103

4.ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БТС

4.1.Понятие об имитационном моделировании

Имитационное моделирование – это способ исследования объектов сложной структуры, заключающийся в воспроизведении численным образов всех входных и выходных координат элементов объекта. В основе этого способа моделирования лежит допущение о том, что изменение координат любого элемента объекта происходит мгновенно в некоторый момент времени.

Имитационное моделирование обычно применяется для исследования объектов сложной природы, большой размерности. Однако эти объекты можно подвергнуть декомпозиции на ряд элементов меньшей размерности. Математическую модель объекта в целом невозможно сформировать из-за отсутствия сведений о моделях отдельных элементов. В то же время имеется возможность численным образом определять значения входных и выходных координат каждого элемента в фиксированные моменты времени. Имитационные модели воспроизводят процесс функционирования моделируемой сложной системы. Следовательно, прежде чем приступить к созданию программной имитационной модели, необходимо описать процесс функционирования системы, подлежащей моделированию.

Имитационное моделирование – это методология, определяющая особенности этапов разработки модели объекта, ее программной реализации, планирования и проведения вычислительных экспериментов, а также обработку результатов этих экспериментов.

Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели (М) процесса функционирования системы (объекта S).

1.Полнота модели должна предоставлять пользователю возможность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.

2.Гибкость модели должна давать возможность воспроизведения различных ситуаций при варьировании структуры, параметров системы.

3.Длительность разработки модели должна быть по возможности минимальной.

4.Структура модели должна быть блочной , т.е. допускать возможность замены , добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.

5.Программные и технические средства должны обеспечивать эффективную по быстродействию и памяти (при моделях реального времени) программную реализацию модели.

Основные этапы имитационного моделирования БТС:

1)построение концептуальной модели БТС и ее формализация;

104

2)построение алгоритмической модели;

3)написание программного кода для реализации алгоритмической модели;

4)проведение вычислительных экспериментов.

Рассмотрим задачи первого этапа, основной целью которого является переход от содержательного описания БТС к формализованному. Частным случаем такой формализации может быть математическая модель биотехнической системы или отдельных ее компонентов.

Основные проблемы этого этапа связаны со следующими факторами:

-в ходе формализации необходимо определить границу между объектом исследования и внешней средой, влияние которой на объект надо будет отразить в имитационной модели;

-разрабатываемая имитационная модель (как любая модель) должна быть адекватной. Понятие адекватности здесь несколько видоизменяется. Под адекватной имитационной моделью будем понимать модель, которая с определенной степенью приближения на уровне понимания моделируемой системы разработчиком модели отражает процесс ее функционирования во внешней среде [22];

-модель строится по блочному принципу. Выделяются три автономные группы блоков: имитация воздействий внешней среды на систему, блоки имитации процесса функционирования системы, вспомогательные блоки (добавляются исходя из особенностей программной реализации модели);

-прежде чем перейти к построению моделей отдельных компонентов, необходимо определить параметры БТС, входные и выходные переменные, воздействия внешней среды. Эту операцию целесообразно выполнять как для всей БТС в целом, так и для каждого отдельного подпроцесса, выделенного при предварительном анализе объекта моделирования. Последовательность описания каждого параметра и переменной:

-определение и краткая характеристика;

-символ обозначения и единицы измерения;

-диапазон изменения;

-место в модели.

-для оценки качества функционирования моделируемой БТС необходимо выбрать некоторую совокупность критериев оценки эффективности поведения системы, т.е. построить (выбрать) целевую функцию, которая будет количественно определять качество поведения системы, и иметь связь с параметрами системы;

-при построении моделей отдельных процессов, характерных для рассматриваемой БТС, могут применяться экспериментальностатистические методы. В этом случае возникает задача аппроксимации реальных процессов, протекающих в объекте моделирования. В этом слу-

105

чае можно использовать три вида процедур: детерминированную, вероятностную, определения средних значений.

