
|
+by(t) = 0. |
||
|
dt2 |
|
|
Аналогичное уравнение можно получить, рассматривая эклектический
12
колебательный контур, состоящий из включенных параллельно емкости С и катушки индуктивности L:
L d |
2 |
q(t) |
+ q(t) |
(1.3) |
|
= 0, |
|||
|
dt2 |
C |
|
|
где q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора.
Если обозначить LC1 = b и q = y(t) , то (1.3) примет вид общего уравне-
ния свободных колебаний (1.2).
Из приведенного примера следует:
закономерности свободных колебаний как механического маятника (1.1), так и в электрическом контуре (1.3) можно изучать с помощью одного общего уравнения (1.2),
параметры уравнений, характеризующих процессы – оригиналы (m,
Ψ , С и L), можно подобрать таким образом, чтобы на основе уравнения (1.1) и уравнения (1.3) получить одинаковые значения коэффициента b математической модели (1.2).
Уравнение (1.2) можно рассматривать как теоретическую модель двух объектов: механического маятника и электрического колебательного контура. Но из приведенных выше выводов следует, что между уравнениями для объектов оригиналов (1.1) и (1.3) тоже должна существовать связь, которая позволит рассматривать каждый из объектов-оригиналов в качестве модели – аналога другого объекта (рис.1.2).
Теоретические модели разрабатываются и исследуются методами математического моделирования.
В 50-80-е годы прошлого века возможности вычислительной техники не всегда позволяли исследовать модели большой размерности и при изучении сложных биологических процессов и систем задачи моделирования решались на основе отношения, устанавливающегося между нижними вершинами треугольника (рис.1.2).
Например, если в качестве объекта (оригинала) рассматривать улитку (элемент внутреннего уха), а в качестве ее модели-аналога – электрическую схему (рис.3.9), то мы получим электрическую модель улитки. На основе этого принципа реализовывались универсальные аналоговые моде-
ли [4].
13
Рис.1.2. Схема отношений между моделями.
С распространением цифровой вычислительной техники интерес к аналоговым моделям упал. Однако в области моделирования биологических объектов имеется множество примеров удачных вариантов электрических моделей [5], которые могут рассматриваться как некоторый базовый вариант при переходе к математическим моделям и численным методам анализа.
Математическая модель представляется в виде уравнений или логических соотношений, с помощью которых обычно описывают состояния выходных (Y) и входных (X) координат объекта (оригинала) (рис.1.3).
Рис.1.3. Объект моделирования
Уравнение связи между выходными и входными координатами объекта (математическая модель) может, например, иметь вид
f(Y , X , B) = 0.
Кглавным достоинствам математического моделирования следует отнести возможность:
14
использовать вычислительную технику, что приводит к уменьшению как финансовых, так и временных затрат на моделирование;
использовать одинаковые программные средства для решения целого класса задач с одинаковыми математическими моделями;
упростить и ускорить процедуры изучения влияния вариации параметров на поведение объекта управления;
изучать как детерминированные, так и стохастические объекты и системы.
В качестве условий, ограничивающих области применения этого вида моделирования, необходимо отметить следующее:
-принимаемые при разработке математической модели допущения искажают сущность изучаемого процесса (объекта), снижают точность решения;
-математическое моделирование не позволяет визуально наблюдать за ходом изучаемого процесса (объекта);
-разработка математических моделей и вычислительные эксперименты требуют высокой квалификации специалистов.
1.2.3.Имитационное моделирование
Имитационное моделирование – это способ исследования объектов сложной структуры, заключающийся в воспроизведении численным образом всех входных и выходных координат элементов объекта. В основе этого способа моделирования лежит допущение о том, что изменение координат любого элемента объекта происходит мгновенно в некоторый момент времени.
Этот вид моделирования обычно применяется для исследования объектов сложной природы, большой размерности. Однако эти объекты можно подвергнуть декомпозиции, выделив ряд элементов меньшей размерности.
В состав имитационной модели могут входить математические модели отдельных элементов объекта. Возмущения, действующие на моделируемый объект, могут задаваться в виде числовых выборок, отображающих характер изменения нагрузки на реальном объекте.
Имитационные модели воспроизводят процесс функционирования моделируемой сложной системы. Следовательно, прежде, чем приступить к созданию программной имитационной модели, необходимо описать процесс функционирования системы, подлежащей моделированию.
Имитационное моделирование – это методология, определяющая особенности этапов разработки модели объекта, ее программной реализации, планирования и проведения вычислительных экспериментов, а также обработку результатов этих экспериментов.