Этап построения концептуальной модели завершается составлением технической документации, в состав которой входят:

-подробная постановка задачи моделирования системы;

-анализ задачи;

-критерии оценки эффективности системы;

-параметры и переменные системы;

-гипотезы и предположения (допущения), принятые при построении модели;

-описание модели в абстрактных терминах и понятиях;

-описание ожидаемых результатов моделирования.

4.2. Понятие о компартментной системе

Наиболее сложным является этап построения алгоритмических моделей. При выборе методов решения задач этого этапа исходят из сложности объекта исследования, имеющегося объема знаний об элементарных процессах, протекающих в объекте, и их специфики.

При этом возникают целые классы специализированных систем. Рассмотрим задачу моделирования биологического объекта с постоянной структурой. Предположим, что объект моделирования (ОМ) можно подвергнуть декомпозиции, выделив отдельные элементы (запасы) и указав связи между ними:

где Z – множество запасов, S – множество связей между ними.

При рассмотрении биологических объектов можно выделять запасы основных клеток в костном мозгу, запасах атомов йода, связанных в соединениях определенного вида, запасах крови в печени и сердце и т.п.

Каждый элемент ( zi ) обладает некоторыми характеристиками (атрибу-

тами). Например, при рассмотрении биологических объектов в качестве таких атрибутов здесь выступают: принадлежность органу, принадлежность части клетки, биохимическое состояние.

Запасы в изучаемой системе характеризуются двумя наиболее важными атрибутами: объемом и скоростью потока. Оба эти атрибута могут изменяться во времени.

Кроме материала с обычными свойствами в запасах присутствует еще некоторое вещество, количество которого в определенные моменты времени является третьим важным атрибутом запасов. Например, это может

106

быть радиоактивный йод, основные клетки с радиоактивным железом или некоторое вещество (лекарство, наркотик) в крови. Эту часть вещества будем называть меченным веществом.

Запасы в большинстве случаев представляют собой такие сложные системы, что существующие аналитические методы не позволяют их детально изучать.

Из-за сложности изучаемых объектов моделирования допускаются определенные абстракции, заключающиеся в том, что реальный запас заменяется компартментом, т.е. идеальным запасом.

В рассматриваемой модели компартмент – это элемент, выходы которого зависят от входа (от значения атрибутов элементов на входах) и от его внутреннего состояния. Внутреннее состояние может так же изменяться, как реакция на вход.

При этом предполагается, что при попадании в него какого-либо вещества оно моментально там равномерно распределяется, т.е. образуется смесь основного вещества с меченным. Поэтому компартмент обычно характеризуется приведенными тремя атрибутами запасов.

Компартменты и их системы принято рассматривать в качестве ими-

тационных моделей систем, определенных на реальных объектах.

Компартментные системы состоят из компартментов и связывающих их абстрактных каналов (OM = <K, Kan>). Объемы этих каналов не учитываются, и через них протекает ненулевое количество вещества за ненулевой интервал времени.

Несмотря на то, что компартменты и их системы представляют собой некоторую абстракцию, они являются имитационными моделями систем, определенных на реальных объектах. При их разработке используют уравнения вида

ства в i-м компартменте; rij – скорость перемещения вещества из i-го ком-

личество меченного вещества, перенесенного из j-го компартмента в i-й компартмент за единицу времени.

Ценность компартментных систем заключается в

108

сти в каналах между ними также постоянны, соотношения между потоками вещества, поступающими в некоторый запас и выходящими из него должны подтверждать закон сохранения массы.

Рис.4.1. Основные запасы в компартментной системе

Установившийся (статический) режим рассматриваемого объекта описывают уравнения физиологических скоростей с учетом составленной схемы (рис.4.1):

Уравнения (4.3) составлены на основе закона сохранения массы. Они дополняются условиями, определяющими ряд допущений:

Из условий (4.4) следует, что:

-из компартмента (З_7), имитирующего выходную среду, не должно выходить ни одного потока (стоки нулевые);

-в компартмент (З_6), имитирующий входную среду, не должно входить ни одного потока (истоки нулевые);

-внутри компартментов нет никаких потоков.

Физиологические скорости в организме изменяются в зависимости от наличия вещества, которое называется ингибитором. Поведение такого вещества в крови подобно поведению меченного вещества в запасе, моделируемом одним компартментом и имеющим постоянную скорость. Для отображения в этого факта в рассматриваемую модель введен компартмент

109

З_4, который назовем распределительным пространством ингибитора

(рис.4.2).

Рис.4.2. Расширение компартментной системы виртуальным запасом

Список допущений дополним следующими замечаниями:

-будем стараться не использовать понятие КРОВЬ из-за возможной неоднозначности выводов, так как в крови встречается еще и йод из любого описанного запаса, который ведет себя не так, как меченное вещество;

-данная ситуация иллюстрирует случай, когда для элементов компартментной системы не следует использовать пространственную или геометрическую характеристику.

На этапе абстракции можно отождествить пространство, из которого поступает ингибитор в З_4 с пространством, служащим источником для З_1.

Поэтому справедливы следующие равенства:

Количество ингибитора H4 в крови влияет на скорости ( r12 , r37 ). Если

количество ингибитора настолько мало, что им можно пренебречь, то эти скорости равны своей физиологической величине.

При возрастании количества ингибитора скорость r12 уменьшается и при достижении критического значения (W) становится равной нулю. Дальнейшее увеличение ингибитора не приведет к изменению скорости

r12 . При имитационных экспериментах критическое значение r12 = w не

110

достигается. Известное значение W используется для проверки зависимости скорости r12 от H4 , что является одной из целей имитации.

В действительности эта зависимость еще больше усложняется тем, что

на скорость r12 влияет объем первого запаса (V1 ). Окончательная зависимость задается уравнением

Скорость r37 с возрастанием H4 увеличивается. Предполагаемая зави-

где а – положительная константа, определяется имитацией.

При правильном выборе масштабов для S3 и b можно b принять равным физиологической величине r37 .

Скорость r23 непосредственно не зависит от H4 . Известно, что для пе-

реходного состояния она прямо пропорциональна объему V2 компартмента З_2:

До сих пор S1, S2 , S3 принимались константами пропорциональности.

Однако более подробные исследования показали, что это предположение слишком упрощенное.

Из (4.7) видим: если увеличится H4 , то уменьшится объем V3 важ-

нейших гормонов щитовидной железы, чему будет препятствовать организм. Для отображения этого факта в модель необходимо добавить еще один компартмент (З_5) (рис.4.3).

Очевидно, S1 и S2 будут функциями компартмента (З_5), соответствующего запасам гормонов надпочечника. Этот компартмент не имеет ме-

Одной из задач имитационного моделирования является проверка гипотезы, в соответствии с которой на уменьшение объема третьего компар-

тмента V3 компартмент З_5 реагирует увеличением своего объема.

111

Эти гипотезы различны для разных видов организмов.

Рис.4.3. Полная схема компартментной системы движения йода

ворганизме млекопитающего

Вкачестве иллюстрации можно выбрать уравнение

Полученную имитационную модель можно упростить, для этого целесообразно использовать следующие корректирующие приемы.

1. Объемные единицы пространства ингибитора надо определить так, чтобы V4 = 1. Это можно принять и для З_5. Поскольку этот компартмент обособлен и не связан каналами с другими компартментами, то под-

В дальнейшем можно считать V5 системной переменной, а не атрибу-

том компартмента. Это существенно упростит имитационную программу, т.к. отпадет необходимость описывать свойства и связи компартмента.

2. Можно положить в (4.9) Q1 =1, т.к. изменение Q1 пропорционально изменению константы пропорциональности k.

На рис.4.3 это влияние обозначено штриховыми линиями.

На основе модели (4.2)-(4.11) составляют программу и проводят исследования свойств системы распространения йода [11].

113

H4 = H0 lBt .

Последнее уравнение появилось в результате решения простого дифференциального уравнения, не зависящего от остальных:

Исследование таких систем осуществляется на основе общих принципов имитационного моделирования.

4.4. Алгоритмическая модель процесса

Имитационное моделирование наиболее эффективно при исследовании сложных систем, в которых на протяжении длительного интервала времени происходят события, одни из которых протекают последовательно через различные интервалы времени, а другие – параллельно.

Разработка имитационной модели связана с рассмотрением элементарных процессов, протекающих в отдельных элементах исследуемой системы. В целом процесс функционирования сложной системы есть последовательность изменения ее состояний, упорядоченных во времени. Он распадается на множество сцепленных между собой процессов функционирования компонентов (элементов) этой системы.

Для представления в имитационной модели процесса используют алгоритмическую форму – алгоритмическую модель процесса (АМП). Развитие АМП позволяет:

-ввести понятия элементарного и обобщенного операторов;

-классифицировать блоки на агрегаты и процессоры;

-выявить особенности агрегативных и процессных описаний

функционирования сложных систем.

На основе концепции АМП можно создать специальный язык описания сцепленных процессов, позволяющий на достаточно формализованном уровне производить описание функционирования сложной системы в виде совокупности процессов в различных блоках с указанием их взаимодействия.

Процесс функционирования реальной системы распадается на ряд процессов функционирования отдельных объектов. Эти процессы протекают одновременно или параллельно. Задача программной имитации состоит в отображении параллельно протекающих процессов на один вычислительный процесс. Это отображение может быть выполнено различными способами в зависимости от задач и показателей эффективности.

114

Множество моментов времени изменения состояния конечно и может быть описано выражением

где ti – момент времени изменения состояния системы, tn – общее время наблюдения за системой.

Каждому моменту времени ti соответствует оператор hi , вычисляющий состояние Si , где Si S . Оператор hi осуществляет отображение времени ti на один из элементов множества пространства S.

Предположим, что выполнение оператора hi происходит мгновенно в момент времени ti . В общем случае оператор можно представить в виде

где Si S – состояние процесса Z; А – пространство аргументов; t –

текущее значение времени; w – случайная величина, распределенная равномерно на [0,1], принимающая новое значение при каждом выполнении

оператора hi . Использование величины w позволяет описать случайность в операторе.

Если для двух произвольных моментов времени ti и t j оказывается,

что Si Aj , то будем называть операторы hi и hj сцепленными и обо-

значать hi∞hj .

Практически это означает, что для вычисления состояния S j в мо-

мент времени t j необходимо знать состояние Si в момент времени ti .

Описание оператора, вычисляющего новое значение состояния системы в какой-то момент времени, является сложной задачей, пространство состояний может иметь большую размерность.

Предположим, что для текущего момента времени t можно задать последовательность таких подоператоров, что

После выполнения последовательности подоператоров <hr> система примет состояние S, как после выполнения оператора Н. Таким образом, оператор Н можно рассматривать как последовательную декомпозицию подоператоров <hr>.

Задание оператора Н через последовательность сцепленных подоператоров hr назовем расщепленным описанием.

Расщепление оператора Н не единственное и определяется структурой

115

моделируемой системы, степенью подробности описания процесса функционирования, задачами исследования, опытом разработчика модели. Практически расщепление получают путем выделения базовой совокупности подоператоров. Построение различных комбинаций из этой совокупности покрывает все многообразие операторов Н.

Если функционирование системы рассматривать как процесс изменения ее состояния во времени, то для ее описания необходимо задать четверку вида

где S – пространство состояний, F – траектория процесса (F: T->S), А – отношение линейного порядка на множестве Т.

В зависимости от типа процесса множество моментов времени Т может быть как непрерывным, так и дискретным. Если Т задано в виде упорядоченных чисел, то величину А из (4.21) можно исключить.

Пространство состояний S определяется параметрами Р системы. Под параметром системы будем понимать некоторую скалярную переменную, обладающую именем и множеством значений:

где WP – имя параметра, SI (W ) – множество значений параметра (элементы этого множества скалярные).

При этих условиях пространство состояний определяется как декартово произведение множеств SI (W ) для всех элементов W. Таким образом, размерность пространства S равна числу параметров системы.

Над процессами функционирования осуществляют операции проекции и суммирования. Это позволяет создавать довольно сложные имитационные модели с помощью ограниченного множества элементарных операторов.

4.5. Имитационная модель лечебного учреждения: вопросы подготовки исходных данных

Процесс отладки и эксплуатации имитационной модели начинается с формирования набора исходных данных, которые обычно должны отображать реальный характер возмущений (нагрузки), действующих на объекте моделирования.

Для иллюстрации методики задания исходной информации имитационной модели по результатам натурного эксперимента используем пример моделирования деятельности одного медицинского специалиста (прием пациентов в кабинете специалиста).

Допустим, что имитационная модель лечебного учреждения реализова-

116

на с помощью процессного способа имитации.

Работа каждого специалиста (каждого кабинета) представляет собой процесс. Компонентами вектора Х являются интенсивности поступления

пациентов с определенным видом диагноза в отдельный кабинет ( λ1 , λ2 ). Под переменными модели G будем понимать вероятность поступления в кабинет пациентов с диагностическим заключением P1 и распределения

вероятностей длительностей обслуживания в j-м кабинете пациентов i-го типа ( Fij (τ) ).

Имитационная модель позволяет фиксировать следующие результаты: ηj – коэффициент загрузки (j -го) специалиста пациентами;

Lj – усредненные длины очередей пациентов к j -му специалисту; vi – количество обслуженных пациентов i-го типа;

Ti – усредненное значение общего времени обслуживания пациента i-го типа.

В качестве векторов отклика модели Y выступает вектор (ηj ,Ti ) . Предположим, что ϕ(X, G) – линейная зависимость.

Необходимо с помощью имитационного эксперимента найти оценки коэффициентов линейной регрессионной зависимости:

Эту зависимость можно будет потом использовать для предсказания (прогнозирования) работы отдельных кабинетов (специалистов) медицинского лечебного учреждения.

Согласно изложенной методике проводим натурные эксперименты, в ходе которых фиксируем за интервал времени Т*:

- количество пациентов каждого типа, посетивших специалиста

( v1 , v2 ) ;

- множество длительностей времен обслуживания пациентов специали-

стами {τijk }, где k –порядковый номер пациента i-го типа;

-{Tik*}, k = 1,(ν *1 +ν *2 ) – множество длительностей обслуживания

пациентов медицинского лечебного учреждения.

Определяем фактические интенсивности поступления пациентов к первому и второму специалистам:

117

вычисляются реальные значения коэффициентов загрузки специалистов (кабинета):

Множество {τijk* } используем для построения эмпирической функции распределения Fij* (τ) . Итак, за один натурный эксперимент находим

.

Для оценки ошибок измерения такие эксперименты проводят не менее 5 раз. Затем находят средние значения характеристик и дисперсии компонент Q*, Y*Q и соответствующие эмпирические функции распределения.

Подробно методика настройки, верификации и эксплуатации имитационных моделей сложных систем рассмотрена в специальной литературе

[13, 11, 23].

Контрольные вопросы

1.Особенности методической модели.

2.Этапы построения алгоритмической модели.

3.Задание исходной информации при имитационном моделировании.

4.Описание компартмента с помощью типовых моделей структуры материальных потоков.

5.Допущения компартментной модели движения йода в организме млекопитающего.

6.Основные проблемы построения концептуальной модели БТС.

7.Какие допущения для компартмента, имитирующего выходную среду, вы знаете ?

8.Какие допущения для компартмента, имитирующего входную среду, вы знаете ?

9.На основе имитационной модели (4.23) определите какие факторы влияют на загрузку врача-специалиста и среднее время обслуживания пациент (одного i-го типа).